![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Правила сложения и умножения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий. P(A+B)=P(A)+P(B). Теорема сложения вероятностей любых событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух событий, равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. P(A+B)=P(A)+P(B)–P(AB).
Если при вычислении вероятности события никаких ограничений не полагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А. Условной вероятностью Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило: Событие А называется независимым от события В, если Р(А)=Рв(А), то есть вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. А не зависит от В, только если В не зависит от А. В случае такой ситуации говорят просто о независимых событиях. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий Р(АВ)=Р(А)·Р(В). Пример. В коробке имеется 5 флагов стран-членов БРИКС. Флаги вынимают по одному и выкладывают в ряд. Какова вероят- ность, что последовательность будет такая: флаг России, ЮАР, Китая, Индии, Бразилии. Решение. Всего 5 флагов.Вероятность того, что первым будет флаг России равна
Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Формула полной вероятности является следствием основных теорем сложения и умножения. Теорема. Пусть событие А может произойти вместе с одним из событий Пример. Собирается определенное число собак для таможенной службы из двух питомников. Первый питомник поставляет 60% всех собак для службы на данной границе, второй − 40%. Вероятность предоставления первым питомником собак с хорошим умением равна 0, 9, вторым питомником − 0, 8. Найти вероятность того, что случайно выбранная из предоставленных собак будет обладать этим умением. Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что случайно выбранная собака обладает хорошим умением акцентироваться на запахах, а через В1, В2 –гипотезы, состоящие в том, что это собака из первого, или второго, соответственно, питомника. Из условия задачи следует, что Р(В1)=0, 6; Р(В2)=0, 4; (А)=0, 9; Используя формулу полной вероятности, получаем Р(А)= Теорема. Пусть событие А может произойти с одним из несовместных событий
Эти формулы называют формулами Байеса. Пример. Два вуза готовят сотрудников таможни. Первый вуз готовит 75% всех сотрудников данной таможни, второй – 25%. Первый вуз выпускает 95% высококвалифицированных кадров, второй – 90%. Выбранный наугад сотрудник этой таможни оказался хорошим специалистом. Найти вероятность того, что он окончил второй вуз. Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что выбранный сотрудник - хороший специалист, В1, В2 –гипотезы, состоящие в том, что выбранный наугад сотрудник – выпускник первого, или второго вуза соответственно. При этом по условию, Р(В1)=0, 75; Р(В2)=0, 25; (А)=0, 95;
Повторные испытания На практике зачастую приходится сталкиваться с ситуациями, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний при определенном комплексе условий. При этом важным бывает узнать результат не единичного опыта, а серии одинаковых испытаний. Если вероятность наступления события А в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Если независимые повторные испытания проводятся при одном и том же комплексе условий, то вероятность наступления события А в каждом испытании одна и та же. Описанная последовательность независимых испытаний носит название схемы Бернулли. Теорема. Пусть производится " n" независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие А, вероятность появления события А в каждом опыте равна " р", а вероятность не появления q=1-p. Тогда вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях ровно k раз, равна Эта формула называется формулой Бернулли. Пример. При заполнении таможенной декларации надо ответить на 6 вопросов. Вероятность правильного ответа на каждый вопрос 0, 9. Найти вероятность правильного ответа на 5 из поставленных вопросов. Решение. Вероятность события А (правильный ответ при заполнении декларации) р=0, 9, тогда q= 1-0, 9=0, 1. Искомая вероятность равна Наивероятнейшим числом появления события А в n независимых испытаниях называется такое число k0, для которого вероятность Pn(k0) превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел k появления события A, то есть Pn(с)≥ Pn(k). Для определения наивероятнейшего числа не обязательно вычислять вероятности возможных чисел появлений события, достаточно знать число испытаний n и вероятность появления события A в отдельном испытании. Если произведено " n" независимых испытаний и вероятность появления события А в каждом из них равна р¹ 0, то наивероятнейшее число k0 заключено в пределах Пример. Вероятность получения удачного результата при досмотре перевозимого груза на пограничном таможенном пункте Решение. В этом примере n=10, p=0, 75, q=0, 25.Неравенство имеет вид Если число испытаний n велико, то вычислять вероятности по формуле Бернулли становится сложно. В этих случаях используют формулы для приближенного значения вероятностей Pn(k). Локальная теорема Лапласа. Если вероятность " р" появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность где
Пример. Вероятность поражения мишени биатлонистом при одном выстреле р=0, 85. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах спортсмен поразит мишень 90 раз. Решение.
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-04-13; Просмотров: 661; Нарушение авторского права страницы