Анализ чувствительности решения задачи.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Анализ чувствительности - это определение такого уровня вероятности, до которого данная альтернатива является лучшей. Анализ выполним только в случае двух возможных состояний среды и любого числа альтернатив. В этом заключена его ограниченность, так как на практике разнообразие состояний среды может быть намного больше.

В целях выполнения анализа чувствительности строятся графики зависимости значений EMV от распределения вероятностей между состояниями среды. График для варианта " Ничего не предпринимать" совпадает с осью вероятностей, так как значение его ординаты на всем интервале изменения вероятностей равно нулю.

В общем случае некоторые альтернативы при любом разложении вероятностей могут оказаться хуже других. Они должны быть исключены из дальнейшего рассмотрения.

Решение задачи

1. Сформируем платежную матрицу на основе исходных данных:

Платеж - совокупный доход инвестора от принятия того или иного решения - указан в таблице 10.1.

Таблица 10.1

Платежная матрица

Альтернативная стратегия	Величина платежа при заданном состоянии среды
благоприятное	неблагоприятное
Строительство торгового центра, тыс.ден.ед.	4 500	- 4 000
Строительство спортивного клуба, тыс.ден.ед.	3 000	- 1 500
Не вкладывать деньги, тыс.ден.ед.

Возможные критерии для принятия решения в условиях полной неопределенности среды:

1. MAXIMAX: в качестве оптимальной выбирается альтернатива, дающая максимум в ячейках платежной матрицы. Решение по этому критерию - строительство торгового центра (максимальный доход равный 4500 тыс. ден. ед.).

2. MAXIMIN: в качестве оптимальной выбирается альтернатива, имеющая максимальное значение ожидаемого результата для наименее благоприятных состояний среды. Решение по этому критерию – не вкладывать деньги.

3. Равновесный подход (критерий Лапласа), при котором выбирается альтернатива смаксимальным значением усредненного по всем состояниям среды платежа. Здесь:

а)

б)

в) 0.

Решение по этому критерию - строительство спортивного клуба (максимальныйдоход равный 750 тыс. ден. ед. ).

Рассмотрим решение поставленной выше задачи в условиях риска (в соответствии с принципом Байеса). Для этого зададим соотношение вероятностей двух состояний среды: - характеризует вероятность благоприятного состояния среды, а - характеризует вероятность неблагоприятного состояния среды при реализации инвестиционного проекта. Тогда расчет EMV по вариантам даст следующие результаты:

При заданном распределении вероятностей состояний среды нужно выбирать второй вариант - строительство спортивного клуба.

Решение задачи может быть получено и построением дерева решений. При построении дерева узлы принятия решения означают выбор альтернатив, который делает инвестор (обычно обозначаются на дереве прямоугольниками), а узлы состояний среды - возможные ответы среды (обозначаются на дереве решений кружочками). Сумма вероятностей для каждого узла среды должна быть равна единице. Узлы принятия решений и состояния среды при построении дерева решений чередуются. Если формирование дерева идет слева направо, то расчет и принятие решений - справа налево: платежи " сворачиваются" в значения EMV в узлах среды с соответствующими им весами-вероятностями, а в узлах принятия решений происходит выбор лучших альтернатив, например, по критерию .

В условиях рассматриваемой задачи дерево решений имеет следующий вид:

Учитывая то, что оценка вероятностей состояний среды может быть неточной, полезно проводить анализ чувствительности решения к изменению распределения вероятностей. Для этого строятся графики зависимости EMV от распределения вероятностей между альтернативными состояниями среды. Построение проведем для трех альтернатив, рассмотренных на дереве решений (рис. 10.1). По оси абсцисс откладывается вероятность возникновения благоприятного (или неблагоприятного) состояния среды . При этом надо понимать, что в соответствии с зависимостью , при стопроцентной вероятности неблагоприятного состояния среды, т.е. , вероятность благоприятного состояния среды равна нулю ( ), и наоборот, при вероятность . Это обстоятельство отражено на рис.10.2.

Уравнения зависимости EMV от распределения вероятностей состояния среды в соответствии с рассматриваемыми вариантами выглядят так:

; ;

Построим по полученным уравнениям соответствующие им линии на рис.10.2. График для варианта " Не вкладывать деньги" совпадает с горизонтальной осью вероятностей, так как значение его ординаты (величина платежа) на всем интервале изменения вероятностей равно нулю.

Чтобы найти предельные точки (точки пересечения прямых на рис. 10.2), следует решить полученную систему уравнений.

Координаты точки «А» определятся при решении системы, состоящей из двух уравнений, описывающих линии и

а координаты точки «В», описывающих линии и

При решения указанных систем уравнений получим следующие результаты:

· координаты точки «А»: р₂=0, 375. Соответственно р₁=0, 625. При этих значениях вероятностей состояния среды ожидаемая денежная отдача по вариантам 1 и 2 одинакова и составит ;

· координаты точки «В»: , р₂=0, 67, р₁=0, 33 (см. рис. 10.2).

Как видим, при вероятности благоприятного состояния среды, лежащей в интервале от 1 до 0, 625 (точка А на графике) более выгодным оказывается инвестирование в строительство торгового центра (вариант 1), этот проект даст большую денежную отдачу. При меньшем проценте вероятности более выгодным становится вариант №2 (строительство спортивного клуба). Однако и этот вариант теряет привлекательность при падении вероятности формирования благоприятных условий среды до уровня менее 0, 33 (точка В на графике). В этом случае инвестиции лучше не делать.

Варианты задачи для самостоятельного решения

Инвестор принимает решение о возможном вложении денежных средств в один из двух проектов: открытие фитнес клуба или салона красоты. Кроме того, всегда есть возможность не вкладывать деньги ни в один из проектов. Предварительный анализ внешней рыночной среды (спрос, конкуренты, поставщики) показал, какой результат получит инвестор при выборе того или иного проекта (табл.10.2). Помогите инвестору принять верное решение. Решите задачу в условиях неопределенности и в условиях риска, если стало известно, что вероятность благоприятного исхода 35%. Постройте дерево решений. Проведите анализ чувствительности решения задачи.

Таблица 10.2

Исходная информация по вариантам решения задачи

Альтернативная стратегия	Состояние среды	Результат выбора стратегии, тыс. ден.ед., по вариантам

Открытие фитнес клуба	Благоприятное
Неблагоприятное	-220	-150	-290	-110	-180	-270	-95	-200	-175	-250
Открытие салона красоты	Благоприятное
Неблагоприятное	-120	-230	-200	-125	-130	-190	-115	-110	-210	-200

Альтернатив-ная стратегия	Состояние среды	Результат выбора стратегии, тыс. ден.ед., по вариантам

Открытие фитнес клуба	благоприятное
Неблагоприят-ное	-150	-300	-200	-400	-400	-550	-400	-300	-300	-250	-300	-320
Открытие салона красоты	благоприятное
Неблагоприят-ное	-100	-200	-50	-100	-120	-150	-70	-100	-100	-120	-100	-150

Контрольное задание №9

Теоретические основы методов сетевого планирования и управления реализацией проекта (СПУ)

Сетевой график – это графическая и аналитическая модель, представляющая собой формализованное описание комплекса работ в их технологической и логической последовательности с фиксированием всех выявленных взаимосвязей между ними.

Основными элементами сетевого графика являются:

Работы – обозначаются стрелками (ещё их называют дугами) и характеризуют процессы, действия, приводящие к достижению определенных результатов, т.е. событий.

Работы бывают:

- действительные – они обозначают трудовой процесс, требующий затрат времени и других ресурсов. Время, затрачиваемое на выполнение работы, проставляется над стрелкой.

- фиктивные (зависимости) – логические связи между действительными работами, не требующие затрат времени или ресурсов, но указывающие, что возможность начала выполнения одной работы непосредственно зависит от результатов выполнения другой. Обозначаются пунктирной стрелкой, над которой время не указывается или проставляется ноль. (Например, конструктор должен внести изменения в рабочие чертежи. Сама передача этих изменений технологам занимает ничтожное время, но до их внесения нельзя приступить к работе по этим чертежам. Работу по внесению этих изменений следует считать фиктивной).

- ожидание – не требует затрат труда, но необходимо время.

События – это ожидаемые результаты выполненных работ. Обозначаются на сетевом графике кружочками и показывают момент времени начала или окончания выполнения работы, этапа, проекта. Свидетельствуют о том, что все предшествующие и связанные с данным событием работы завершены. Различают следующие терминологические разновидности событий:

- исходное событие – не имеет предшествующих работ и отражает исходный момент выполнения всего комплекса работ (I);

- завершающее событие, не имеет последующих работ и отражает момент завершения всего комплекса работ (С);

- начальное событие i-ой работы , за которым следует данная работа;

- конечное событие i-ой работы , которому предшествует данная работа;

- промежуточное событие (или просто событие) – это любой достигнутый результат в процессе выполнения работ комплекса.

Событие характеризуется рангом. Ранг события – соответствует числу равному максимальному количеству работ, предшествующих данному событию.

Путём в сетевом графике называется любая последовательность работ, в которой конечное событие одной работы совпадает с начальным событием работы, следующей за ней. Различают несколько видов путей:

- полный путь – это путь от исходного события до завершающего события;

- путь предшествующий данному событию - это путь от исходного события до данного события;

- путь последующий за данным событием - это путь от данного события до завершающего события;

- критический путь – это путь между исходным и завершающим событиями, имеющий максимальную продолжительность.

Этапы сетевого планирования и управления

1. Составление перечня работ.

2. Установление топологии сети (взаимосвязи работ и их последовательности).

3. Построение сетевого графика при соблюдении следующих правил:

- в сети не должно быть «тупиков», т.е. событий из которых не выходит ни одной работы, если это событие не завершающее;

- в сети не должно быть событий, в которые не входит ни одной работы, если это событие не исходное;

- в сети не должно быть замкнутых контуров, т.е. путей, соединяющих некоторые события с ними самими. Отсюда следует, что стрелки всех работ должны быть однонаправлены (как правило - слева направо);

- в сети не должно быть работ с общим начальным и конечным событиями. Если такие имеются, что вполне возможно, то необходимо вводить фиктивные работы. Например, черновой вариант элемента сети (рис 1а) должен быть преобразован в вариант изображенный на рис.1б.

Если начало работы соответствует событию , а её окончание событию и при этом длительность работы равна t, то для её идентификации ей присваивается шифр, состоящий из двух чисел i и j, т.е. , а на граф наносится соответствующая информация (см. рис. 2).

4. Определение ожидаемой длительности работ ( ) – ожидаемое время. Ожидаемое время выполнения работы определяется по нормативам или в соответствии с вероятностными оценками. Делают обычно две оценки: оптимистичную и пессимистичную . На их основании определяют ожидаемую продолжительность работы по формулам

или

(критерий Колмогорова),

где - наиболее вероятное время выполнения i-ой работы;

- оптимистическая оценка времени выполнения i-ой работы;

- пессимистическая оценка времени выполнения i-ой работы;

Рассчитанные проставляются над соответствующими дугами работ.

5. Расчеты параметров сети.

5.1. - раннее время совершения события. Это параметр, характеризующий минимальное необходимое время между исходным и наступлением данного события. . Наибольшее у завершающего события дает длину критического пути.

5.2. - поздний срок свершения i-ого события, определяется минимальной разностью между поздним сроком свершения конечного события j выполнения работы ij и её продолжительностью , т.е. .

5.3. - резерв времени по событию, определяется как разность между самым поздним допустимым и самым ранним возможным временем наступления события i, т.е. время, на которое может задержаться i–ое событие без нарушения заданного срока выполнения всего проекта (момент завершающего события С не изменится).

Установленные параметры сети проставляются над соответствующими событиями или в событийном кружочке.

6. Определение плановых календарных дат начала и завершения проекта , а так же важнейших промежуточных событий.

7. Перепланирование, оптимизация сети, заключается в изменении последовательности работ, параллельном их выполнением, перераспределении ресурсов между ними, изменении содержания работ и оценок их продолжительности с целью сокращения завершающего события, т.е. критического пути (всего проекта).

8. Повторные расчеты параметров сети , , .

9. Оперативное управление работами по сетевому графику.

Рассчитать параметры сетевого графика:

- ожидаемую продолжительность выполнения работ , где i – номер начального для данной работы события; j - номер конечного для данной работы события. Проставляется над соответствующей дугой графа.

- время раннего начала работы ;

- время раннего окончания работы ;

- время позднего начала работы ;

- время позднего окончания работы ;

- время раннего наступления события ;

- время позднего наступления события ;

- полный резерв времени по работе, событию и проекту ;

- свободные резервы работ .

Для расчетов параметров сети использовать графоаналитический метод.

При построении сетевого графика критический путь выделить двойной линией.

События на сетевом графе рекомендуется представлять в виде кружочка, разделенного на три сегмента, в которые заносится расчетная информация о событии (рис.4).

. - номер события, определяемый

при расчете сети.

Ранним сроком начала работы называют наименьшее время, когда работа может быть начата. Если из вершины выходят несколько работ, то ранние сроки их начала совпадают и называются ранним сроком наступления события .

Если работа начата в ранний срок начала, то время её окончания называется ранним сроком окончания работы . Для вычисления ранних сроков наступления событий используют алгоритм Форда (считают, что нумерация вершин правильная).

1. Полагают ;

2. Для i = 2, 3, … n вычисляют ранний срок свершения j-ого события ,

Номер i-ой вершины , при движении из которой получено значение , заносят в левую треть событийного кружка.

После нахождения можно подсчитать ранние сроки начал и окончания работ ; .

Расчетный пример

Рассчитать ранние сроки свершения событий, начал и окончания работ для сетевого графа, изображенного на рис.5. Над дугами графа проставлены значения сроков выполнения работ . Символами обозначены номера событий.

Решение

1. Полагаем ;

2. Рассмотрим вершины графа в порядке их нумерации и определим ранние сроки свершения событий

- проставляется в верхней трети событийного кружка , а в его левой трети проставляется номер события, из которого пришли при расчете , т.е. .

Заполняются верхняя и левая трети событийного кружка , т.е. .

3. Найдем ранние сроки начал и окончания работ:

Ранний срок наступления конечного события (в примере -

) называется критическим временем и обозначается

. Весь проект не может быть завершен раньше

, которое характеризует окончание выполнения всего комплекса работ проекта и является протяженностью критического пути в сетевом графе.

Алгоритм построения критического пути

Шаг 1. Начинают построение с конечной вершины. В её левой трети стоит № той вершины, при движении из которой определялся ранний срок наступления события. Критический путь идет из конечной вершины в вершину с этим номером.

Шаг 2. Затем при построении критического пути перемещаемся в вершину, № которой стоит в левой трети вершины, полученной на шаге 1, и так до исходной вершины. Если в какой-то вершине стоит два номера, что возможно, то критический путь распадается. Таким образом в сетевом графе может быть несколько критических путей.

В нашем примере критический путь выделен двойной линией (см. рис.6).

Всякий не критический путь короче критического, поэтому можно допустить задержку выполнения работ, лежащих на этом пути, не превышающую разности между и длиной этого пути. Такая задержка не повлияет на срок выполнения всего проекта.

Любая задержка выполнения работ, лежащих на критическом пути, повлечет за собой задержку выполнения всего проекта.

4. Найдем поздние сроки свершения событий и начал и окончания работ:

Определим время Т окончания всего комплекса работ по проекту. Очевидно, что (обычно берут ).

Поздним сроком окончания работ называют наибольшее допустимое время окончания работы без нарушения сроков завершения всего проекта.

Поздний срок начала работы можно определить по формуле .

Поздним сроком наступления события называется наиболее поздний срок окончания всех работ, входящих в соответствующую вершину j сетевого графа.

Для расчета поздних сроков выполнения работ пользуются следующим алгоритмом:

а). Полагают поздний срок завершающего события равным времени завершения проекта, т.е.

б). Для всех предшествующих событий с номерами i = c - 1, i = c - 2 и т.д.

или , т.е. просматривают все вершины начиная с завершающей в порядке убывания их номеров. Для каждой вершины рассматривают множество всех выходящих из неё работ, из поздних сроков наступления их концов вычитают продолжительность этих работ. Минимальная из этих разностей и равна . Величина записывается в правой трети вершины .

Расчетный пример (продолжение)

Рассчитать поздние сроки свершения событий, начал и окончания работ для сетевого графа, изображенного на рис.5.

1. . Проставим это значение в правой трети вершины (рис.6).

2.Перейдем к событию , и т.д.

3. Определим поздние сроки начал и окончания работ:

4. Рассчитаем резервы времени.

Определим время, которое может быть выделено для выполнения конкретной работы без задержки срока окончания всего проекта. Работа ( ) не может быть начата раньше срока и должна закончится не позднее . На выполнение этой работы можно затратить время не более . По плану же на эту работу отведено время . Максимально допустимое время, на которое можно увеличить продолжительность выполнения этой работы или отложить её начало так, что это не вызовет задержки выполнения всего проекта, называется полным резервом времени работы.

Если полный резерв времени некоторой работы равен нулю, то задержка её выполнения вызовет такую же задержку в выполнении всего проекта.

Если на некоторой работе использовать её полный резерв, то путь, проходящий через эту работу, становится критическим. Полный резерв времени любой работы на этом пути станет равен нулю.

Найдем время, которое можно дополнительно выделить для выполнения работы ( ) без введения дополнительных ограничений на время выполнения последующих работ. Для этого работа должна быть завершена к моменту времени , таким образом на эту работу можно выделить ( ) единиц времени. Величина называется свободным резервом времени работы ( ). Если использовать свободный резерв на некоторой работе, то последующие работы могут быть по прежнему начаты в свои ранние сроки.

Резервы времени удобно рассчитывать по сетевому графику, т.к. величины записаны в кружочках его вершин (событийные кружочки). Полученные резервы записываются под дугами графа – сначала полный резерв, а затем – свободный резерв работы.