Производные и дифференциал сложной ф-ции.

Пусть переменная у есть ф-ция от переменной u (у =f(u)), а переменная u в свою очередь есть ф-ция от независимой пере­менной х, т.е. задана сложная ф-ция у =f[(φ (x)].

Теорема. Если у =f(u) и u = φ (х) — дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной ф-ции существует и равна производной данной ф-ции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х, т.е.

y'=f '(u)-u’.

2. Дифференциал сложной функции (функции от функции) ра­вен произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Если у =f(х), х = φ (t) - дифференцируемые ф-ции своих аргументов, то производная ф-ции у = f(φ (t)) выражается форму­лой у’_t = у'_х х'_t По определению dy = y'_t dt. С учетом предыдущей ф-лы получ. dy = y'_t dt = у'_х x'_t dt = у'_х (x'_t dt) = y'_x dx,

dy = y'_x dx.

 

Частые производные(ч.п) высших порядков.

Частн. произв-ми 2-ого порядка назыв. ч.п, взятые от ч.п 1-ого порядка.

∂ ²z/∂ x² = (∂ /∂ x)*(∂ z/∂ x) = f ^`` _xx(x, y)

∂ ²z/∂ y² = (∂ /∂ y)*(∂ z/∂ y) = f ^`` _yy(x, y)

∂ ²z/∂ x∂ y = (∂ /∂ y)*(∂ z/∂ x) = f ^`` _xy(x, y)

∂ ²z/∂ y∂ x = (∂ /∂ x)*(∂ z/∂ y) = f ^`` _xy(x, y)

Запись (∂ ⁿz)/∂ x^k∂ y^n-k означ, что ф-ция z k раз продифференцирована по переменной x и ф-ция n k раз по перем. y.

Теорема: Значения смешанных произв-ых = в тех точках, в кот. эти произ-ые непрерывны.

 

30. Дифференцирование неявных функций

Теорема.

Если у=y (х) - непрерывная ф-ция, заданная ур-нием

F(x, y)=0,

где F(x, y), F'_x(x, y), F'₍x, y) - непрерывные ф-ции в области, содержащей т.М(х, у), в кот. F`_y(x, y)≠ 0, то производная ф-ции у = у(х) в соотв-щей т. сущ. и выраж. формулой

= - (∂ F/∂ x): (∂ F/∂ y)

Аналогично опред. неявные ф-ции большего числа переменных и нах-ся их частные произв-ые.

Напр, если z= z(x, y) – ф-ция, определяемая ур-нием

где F(x, у, z), F '_x(x, у, z), F_y'(x, у, z), F_z'(x, у, z)- непрерывные ф-ции в области, содерж. т.M(x, y, z), в кот. F'(x, у, z) ≠ 0, то

∂ z/∂ x = - (∂ F/∂ x): (∂ F/∂ z), ∂ z/∂ y = - (∂ F/∂ y): (∂ F/∂ z)

31. Экстремумы ф-ции 2-ух переменных.

Теорема (достат. условие экстремума ф-ции 2-ух пере­м). Пусть ф-ция z=f(x, у): а) определена в некоторой окре­стности критической т. (х₀, y₀), в кот. f '_x (x₀, y₀) = 0 и f '_y(x₀, y₀) = 0

б) имеет в этой т. непрерывн. частные произв-ые 2-го порядка f ^// _xx(x₀, у₀)=А; f^//_xy(х₀, у₀ )= f^//_yx(х₀, у₀)=В; f^//_yy (x₀, y₀) = С.

Тогда, если ∆ =АС – В² > 0, то в т.(х₀, у₀ ) ф-ция z=f(x, у) имеет экстремум, причем если А< 0 — максимум, если А> 0 — минимум. В случае ∆ =АС—В² < 0, функция z=f(x, у) экстре­мума не имеет. Если А=АС – В² =0, то вопрос о наличии экстрему­ма остается открытым.

Исследование ф-ции 2-ух переменных на экстремум реко­мендуется проводить по следующей схеме:

1. Найти частные произв-ые ф-и z'_x и z'_y.

2. Решить с-му ур-ний z'_x =0, z'_y =0 и найти критиче­ские т. ф-ции.

3. Найти частные произ-ные 2-го порядка, вычислить их значения в каждой критической т. и с помощью достаточ­ного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) ф-ции.

 

32. Необходимое условие существования экстремума.

Если в точке х₀ дифференцируемая функция y=f(x) имеет экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f '(x₀)=0.

Функция может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема.

Необходимое условие экстремума может быть сформулировать следующим образом:

X

Y

Для того чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке х₀, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала, т.е. чтобы точка х₀ была критической.

Пример:

y=x³

y ' =3x²

Точка, в которой производная равна нулю называется стационарной.

Точки области определения функции, в которых производная равна нулю, либо не существует, называются критическими.

33. Достаточное условие существования экстремума.

Если в точке x=x₀ производная функции у= f(x) равна нулю и меняет знак при переходе через точку, то x₀ является точкой экстремума, причем: 1) x₀ – точка максимума, если знак меняется с плюса на минус; 2) x₀ – точка минимума, если знак меняется с минуса на плюс.

Пусть функция f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку х=х₀ и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х₀). Если f '(x)< 0, при х> x₀ и f '(x)> 0 при x> x₀, то x₀ – min, если же f '(x)> 0 при x> x₀ и f '(x)< 0 при x> x₀, то x₀ – max.

Т.к. f '(x)< 0 при х< x₀ и f(x) – непрерывна в точке х₀, то f(x) – убывает при х< x₀ и для этих х выполняется условие: f(x)> f(x₀).

Т.к. f '(x)> 0 при x> x₀ и f(x) – непрерывна в точке х_0, то f(x) – возрастает при x> x₀ и для этих х выполняется условие f(x)> f(x₀).

Второй достаточный признак:

Если в точке x=x₀ первая производная функции у= f(x) равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, то х₀ является точкой экстремума, причем: 1) x₀ – точка минимума, если f ''(x)> 0; 2) x₀ – точка максимума, если f ''(x)< 0.

Пусть функция у= f(x) дважды дифференцируема и f '(x₀)=0, тогда в точке x=x₀ функция имеет локальный максимум если f ''(x)< 0, и локальный минимум если f ''(x)> 0.

Если f ''(x)=0, то x=x₀ может и не быть экстремумом.

 

Дифференциальные уравнения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно неизвестной функции и ее производных различных порядков. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то соответствующее дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то соответствующее дифференциальное уравнение называется уравнением с частными производными. Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка в общем виде можно записать в виде:

F(x, y, y', y'', …, y⁽ⁿ⁾)=0, (1)

Где х – независимая переменная; у= у(x) – искомая функция переменной х; x, y, y', y'', …, y⁽ⁿ⁾ – ее производные; F(x, y, y', y'', …, y⁽ⁿ⁾)=0 – заданная функция своих аргументов.

Решением дифференциального уравнения (1) называется такая функция у= f(x), которая при подстановке ее и ее производных обращает равенство (1) в тождество.

Интегрированием дифференциального уравнения называется процесс нахождения его решения.

Интегральной кривой называется график решения дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения (1) порядка n называется такое решение у=f(x, c₁, c₂, …, с_n), которое является функцией от независимой переменной х и от n произвольных независимых постоянных c₁, c₂, …, с_n.

Частным решением называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных значениях постоянных c₁, c₂, …, с_n.

Пример:

Для уравнения второго порядка у''=0 общее решение имеет вид у=с₁х+с₂. Одним из частных решений будет решение у=х, полученное при с₁=1, с₂=0.

35.Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. При решении многих задач математики, физики, биологии, экономики часто приходится отыскивать неизвестную функцию из соотношения, которое связывает независимую переменную х, искомую функцию y=y(x) и ее производные .

Дифференциальные уравнения возникли практически сразу после становления интегрального исчисления. В интегральном исчислении для функций одной переменной мы сталкиваемся с необходимостью отыскивать неизвестную функцию по заданной ее производной.

 

36.Порядок дифференциального уравнения. Задача Коши. Порядок n дифференциального уравнения называется порядок старшей из входящих в него производных y⁽ⁿ⁾(x).

Нахождение решения или уравнения или , для которого при заданных начальных условиях выполняется равенство или , называется решением задачи Коши для начальных условий .

Т.о., геометрическое содержание задачи Коши состоит в нахождении интегральной кривой, проходящей через заданную точку .

 

⇐ Предыдущая12

Поделиться: