Классическая вероятность. Комбинаторика.

УДК 51-74

 

Составители: Л.И.Студеникина, Д.Н.Тютюнов

 

Рецензент

Кандидат физ-мат. наук, доцент кафедры

высшей математики В.И.Дмитриев

 

 

Элементы теории вероятностей: методические указания и индивидуальные задания предназначены для организации самостоятельной работы студентов специальностей «Таможенное дело», «Международные отношения» / Юго-Зап. гос. ун-т; сост.: Л.И.Студеникина, Курск, 2013. 40 с.: табл. 4. Библиогр.: с.40.

 

 

В данной работе содержатся краткие теоретические положения, образцы выполнения типовых задач, 30 вариантов индивидуальных заданий.

 

 

Текст печатается в авторской редакции

 

 

Подписано в печать _______. Формат 60х84 1/16.

Усл. печ. л.. Уч.-изд. л.. Тираж 50 экз. Заказ____. Бесплатно.

Юго-Западный государственный университет305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.

 

 

Введение

 

Данные методические указания предназначены для формирования умений и навыков у студентов по разделу «Теория вероятностей ».

Наличие таких указаний и индивидуальных заданий, имеющих профессиональную направленность в условиях сокращения аудиторных часов, представляется своевременным.

Теоретическое обеспечение по данному разделу математики достаточно полно отражено в учебных пособиях, предусмотренных рабочими программами. Тем не менее, в данной работе даются краткие теоретические сведения и разобрано достаточно большое количество задач, что очень удобно при организации самостоятельной работы.

Для подготовки студента к защите выполненных индивидуальных заданий представлен список литературы, отражающей в полной мере теоретический материал по данной теме.

 

Содержание

§ 1. Классификация событий……………………………………………….4

§ 2. Классическая вероятность. Комбинаторика……………….5

§ 3. Правила сложения и умножения вероятностей…………...8

§ 4. Формула полной вероятности. Формулы Байеса………..10

§ 5. Повторные испытания…………………………………….11
§ 6. Дискретная случайная величина………………………….14

§ 7. Непрерывная случайная величина………………………17

§ 8. Теоретические вопросы…………………………………18

§ 9. Индивидуальные задания………………………………20

Рекомендуемая литература…………………………………47

 

 

§ 1. Классификация событий.

Опытом, или испытанием, называют всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление. Например, бросание игрального кубика или монеты, выстрел из оружия и т.д. Возможный результат опыта называют элементарнымсобытием, или исходом. Множество Ω всех возможных взаимоисключающих исходов опыта называется пространством элементарных событий или пространством исходов. Событие вообще – это множество всех таких исходов, которые вызывают его появление. О таких исходах говорят, что они благоприятствуют событию. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита А, В, С ….. К примеру, при однократном бросании монеты исход Г– выпадение герба, исход Р– выпадение решки, пространство Ω ={ Г, Р } ; в опыте с оружием исход А–попадание в мишень, В–промах. В опыте с кубиком исход А₁ –выпало значение 1, А₂ –значение 2, А₃ –значение 3, А₄ –значение 4, А₅ –значение 5, А₆ –значение 6, поэтому пространство элементарных событий Ω ={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Событию А –" выпало нечетное число очков" – благоприятствуют исходы А₁, А₃, А₅.

Событие называется достоверным в данном опыте, если оно обязательно наступит в результате данного опыта. Например, выпадение не менее одного очка при бросании игральной кости.

Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет в результате проведения опыта. Так выпадение числа 7 при броске игральной кости является невозможным.

Два события называются совместимыми в данном опыте, если появление одного из них не исключает появление другого в этом опыте, то есть, если имеется хотя бы один исход, который благоприятствует как одному событию, так и другому. Выпадение орла или решки при подбрасывании двух монет – совместимые события.

Два события называются несовместимыми в данном опыте, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Несовместимыми являются попадание и промах при одном выстреле.

Два события называются противоположными, если появление одного из них равносильно не появлению другого. Например, противоположными являются события выпадение орла или решки при одном подбрасывании симметричной монеты.

События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. Например, при подбрасывании игрального кубика события А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ являются равновозможными.

Суммой А₁+А₂+…+А_n нескольких событий А₁, А₂, …, А_n называется объединение множеств А₁ È А₂È … È А_n. Таким образом, событию А₁+А₂+…+А_n благоприятствуют те и только те исходы, каждый из которых благоприятствует хотя бы одному из событий А₁, А₂, …, А_n, то есть событие А₁+А₂+…+А_n заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий А₁, А₂, …, А_n.

Произведением нескольких событий А₁, А₂, …, А_n называется пересечение множеств А₁Ç А₂Ç … Ç А_n. Произведение А₁А₂…А_n заключается в том, что происходит каждое из событий А₁, А₂, …, А_n.

Несколько попарно несовместных событий образуют полную группу, если в результате испытания никакие другие события, кроме перечисленных, не могут произойти, то есть А₁+А₂+…+А_n = Ω.

 

Решение.

m=1000–80=920, число деклараций, заполненных верно. Искомая вероятность =0, 92.

 

Решение.

Обозначим через А событие, состоящее в том, что выбранный сотрудник - хороший специалист, В₁, В₂ –гипотезы, состоящие в том, что выбранный наугад сотрудник – выпускник первого, или второго вуза соответственно. При этом по условию, Р(В₁)=0, 75; Р(В₂)=0, 25; (А)=0, 95; (А)=0, 9. В соответствии с формулами Байеса при n=2 имеем Р_А(В₂)= =0, 24. Обратите внимание на то, что знаменатель P(A)=0, 75·0, 95+0, 25·0, 9 вычисляется по формуле полной вероятности.

 

Повторные испытания

На практике зачастую приходится сталкиваться с ситуациями, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний при определенном комплексе условий. При этом важным бывает узнать результат не единичного опыта, а серии одинаковых испытаний.

Если вероятность наступления события А в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Если независимые повторные испытания проводятся при одном и том же комплексе условий, то вероятность наступления события А в каждом испытании одна и та же. Описанная последовательность независимых испытаний носит название схемы Бернулли.

Теорема.

Пусть производится " n" независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие А, вероятность появления события А в каждом опыте равна " р", а вероятность не появления q=1-p. Тогда вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях ровно k раз, равна .

Эта формула называется формулой Бернулли.

Пример. При заполнении таможенной декларации надо ответить на 6 вопросов. Вероятность правильного ответа на каждый вопрос 0, 9. Найти вероятность правильного ответа на 5 из поставленных вопросов.

Решение. Вероятность события А (правильный ответ при заполнении декларации) р=0, 9, тогда q= 1-0, 9=0, 1. Искомая вероятность равна = 6·0, 591·0, 1=0, 354

Наивероятнейшим числом появления события А в n независимых испытаниях называется такое число k₀, для которого вероятность P_n(k₀) превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел k появления события A, то есть P_n(с)≥ P_n(k). Для определения наивероятнейшего числа не обязательно вычислять вероятности возможных чисел появлений события, достаточно знать число испытаний n и вероятность появления события A в отдельном испытании. Если произведено " n" независимых испытаний и вероятность появления события А в каждом из них равна р¹ 0, то наивероятнейшее число k₀ заключено в пределах .

Пример. Вероятность получения удачного результата при досмотре перевозимого груза на пограничном таможенном пункте
(обнаружение в грузе запрещенных веществ) равна 0, 75. Найти наивероятнейшее число положительных результатов, если общее количество досмотров за одну смену равно 10.

Решение. В этом примере n=10, p=0, 75, q=0, 25.Неравенство имеет вид , . Только одно целое число является решением этого двойного неравенства – число k₀=8.

Если число испытаний n велико, то вычислять вероятности по формуле Бернулли становится сложно. В этих случаях используют формулы для приближенного значения вероятностей P_n(k).

Локальная теорема Лапласа.

Если вероятность " р" появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в " n" испытаниях ровно " k" раз, выражается приближенной формулой

где - функция четная, ее значения протабулированы и сведены в таблицу, в зависимости от значений " х". Если х ³ 4, то j(х) = 0.

 

Пример. Вероятность поражения мишени биатлонистом при одном выстреле р=0, 85. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах спортсмен поразит мишень 90 раз.

Решение.

 

 

Решение.

а) p=0, 1; q=0, 9; k₁=2; k₂=12; n=100.

Погрешность указанной формулы не превосходит , так что она является довольно точной при больших значениях npq.

 

Задание 1

Комбинаторика.

1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 5, 6, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза.

2. У Петра пятеро друзей: Саша, Дима, Олег, Федя, Сергей. Петру подарили три пригласительных билета на концерт. Укажите все возможные варианты выбора двух друзей для похода на концерт. Сколько всего таких вариантов?

3. Находясь в условиях задачи №2, Петр решил все пригласительные билеты отдать друзьям. Какие при этом возможны варианты? Сколько таких вариантов?

4. Из цифр 1, 2, 3 составьте все возможные двузначные числа при условии, что: а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться.

5. На международную конференцию прибыло 25 представителей различных стран. Однако, в виду регламента выступить с докладом смогут лишь 15 участников конференции. Сколькими способами можно выбрать этих 15 выступающих.

6. В отделе МИДа 12 сотрудников владеют китайским языком и 7 - арабским. Для проведения конференции требуется выделить 4 сотрудников, владеющих китайским, и 2 – арабским. Сколькими способами это можно сделать?

7. Почтальон должен разнести 5 писем в 5 различных организаций. Сколько маршрутов он может выбрать?

8. Сколькими способами могут распределиться призовые места среди 9 участников спортивных соревнований?

9. Сколькими способами можно сшить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется материал из шести различных цветов?

10. Сколькими способами 8 человек могут встать в очередь в железнодорожную кассу за билетами?

11. Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?

12. Сколько существует шестизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?

13. В шахматном турнире участвуют 9 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

14. На станции 8 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 5 поездов?

15. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различны и первая цифра отлична от нуля?

16. Сколькими способами 5 студентов, сдающих экзамен, могут занять места в аудитории, в которой стоят 16 одноместных столов?

17. В группе 6 студентов успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать двух студентов для участия в олимпиаде по математике?

18. В группе 12 парней и 7 девушек. Для уборки территории требуется выделить 4 парня и 2 девушки. Сколькими способами это можно сделать?

19. Сколькими способами можно выбрать три лица на три различные должности из 11 кандидатов?

20. Сколькими различными способами могут разместиться за круглым столом 5 человек?

21. Сколькими способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из 10 кандидатов?

22. Из отдела, в котором работают заведующий отделом и 7 сотрудников, в командировку должны поехать 3 человека. Сколькими способами это можно сделать, если: а) заведующий отделением должен ехать в командировку; б) заведующий отделением не должен ехать в командировку.

23. Девушка помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 9, 4, 3, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Указать наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.

24. Сколькими способами могут быть расставлены 8 участников финального забега на восьми беговых дорожках?

25. На соревнования по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4 на 100 м на первом, втором, третьем и четвертом этапах?

26. В книжном магазине продается 6 различных наборов, посвященных олимпийской тематике. Сколькими способами можно выбрать три из них?

27. Сколько существует выражений, тождественно равных произведению abcde, которые получаются из него перестановкой множителей.

28. В читальном зале студенту предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 5 журналов. Сколькими способами можно выбрать 3 книги и 2 журнала?

29. Сколькими способами можно распределить 7 разных книг между семью студентами?

30. В комнате имеется 6 стульев. Сколькими способами можно разместить на них 6 приглашенных дипломатов?

 

Задание 2

Классическая вероятность

1. Из 18 собранных телевизоров 4 оказались с дефектами. Какова вероятность того, что 2 наугад выбранные телевизора будут без дефектов?

2. Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет более 3-х очков?

3. Студент записал в тетрадь произвольное двузначное число. Какова вероятность того, что сума цифр этого числа оказалось равной 6?

4. Для открытия сейфа надо набрать в определенной последовательности пять цифр (без их повторения): 1, 2, 3, 4, 5. Какова вероятность того, что набрав цифры в произвольном порядке, вы откроете сейф?

5. В пачке находятся одинаковые по размеру тетради: 8 тетрадей в линейку и 6 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что это тетради в клетку?

6. В коробке 6 красных и 4 зеленых карандаша. Из коробки наугад вынимают 5 карандашей. Какова вероятность того, что среди них 3 красных и 2 зеленых?

7. В ящике 10 деталей, одна из которых нестандартная. Наугад берут 2 детали. Какова вероятность того, что обе детали окажутся стандартными?

8. Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков не превосходит 7?

9. Из букв А, Е, Ж, К, М, Н, О, Т составляется наугад слово, состоящее из 6 букв. Какова вероятность того, что получится слово «ТАМОЖЕННИК»?

10. В партии из 10 деталей имеется 3 бракованные. Наугад отобраны 3 детали. Тогда вероятность того, что все отобранные детали будут бракованными, равна..

11. В ящике 20 деталей, 4 из них – нестандартные. Какова вероятность того, что среди 6 наугад взятых деталей нестандартных не окажется?

12. В ящике 20 деталей, 4 из них – нестандартные. Какова вероятность того, что среди 6 наугад взятых деталей окажется 5 стандартных и 1 нестандартная?

13. Игральная кость бросается 1 раз, тогда вероятность того, что число очков, выпавших на верхней грани, будет меньше трех, равна…

14. Для новогодней лотереи отпечатали 1000 билетов, из которых 80 выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?

15. 4 билета в театр распределили по жребию между 15 мальчиками и 12 девочками, какова вероятность того, что билеты достались 2 мальчикам и 2 девочкам?

16. В книге 250 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 5?

17. Подбрасываются 2 игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее: получить в сумме 7 или 8?

18. Наугад выбрано натуральное число, не превосходящее 30. Какова вероятность того, что это число кратно 3?

19. Наугад выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым?

20. Из букв слова «дифференциал» наугад выбирается 1 буква. Какова вероятность того, что эта буква будет: а) гласной; б) согласной; в) ч?

21. На пяти одинаковых карточках написаны буквы: У, Р, К, Ч, А. Карточки перемешиваются и наугад складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «РУЧКА»?

22. Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрывается 5 билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 девушки?

23. В партии из 15 деталей имеется 9 стандартных. Наудачу отобраны 6 деталей. Найдите вероятность того, что среди отобранных деталей 4 стандартных.

24. В группе 11 юношей и 11 девушек. Для дежурства случайным образом отобраны 3 студента. Найдите вероятность того, что все дежурные окажутся юношами?

25. В ящике 9 белых и 2 черных шаров. Найдите вероятность того, что из двух вынутых наудачу шаров один белый, а другой черный. Вынутый шар в урну не возвращается.

26. В партии из 17 деталей имеется 9 стандартных. Наудачу отобраны 9 деталей. Найдите вероятность того, что среди отобранных деталей ровно 4 стандартных.

27. В ящике 4 голубых и 5 красных шаров. Из ящика наугад вынимают 2 шара. Найдите вероятность того, что эти шары разного цвета.

28. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Чему равна вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов один выигрышный?

29. В ящике 10 шаров, из которых 2 белых, 3 красных и 5 голубых. Наудачу извлечены 3 шара. Найдите вероятность того, что все 3 шара разного цвета.

30. Студент выучил к экзамену 20 вопросов из 30. Билет состоит из трех вопросов. Какова вероятность того, что студент знает все 3 вопроса?

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Задание 6

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Одной из важнейших функций математики как фундаментальной науки является создание теоретической научной базы знаний для успешного овладения дисциплинами профессионального цикла и формирование у студентов мышления, при котором осуществляется целостный подход к изучаемому предмету как к системе, состоящей из множества взаимосвязанных элементов.

Математика, традиционно являясь обязательной составляющей инженерного образования, выступает как универсальный, общенаучный метод познания, служит инструментом построения теории других наук. Вузовская математическая подготовка студентов обусловлена возросшими потребностями современной высшей школы в совершенствовании подготовки конкурентоспособного специалиста, умеющего на научной основе организовывать свой труд, анализировать свои возможности, приобретать новые знания.

В процессе изучения математики необходимо воспитать у сту­дентов высокую математическую культуру, достаточную для при­менения математического аппарата в будущей профессиональной деятельности.

При написании данного методического пособия авторы постарались показать возможности интегрального исчисления для решения целого класса задач. Пособие содержит большое количество подробно разобранных заданий, что весьма актуально при самостоятельной работе. Работа с предлагаемыми приложениями будет полезна для формирования умений и навыков практически по всем темам интегрального исчисления, изучаемым в вузе.

Значительный объем приложений позволяет закрепить изученный материал в достаточной степени для дальнейшего практического использования.

 

Рекомендуемая литература.

В.Е. Гмурман Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. Пособие для студентов вузов–8-е изд., стер.–М.: Высш. шк., 2003 г., –405 с.

 

Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская Теория вероятностей в задачах и упражнениях. М.: Форум – Инфра – М, 2005.

 

М.С. Красс, Б.П. Чупрынов, Математика для экономистов.–СПБ.: Питер, 2006 г., 464 с.

А.А. Гусак, Е.А. Бричикова, Теория вероятностей, справочное пособие к решению задач.–Изд-е 4-е, стереотип.–Минск: ТетраСистемс, 2003 г., 288 с.

 

 

Предисловие

 

В настоящее время произошло существенное сокращение аудиторного времени на изучение математических дисциплин. Поэтому, наличие учебного пособия, компактно содержащего краткие теоретические сведения и большое количество подробно разобранных задач соответствующей тематики и допускающего возможность его универсального использования, оказывается весьма полезным.

Настоящее пособие полностью соответствует учебным программам курса математики для инженерных специальностей и предназначается как для преподавателей (с обучающими и контролирующими аспектами), так и для студентов (изучение, освоение и овладение материалом раздела – модуля курса). Пособие может быть использовано на практических занятиях по математике, при самостоятельной работе над разделом курса, при выполнении индивидуальных заданий студентами различных форм обучения.

Преимущество данной работы перед аналогичными заключается, в большой мере, в высокой доступности, достигаемой за счет тщательной детализации используемых методов.

Разумеется, предлагаемое пособие не может претендовать на замену каких – либо широко известных учебных изданий по данной тематике. Тем не менее, авторы предполагают, что и студентам и преподавателям будет удобно использовать его в своей работе.

 

УДК 51-74

 

Составители: Л.И.Студеникина, Д.Н.Тютюнов

 

Рецензент

Кандидат физ-мат. наук, доцент кафедры

высшей математики В.И.Дмитриев

 

 

Элементы теории вероятностей: методические указания и индивидуальные задания предназначены для организации самостоятельной работы студентов специальностей «Таможенное дело», «Международные отношения» / Юго-Зап. гос. ун-т; сост.: Л.И.Студеникина, Курск, 2013. 40 с.: табл. 4. Библиогр.: с.40.

 

 

В данной работе содержатся краткие теоретические положения, образцы выполнения типовых задач, 30 вариантов индивидуальных заданий.

 

 

Текст печатается в авторской редакции

 

 

Подписано в печать _______. Формат 60х84 1/16.

Усл. печ. л.. Уч.-изд. л.. Тираж 50 экз. Заказ____. Бесплатно.

Юго-Западный государственный университет305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.

 

 

Введение

 

Данные методические указания предназначены для формирования умений и навыков у студентов по разделу «Теория вероятностей ».

Наличие таких указаний и индивидуальных заданий, имеющих профессиональную направленность в условиях сокращения аудиторных часов, представляется своевременным.

Теоретическое обеспечение по данному разделу математики достаточно полно отражено в учебных пособиях, предусмотренных рабочими программами. Тем не менее, в данной работе даются краткие теоретические сведения и разобрано достаточно большое количество задач, что очень удобно при организации самостоятельной работы.

Для подготовки студента к защите выполненных индивидуальных заданий представлен список литературы, отражающей в полной мере теоретический материал по данной теме.

 

Содержание

§ 1. Классификация событий……………………………………………….4

§ 2. Классическая вероятность. Комбинаторика……………….5

§ 3. Правила сложения и умножения вероятностей…………...8

§ 4. Формула полной вероятности. Формулы Байеса………..10

§ 5. Повторные испытания…………………………………….11
§ 6. Дискретная случайная величина………………………….14

§ 7. Непрерывная случайная величина………………………17

§ 8. Теоретические вопросы…………………………………18

§ 9. Индивидуальные задания………………………………20

Рекомендуемая литература…………………………………47

 

 

§ 1. Классификация событий.

Опытом, или испытанием, называют всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление. Например, бросание игрального кубика или монеты, выстрел из оружия и т.д. Возможный результат опыта называют элементарнымсобытием, или исходом. Множество Ω всех возможных взаимоисключающих исходов опыта называется пространством элементарных событий или пространством исходов. Событие вообще – это множество всех таких исходов, которые вызывают его появление. О таких исходах говорят, что они благоприятствуют событию. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита А, В, С ….. К примеру, при однократном бросании монеты исход Г– выпадение герба, исход Р– выпадение решки, пространство Ω ={ Г, Р } ; в опыте с оружием исход А–попадание в мишень, В–промах. В опыте с кубиком исход А₁ –выпало значение 1, А₂ –значение 2, А₃ –значение 3, А₄ –значение 4, А₅ –значение 5, А₆ –значение 6, поэтому пространство элементарных событий Ω ={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Событию А –" выпало нечетное число очков" – благоприятствуют исходы А₁, А₃, А₅.

Событие называется достоверным в данном опыте, если оно обязательно наступит в результате данного опыта. Например, выпадение не менее одного очка при бросании игральной кости.

Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет в результате проведения опыта. Так выпадение числа 7 при броске игральной кости является невозможным.

Два события называются совместимыми в данном опыте, если появление одного из них не исключает появление другого в этом опыте, то есть, если имеется хотя бы один исход, который благоприятствует как одному событию, так и другому. Выпадение орла или решки при подбрасывании двух монет – совместимые события.

Два события называются несовместимыми в данном опыте, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Несовместимыми являются попадание и промах при одном выстреле.

Два события называются противоположными, если появление одного из них равносильно не появлению другого. Например, противоположными являются события выпадение орла или решки при одном подбрасывании симметричной монеты.

События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. Например, при подбрасывании игрального кубика события А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ являются равновозможными.

Суммой А₁+А₂+…+А_n нескольких событий А₁, А₂, …, А_n называется объединение множеств А₁ È А₂È … È А_n. Таким образом, событию А₁+А₂+…+А_n благоприятствуют те и только те исходы, каждый из которых благоприятствует хотя бы одному из событий А₁, А₂, …, А_n, то есть событие А₁+А₂+…+А_n заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий А₁, А₂, …, А_n.

Произведением нескольких событий А₁, А₂, …, А_n называется пересечение множеств А₁Ç А₂Ç … Ç А_n. Произведение А₁А₂…А_n заключается в том, что происходит каждое из событий А₁, А₂, …, А_n.

Несколько попарно несовместных событий образуют полную группу, если в результате испытания никакие другие события, кроме перечисленных, не могут произойти, то есть А₁+А₂+…+А_n = Ω.

 

Классическая вероятность. Комбинаторика.

Комбинаторика изучает способы подсчета числа элементов в конечных множествах. Формулы комбинаторики используют при непосредственном вычислении вероятностей. Базовыми конфигурациями комбинаторики являются: перестановки, размещения, сочетания.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же " n" различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок конечного множества из " n" элементов равно n! = обозначается P_n, таким образом

Пример. Сколько существует различных способов составить очередь из 5 человек?

Решение. Очередь – это перестановка из 5 элементов (человек), поэтому количество различных очередей равно способам.

Размещениями из n элементов по m называют наборы, содержащие m различных элементов из данных n элементов, и отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений из n элементов по m определяется формулой

Пример. Сколькими различными способами можно выбрать три лица на три различные должности из десяти кандидатов?

Решение. Задача сводится к нахождению числа размещений из 10 элементов по 3:

Сочетаниями из n элементов по m называют наборы, содержащие m элементов из данных n элементов и отличающиеся составом элементов (порядок расположения элементов, то есть сочетание – это просто подмножество множества заданных элементов). Число всех сочетаний из n по m выражается формулой

Пример. На таможенном посту смена состоит из 6 человек. Сколькими способами можно отобрать из 10 сотрудников одну смену?

Решение. Смена – это сочетание из 10 человек по 6. Поэтому искомое число способов равно

В комбинаторике рассматриваются также конфигурации, в которых допускаются неоднократные повторения одних и тех же элементов. Например, число 1231241 представляет собой перестановку, в которой элемент 1 повторяется 3 раза, элемент 2 –2 раза, 3 и 4 по одному разу. Это перестановки с повторениями (порядок расположения элементов важен), вычисляются по формуле где

Если некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам. Например, если среди " n" элементов есть элементов одного вида, элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями.

Если в размещениях из n элементов по m разрешено неоднократное использование любого элемента, то получаются наборы, которые называются размещениями с повторениями из n элементов по m. Число таких размещений равно n^m. Например, количество четырехзначных чисел, все цифры которых нечетны, равно 5⁴=625, так как любое такое число представляет собой размещение из 5 цифр 1, 3, 5, 7, 9 по 4 (3531, 1977 и т.п.).

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех исходов. При этом предполагается, что все исходы равновозможны.

где m – число исходов, благоприятствующих А;

n – число всех возможных исходов испытания.

Из определения вероятности вытекают ее свойства.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равно нулю.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Пример. Из 1000 таможенных деклараций, лежащих в стопке, 80 заполнены неверно. Какова вероятность, что наудачу взятая декларация, будет заполнена верно?

Решение.

m=1000–80=920, число деклараций, заполненных верно. Искомая вероятность =0, 92.

 

123Следующая ⇒

Поделиться: