Вычесление определённых интегралов.

ОИ ф-ции y=f(x) на отрезке наз-ся предел интегральных сумм

, который обозначается

.Т.о,

.Из условия следует, что .Пределами интегрирования наз-ся числа a и b.Подынтегральной ф-цией нaз-ся ф- ция f(x).Если ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке , то ОИ существует. Свойства:

1)) , где - произвольнoе число.

2)) .

3)) , где a< c< b.

4))при a> b по определению считаем: .

5))если для всех x , то

.

6))для x a ОИ становится ф-цией от x.Производная этой ф-ции равна значению подынтегральной ф-ции в точке x:
7))теорема о среднем: если ф-ция f(x) непрерывна на отрезке , то сущ-ет точка такая, что

8))если f(x) .

9))свойство-теорема: если M= , тогда

10))формула Ньютона-Лейбница: если F(x) первообразная ф-ции f(x), то

3.Теорема Ньютона-Лейбница.

Вычесление определённых интегралов.

Теорема: если F(x)-первообр. от непрер.ф-и f(x), то справедл. ф-ла: ∫ _a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a).Этот метод исп-ся, когда может быть найдена первообр.(F) для подинт.ф-и f(x).Ф-ла инт-я по частям: ∫ _a^b udv=uv|_a^b-∫ _a^b vdu.

Инт-е методом подстановки:

Т-ма: если ф-я 1)x=φ (t) и ее произв. x`=φ `(t) непрер.на инт. tЄ [ά; β ]

2)Множ.зн-й ф-и x=φ (t) при tЄ[ά; β ] явл. отр.[a; b] в частности φ (ά )=a, φ (β )=b

3)f(φ (t)) опр-на и непрер.на отр.[a; b]: ∫ _a^b b(x)dx=∫ _ά ^β f(φ (t))φ `(t)dt(ф-ла замены перемен-х в ОИ.Замечание:

1)При вычисл-и ОИ метод подст-ки возвр. к старой перем-й не требуется.

2)Часто вместо подст-ки x=φ (t) исп. подст-ка t=g(x)

3)Не следует забывать менять пределы интегр-я при замене перем-х.

Замена переменных и интегрирование по частям при вычислении определённых интегралов.

Если выполнены условия: 1)Функция непрерывна на отрезке [a; b]; 2)отрезок [a; b] является множеством значений функции х=ф(t), определённой на отрезке

a ≤ t ≤ b и имеющей на нём непрерывную производную; 3)ф(a)=a, ф(b)=b, то справедлива формула

Если функция u=u(x), v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a; b], то справедлива формула

Метод замены переменной для нахождения неопределённого интеграла заключается в следующей формуле

Несобственные интегралы 1-го и 2-го родов.

При введении понятия определённого интеграла предполагалось, что выполняются условия: 1)пределы интегрирования a и b являются конечными; 2) подынтегральная функция f(x) ограничена на отрезке [a; b]. В этом случае определённый интеграл называют собственным. Если хотя бы одно из двух указанных условий не выполняется, интеграл называется несобственным.

Интегралы с бесконечными пределами.

Пусть функция y=f(x) при любом x≥ a. Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом

(1)

Этот интеграл является дифференцируемой функцией верхнего предела. Предположим, что при b→ + функция (1) имеет конечный предел; этот предел называется сходящимся несобственным интегралом от функции f(x) по промежутку [a, + и обозначается

(2)

Если предел (2) не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Вычесление площадей.

Для неотрецательной непрерывной функцыи y=f(x), заданной на отрезке [а, в], интеграл ∫ f(x)dx равен площади криволинейной трапеции, ограниченой прямыми x=a, x=b, осью Оx и графиком функции y=f(x) (рис.1)

Рис1 Рис2

В случае, когда функция y=f(x) неположительная, то ∫ f(x)dx равен площади соответствующей криволинейной трапеции, взятой со знаком минус. Для произвольной непрерывной функции y=f(x) интеграл ∫ f(x)dx равен сумме площадей криволинейных трапецый, леащих под графиком функции f(x) и выше оси Ох, минус сумма площадей криволенейных трапецый, лежащих выше графика f(x) и ниже оси Ох. (рис.2)

Теорема.

Если у=y (х) - непрерывная ф-ция, заданная ур-нием

F(x, y)=0,

где F(x, y), F'_x(x, y), F'₍x, y) - непрерывные ф-ции в области, содержащей т.М(х, у), в кот. F`_y(x, y)≠ 0, то производная ф-ции у = у(х) в соотв-щей т. сущ. и выраж. формулой

= - (∂ F/∂ x): (∂ F/∂ y)

Аналогично опред. неявные ф-ции большего числа переменных и нах-ся их частные произв-ые.

Напр, если z= z(x, y) – ф-ция, определяемая ур-нием

где F(x, у, z), F '_x(x, у, z), F_y'(x, у, z), F_z'(x, у, z)- непрерывные ф-ции в области, содерж. т.M(x, y, z), в кот. F'(x, у, z) ≠ 0, то

∂ z/∂ x = - (∂ F/∂ x): (∂ F/∂ z), ∂ z/∂ y = - (∂ F/∂ y): (∂ F/∂ z)

31. Экстремумы ф-ции 2-ух переменных.

Теорема (достат. условие экстремума ф-ции 2-ух пере­м). Пусть ф-ция z=f(x, у): а) определена в некоторой окре­стности критической т. (х₀, y₀), в кот. f '_x (x₀, y₀) = 0 и f '_y(x₀, y₀) = 0

б) имеет в этой т. непрерывн. частные произв-ые 2-го порядка f ^// _xx(x₀, у₀)=А; f^//_xy(х₀, у₀ )= f^//_yx(х₀, у₀)=В; f^//_yy (x₀, y₀) = С.

Тогда, если ∆ =АС – В² > 0, то в т.(х₀, у₀ ) ф-ция z=f(x, у) имеет экстремум, причем если А< 0 — максимум, если А> 0 — минимум. В случае ∆ =АС—В² < 0, функция z=f(x, у) экстре­мума не имеет. Если А=АС – В² =0, то вопрос о наличии экстрему­ма остается открытым.

Исследование ф-ции 2-ух переменных на экстремум реко­мендуется проводить по следующей схеме:

1. Найти частные произв-ые ф-и z'_x и z'_y.

2. Решить с-му ур-ний z'_x =0, z'_y =0 и найти критиче­ские т. ф-ции.

3. Найти частные произ-ные 2-го порядка, вычислить их значения в каждой критической т. и с помощью достаточ­ного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) ф-ции.

32. Необходимое условие существования экстремума.

Если в точке х₀ дифференцируемая функция y=f(x) имеет экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f '(x₀)=0.

Дифференциальные уравнения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно неизвестной функции и ее производных различных порядков. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то соответствующее дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то соответствующее дифференциальное уравнение называется уравнением с частными производными. Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка в общем виде можно записать в виде:

F(x, y, y', y'', …, y⁽ⁿ⁾)=0, (1)

Где х – независимая переменная; у= у(x) – искомая функция переменной х; x, y, y', y'', …, y⁽ⁿ⁾ – ее производные; F(x, y, y', y'', …, y⁽ⁿ⁾)=0 – заданная функция своих аргументов.

Решением дифференциального уравнения (1) называется такая функция у= f(x), которая при подстановке ее и ее производных обращает равенство (1) в тождество.

Интегрированием дифференциального уравнения называется процесс нахождения его решения.

Интегральной кривой называется график решения дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения (1) порядка n называется такое решение у=f(x, c₁, c₂, …, с_n), которое является функцией от независимой переменной х и от n произвольных независимых постоянных c₁, c₂, …, с_n.

Частным решением называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных значениях постоянных c₁, c₂, …, с_n.

Пример:

Для уравнения второго порядка у''=0 общее решение имеет вид у=с₁х+с₂. Одним из частных решений будет решение у=х, полученное при с₁=1, с₂=0.

35.Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. При решении многих задач математики, физики, биологии, экономики часто приходится отыскивать неизвестную функцию из соотношения, которое связывает независимую переменную х, искомую функцию y=y(x) и ее производные .

Дифференциальные уравнения возникли практически сразу после становления интегрального исчисления. В интегральном исчислении для функций одной переменной мы сталкиваемся с необходимостью отыскивать неизвестную функцию по заданной ее производной.

36.Порядок дифференциального уравнения. Задача Коши. Порядок n дифференциального уравнения называется порядок старшей из входящих в него производных y⁽ⁿ⁾(x).

Нахождение решения или уравнения или , для которого при заданных начальных условиях выполняется равенство или , называется решением задачи Коши для начальных условий .

Т.о., геометрическое содержание задачи Коши состоит в нахождении интегральной кривой, проходящей через заданную точку .

Первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка называется ли­нейным, если оно имеет вид

y'+f(x)y=g(x), (1.)

где f(х) и g(x) — некоторые (непрерывные) функции переменной х. В случае, когда функция g(x) тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, в противном случае — неоднородным.

Рассм. 1 из возможных способов решения ур-ния (1)будем искать решение в виде y=u(x)v(x) (тем самым ис­комыми становятся ф-ции u(х) и v(x), одна из к-рых может быть выбрана произвольно, а другая — должна определяться из ур-ния (1).

Так как y'=u'v+uv', то из (1) следует u'v+uv'+f(x)uv=g(x)

или

vu'+u(v'+f(x)v)=g(x). (2.)

Найдем сначала какое-либо частное решение v=v(x) ур-ния

v'+f(x)v=0. (3.)

Тогда (см. (2)) ф-ция и=и(х) — решение ур-ния

vu'=g(x). (4.)

Тем самым решение исходного ур-ния (1) сводится к решению 2-х ур-ний с разделяющимися переменными (см. (3) и (4)).

Интегральная сумма

Пусть ф-ция y=f(x) определена на отрезке .Разобьем отрезок на n частей точками Выберем на каждом из полученных отрезков (i=1, 2, …n)произвольную точку . Интегральной суммой ф-ции y=f(x) на отрезке наз-ся сумма или

, где Наибольшую из длин обозначим через .

ОИ ф-ции y=f(x) на отрезке наз-ся предел интегральных сумм

, который обозначается

.Т.о,

.Из условия следует, что .Пределами интегрирования наз-ся числа a и b.Подынтегральной ф-цией нaз-ся ф- ция f(x).Если ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке , то ОИ существует. Свойства:

1)) , где - произвольнoе число.

2)) .

3)) , где a< c< b.

4))при a> b по определению считаем: .

5))если для всех x , то

.

6))для x a ОИ становится ф-цией от x.Производная этой ф-ции равна значению подынтегральной ф-ции в точке x:
7))теорема о среднем: если ф-ция f(x) непрерывна на отрезке , то сущ-ет точка такая, что

8))если f(x) .

9))свойство-теорема: если M= , тогда

10))формула Ньютона-Лейбница: если F(x) первообразная ф-ции f(x), то

3.Теорема Ньютона-Лейбница.

вычесление определённых интегралов.

Теорема: если F(x)-первообр. от непрер.ф-и f(x), то справедл. ф-ла: ∫ _a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a).Этот метод исп-ся, когда может быть найдена первообр.(F) для подинт.ф-и f(x).Ф-ла инт-я по частям: ∫ _a^b udv=uv|_a^b-∫ _a^b vdu.

Инт-е методом подстановки:

Т-ма: если ф-я 1)x=φ (t) и ее произв. x`=φ `(t) непрер.на инт. tЄ [ά; β ]

2)Множ.зн-й ф-и x=φ (t) при tЄ[ά; β ] явл. отр.[a; b] в частности φ (ά )=a, φ (β )=b

3)f(φ (t)) опр-на и непрер.на отр.[a; b]: ∫ _a^b b(x)dx=∫ _ά ^β f(φ (t))φ `(t)dt(ф-ла замены перемен-х в ОИ.Замечание:

1)При вычисл-и ОИ метод подст-ки возвр. к старой перем-й не требуется.

2)Часто вместо подст-ки x=φ (t) исп. подст-ка t=g(x)

3)Не следует забывать менять пределы интегр-я при замене перем-х.