Inverse Distance to a Power (IDP)

Метод интерполяции Inverse Distance to a Power - интерполятор взвешенного среднего значения, и может быть как точным, так и интерполятором сглаживания.

При применении метода точки данных " взвешиваются" так, что влияние одной точки данных, по сравнению с другой снижается с увеличением расстояния от узла сетки. Вес присваивается точке данных через использование весовой силы (мощности), которая контролирует, как снижается весовой коэффициент при увеличении расстояния от узла сетки. Чем больше весовая мощность, тем меньшее воздействие оказывают отдаленные от узла сетки точки данных в процессе интерполяции. При увеличении мощности значение узла сетки приближается к значению самой близкой точки данных. При меньшей мощности веса более равномерно распределяются среди соседних точек данных.

Обычно данный метод используется как точный интерполятор. При вычислении узлов сетки присваиваемые точкам весовые коэффициенты являются дробью и в сумме равны 1.0. Когда точка совпадает с узлом сетки, ей присваивается вес 1.0, а всем другим точкам – вес 0.0. в результате узлу сетки присваивается значение точки данных. При использовании параметра Smoothing (сглаживания) ни одной точке не присваивается подавляющий вес, так что ни одной не дается весовой коэффициент 1.0.

Одна из характеристик метода IDP- генерация " кругов мишени", окружающих точки наблюдений. Параметр сглаживания позволяет снизить этот эффект.

метода IDP- - очень быстрый метод интерполяции. С < 500 точками данных, можно использовать тип поиска All Data, при этом интерполяция будет производится очень быстро.

Для метода IDP (когда не задан параметр сглаживания) используется уравнение:

Однако, когда задан параметр сглаживания, уравнение меняется:

где

Z – интерполируемое значение узла сетки;

Z_i – соседние точки данных;

h_ij – расстояние между точкой данных и узлом сетки;

b - весовая мощность (силовой параметр);

d - параметр сглаживания.

 

Задание параметров для метода IDP:

31. Выберите Inverse Distance to a Power в группе Gridding Method.

32. Кликните на копке Options – появится ДО Inverse Distance Options.

33. Mожно задать параметры Anisotropy и Data Treatment. Эти группы обсуждались выше.

34. В группе Parameters можно задать параметры Power и Smoothing, применяющиеся в процессе интерполяции.

· Параметр Power определяет, как быстро уменьшаются веса с расстоянием от узла сетки. Если параметр приближается к 0, генерируется поверхность приближающаяся к плоскости, проходящей через среднее значение для всех точек данных. Если параметр увеличивается, генерируется поверхность – интерполятор " ближайшего соседства", и результирующая поверхность становится многоугольной. Многоугольники представляют самое близкое наблюдение к интерполируемому узлу сетки. Значения параметра между 1.2е-038 и 1.0е+038 наиболее приемлемые, хотя силовой параметр обычно изменяется между 1 и 3.

· Параметр Smoothing позволяет включать коэффициент " неопределенности", связанный с входными данными. Чем больше параметр сглаживания, тем менее подавляющее влияние имеет любое отдельное наблюдение на вычисление значения соседнего узла сетки.

35. В любое время можно кликнуть на кнопке Reset для возврата к установкам, которые были заданы, когда Вы вошли в данное ДО. Если отменять изменения не требуется, кликните ОК для возврата в ДО Scattered Data Interpolation.

 

Дополнительно о методе можно прочитать:

Davis, John C., 1986, Statistics and Data Analysis in Geology, John Wiley and Sons, New York.

Franke, R., 1982, " Scattered Data Interpolation: Test of Some Methods", Mathematics of computations, v. 33, n. 157, p. 181-200.

Kriging

Kriging – геостатистический метод интерполяции, который является очень полезным и популярным во многих сферах. Метод пытается выразить тенденции, которые заложены в ваших данных, так, что, например, высокие точки могут быть соединены в хребет, скорее чем изолированы контурами типа мишени.

Имеются три коэффициента, которые включены в метод Kriging: Variogram Model, Drift Type и Nugget Effect.

Variogram Model

Variogram используется для определения места соседства для наблюдений, используемых при интерполяции каждого узла сетки, и как присваиваются веса наблюдениям в процессе вычислений. В Surfer можно выбрать несколько variogram моделей. При сомнениях используйте модель linear variogram со Scale равным 1.

 

 

Пример вариограммы с показом компонентов.

Построение вариограм – единственная возможность определить, какую модель следует Вам использовать, т.к. это позволяет выбрать модель, которая лучше всего совпадает с экспериментальной моделью, рассчитанной на основе Ваших данных. Детальный вариограмный анализ может позволить учесть те данные, которые ранее не были доступны и предоставляет объективную оценку variogram scale и анизтропии. Длинные главы во многих книгах по геостатистике посвящены обсуждению инструментов и технологий, необходимых для построения вариограм (например, Isaaks and Srivastava, 1989).

Параметр Scale (С в уравнении вариограмы) может использоваться для задания порогового значения для выбранной модели вариограмы. За исключением линейной модели (которая не имеет порога), порог равняется сумме Nugget Effect и. Если не задано значение Nugget Effect, порог равняется значению Scale. В случае линейной модели наклон задается значением Scale/Radius. Задав радиус анизотропии можно определить анизотропный линейный склон вариограмы.

Модели вариограм, доступные в Surfer:

где

С – Scale для структурного компонента вариограмы;

h – анистрофически перемасштабированные, относительно раздельные расстояния.

 

Drift Type

Когда точки данных равномерно рассредоточены в пределах рассматриваемой области, опция Drift Type имеет слабый эффекта на генерируемую сетку. Опция Drift Type будет иметь существенный эффект в процессе интерполяции через больших пустоты в схеме распределения данных, и при экстраполировании за пределы данных.

В Surfer доступны три опции данного параметра: No Drift, Linear Drift и Quadratic Drift. При сомнении лучше использовать опцию No Drift (при интерполяции используется " обычный Kriging" ). No Drift приемлим, когда данные равномерно рассредоточены по области карты.

Опции Linear Drift и Quadratic Drift используются, чтобы применить " Универсальный Kriging". Использование этих опций должно быть основано на знании основной тенденции данных. Если данные имеют тенденцию изменяться вокруг линейной тенденции, то опция Linear Drift наиболее приемлема. Если данные имеют тенденцию изменять вокруг квадратичной тенденции (например параболический шар), то опция Quadratic Drift наиболее приемлема.

Nugget Effect

Группа Nugget Effect используется, когда имеются потенциальные ошибки в массиве данных. Эффект заключается из variogram сгенерированной из Ваших данных. Задание эффекта заставляет Kriging стать в большей степени интерполятора сглаживания, при допущении меньшего количества доверия отдельным точкам данных по отношению к общей тенденции данных. Чем выше Nugget Effect, тем более гладкой в результате получается сетка. Единицы эффекта - единицы наблюдений, возведенные в квадрат.

Эффект самородка составлен из двух компонентов:

Nugget Effect = Error Variance (Дисперсия ошибки) + Micro Variance (Микро Дисперсия).

Окно редактирования Error Variance позволяет Вам определить дисперсию ошибок измерения. Это значение - квантификация повторяемости измерений данных. Окно редактирования Micro Variance позволяет определять дисперсию мелкомасштабной структуры.

Когда Дисперсия ошибки равняется 0, ненулевой эффект самородка имеет общий эффект сглаживания, но сгенерированная сетка все еще оценивает каждое наблюдение (ведет себя как точный интерполятор). Ненулевая Дисперсия ошибки позволяет сетке отклоняться от наблюдаемых значений (это - интерполятор сглаживания).

Для получения более подробной информации о Nugget Effect читайте Cressie (1991, Section 3.2.1).

Задание параметров КМ:

36. В ДО Kriging Options можно задать параметры Anisotropy и Data Treatment.

37. В группе Variogram Model можно задать параметры вариограмы: Type и Scale.

38. Выберите желаемый тип дрейфа в группе Drift Type.

39. Задайте значение параметров Nugget Effect.

40. В любое время можно кликнуть на кнопке Reset для возврата к установкам, которые были заданы, когда Вы вошли в данное ДО. Если отменять изменения не требуется, кликните ОК для возврата в ДО Scattered Data Interpolation.

 

О методе КМК читайте:

Cressie, N.A.C., 1990, " The Origins of Krigin", Mathematical Geology, v. 22, p. 239-252.

Cressie, N.A.C., 1991, Statistics for Spatial Data, John Wiley and Sons, Inc., New York, 900 pp.

Deutsch, C.V., and Jornel, A.G., 1992, GSLIB – Geostatistical Software Library and User's Guide, Oxford University Press, New York, 338 pp.

Isaaks, E.H., and Srivastava, R.M., 1989, An Introduction to Applied Geostatistics, Oxford University Press, New York, 561 pp.

and Huijbregt, C., 1978, Mining Geostatistics, Academic Press, 600 pp.

Jornel, A.G., 1989, Fundamentals of Geoststistics in Five Lessons, American Geografical Union, Washington D.C.

 

Minimum Curvature

Minimum Curvature широко используется в науках о земле. Интерполируемая поверхность, сгенерированная Minimum Curvature аналогична тонкой, линейно-эластичной пластине, проходящей через каждое из значений данных с минимальным количеством изгиба. Minimum Curvature генерирует самую гладкую поверхность при попытке использовать данные " как можно ближе к тексту". Minimum Curvature – однако, не точный интерполятор. Это означает, что данные не всегда точно представлены в получаемом файле сетки.

Метод создает сетку при помощи повторных применений к ней уравнений в попытке сгладить сетку. Каждое прохождение по сетке считается как одна итерация. Значения узлов сетки пересчитываются до тех пор, пока последующие изменения значений не становятся меньше величины Max Residuals, или пока не достигнуто максимальное число итераций.

Задание мараметров метода MCM:

41. Для данного метода можно задать параметры Anisotropy и Data Treatment.

42. В группе Parameters можно управлять критериями сходимости для Minimum Curvature.

· Параметр Max Residuals имеет те же самые единицы измерения, что и данные, и соответствующее значение - приблизительно 10 % точности данных. Если значения данных измерены с точностью 1.0 единица, следует задать значение этого параметра 0.1. Итерации будут продолжаться, пока максимальное исправление значений узлов сетки для последовательных итераций станет меньше, чем величина параметра Max Residuals. По умолчанию ему присвоено значение 0.001(Z_max – Z_min).

· Параметр Max Iterations должен приблизительно равняться числу или квадрату чила узлов сетки. Например, при расчете сетки 50х50 с использованием Minimum Curvature, значение параметра должно быть установлено между 2 500 и 5 000.

43. В любое время можно кликнуть на кнопке Reset для возврата к установкам, которые были заданы, когда Вы вошли в данное ДО. Если отменять изменения не требуется, кликните ОК для возврата в ДО Scattered Data Interpolation.

 

О методе МСМ читайте:

Briggs, I.C., 1974, " Machine Contouring Using Minimum Curvature", Geograghycs, v. 39, n. 1, p. 39-48.

Smith, W.H.F., and Wessel, P., 1990, " Gridding with Continuous Curvature Splines in Tension", Geograghycs, v. 55, n. 3, p. 293-305.

 

Polynomial Regression

Метод полиномиальной регрессии используется для выявления крупномасштабных тенденций и модели ваших данных. Имеются несколько опций, которые можно использовать, чтобы определить тип трендовой поверхности. Данный метод не является в действительности интерполятором, т.к. не пытается предсказывать неизвестные значения Z.

Задание параметров полиномиальной регрессии:

44. Выберите в ДО Scattered Data Interpolation метод Polynomial Regression в группе Gridding Methods и нажимаете на кнопку Options – появится ДО Polynomial Regression Options.

45. Можно задать параметры Data Treatment (обсуждались ранее).

46. В группе Surface Definition можно задать тип полиномиальной регрессии, который Вы хотите применить к вашим данным. При выборе каждого типа в окне появляется уравнение регрессии и изменяются значения в группе Parameters. Можно выбрать следующие виды полиномиальной регрессии:

Simple planar surface (простая плоская поверхность);
Bi-linear saddle (би-линейное седло);
Quadratic surface (квадратичная поверхность);
Cubic surface (кубическая поверхность);
Users defined (Определяемая пользователем) позволяет задать свое полиномиальные уравнение, используя опции Parameters.

47. Группа Parameters позволяет задать максимальные степени для X и Y компонентов в полиномиальном уравнении. При изменении значений Parameters изменяются опции в группе Surface Definition, отражая вносимые изменения.

· Max X Order определяет максимальную степень для X компонента в полиномиальном уравнении.

· Max Y Order определяет максимальную степень для Y компонента в полиномиальном уравнении.

· Max Total Order определяет максимальную сумму степеней Max X Order и Max Y Order. Все комбинации X и Y компонентов включаются в полиномиальное уравнение до тех пор, пока сумма этих двух степеней не превысит значения Max Total Order.

48. При активном переключателе Copy the regression coefficients to the clipboard получается копия коэффициентов, используемых при расчете поверхности. Коэффициенты записываются в буфер обмена Windows после завершения построения сетки. Оттуда они могут быть вставлены в Plot window или в другую программу.

49. В любое время можно кликнуть на кнопке Reset для возврата к установкам, которые были заданы, когда Вы вошли в данное ДО. Если отменять изменения не требуется, кликните ОК для возврата в ДО Scattered Data Interpolation.

 

О методе PRM читайте:

Draper, N., and Smith, H., 1981, Applied Regression Analysis, second adition, Wiley-Interscience, 709 pp.

Radial Basis Functions

Radial Basis Functions - иная группа методов интерполяции данных. В отношении способности подстраиваться под Ваши данные и производить гладкую поверхность, Мультиквадратичный метод рассматривается многими как самый лучший метод. Все Радиальные Базисные Функции являются точными интерполяторами. Можно также ввести коэффициент сглаживания во все методы в попытке произвести более гладкую поверхность.

Типы функций:

Функции, которые Вы можете задать, аналогичны вариограмам в Kriging. Функции определяют оптимальные установки взвешивания при обращении к точкам данных при интерполировании узла сетки.

· Inverse Multiquadric B(h) =

· Multilog B(h) = log (h² + R²)

· Multiquadratic B(h) =

· Natural Cubic Spline B(h) = (h² + R²)^3/2

· Thin Plate Spline B(h) =(h² + R²) log (h² + R²)

где

h анизотропически перемасштабированное, относительное расстояние от точки до узла

R² параметр сглаживания, определяемый пользователем.

Задание параметров Радиальной Базисной Функции:

50. Выберите опцию Radial Basis Functions в группе Gridding Methods ДО Scattered Data Interpolation.

51. Кликните на кнопке Options – появится ДО Radial Basis Functions Options.

52. В ДО можно задать параметры Anisotropy и Data Treatment (обсуждались ранее).

53. В группе Basis Functions (Базисные Функции) можно задать параметры функций для операции интерполяции.

· В раскрывающемся списке Type (тип) определите функцию для использования в процессе интерполяции. Они определяют оптимальные веса, присваиваемые точкам данных. Базисные Функции аналогичны вариограмам в Kriging. В большинстве случаев наиболее оптимальна функция Multiquadric, за ней следует функция Thin Plate Spline.

· Параметр R² - параметр сглаживания или формирования. Чем больше этот параметр, тем более скруглены будут верхние части гор и более сглажены горизонтали. Не существует универсального метода для вычисления оптимального значения этого параметра. Разумное испытательное значение для R² - между средним интервалом выборки и половиной среднего интервала выборки.

54. В любое время можно кликнуть на кнопке Reset для возврата к установкам, которые были заданы, когда Вы вошли в данное ДО. Если отменять изменения не требуется, кликните ОК для возврата в ДО Scattered Data Interpolation.

 

Дополнительно о методе RBF читайте:

Carlson, R.E., and Foley, T.A., 1991a, " Radial Basis Interpolation Methods on Track Data", Lawrence Livermore National Laboratory, UCRL-JC-1074238.

Carlson, R.E., and Foley, T.A., 1991b, " The parameter R² in Multiquadric Interpolation", Computers Math. Applic, v. 21, n. 9, p. 29-42.

Franke, R., 1982, " Scattered Data Interpolation: Test of Some Methods", Mathematics of computations, v. 33, n. 157, p. 181-200.

Powell, M.J.D., 1990, " The Theoty of Radial Basis Function Approximation in 1990", University of Cambridge Numerical Analysis Reports, DAMTP 1990/NA11.

 

Метод Шепарда

Метод Шепарда использует метод наименших квадратов взвешенных обратных расстояний. Он подобен интерполятору Inverse Distance to a Power, но использование локальных наименьших квадратов устраняет или снижает появление " мишеней" в создаваемых контурах. Метод Шепарда может быть как точным интерполятором, так и интерполятор сглаживания.

Задание параметров метода Шепарда:

55. Выбираете Метод Шепарда в группе Gridding Methods и кликните на кнопке Options – появится ДО Modified Shepard's Method.

56. Можно задать параметры Anisotropy и Data Treatment (обсуждались ранее).

57. В группе Parameter можно задать параметр сглаживания для операции интерполяции. Параметр Smoothing позволяет Методу Шепарда работать как интерполятору сглаживания. При увеличении значения параметра сглаживания достигается больший сглаживающий эффект. В общем, наиболее приемлимо значения между нулем и единицей.

58. В любое время можно кликнуть на кнопке Reset для возврата к установкам, которые были заданы, когда Вы вошли в данное ДО. Если отменять изменения не требуется, кликните ОК для возврата в ДО Scattered Data Interpolation.

 

⇐ Предыдущая123

Поделиться: