Понятие элементарной функции.

Из основных функций новые функции могут быть получены двумя способами при помощи: а) алгебраических действий; б) операций образования сложной функции.

Определение. Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и ко­нечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

Классификация функций.

Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

Алгебраической называется функция, в которой над аргумен­том проводится конечное число алгебраических действий. К чис­лу алгебраических функций относятся:

• целая рациональная функция (многочлен или полином): у= ;

• дробно–рациональная функция – отношение двух многочле­нов;

• иррациональная функция (если в составе операций над аргу­ментом имеется извлечение корня).

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендент­ной. К числу трансцендентных функций относятся функции: по­казательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.

 

Глава 2. Элементарные функции

2.1 Основные элементарные функции

Прежде чем ввести необходимые определения отметим, что функции, называемые элементарными, были первыми функци­ями, которые подверглись математиками наиболее детальному изучению и начали широко использоваться в приложениях мате­матики. Их особая роль в математическом анализе объясняется тем, что они обладают рядом важных свойств. Приведем два наиболее важных из них: 1) всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения; 2) производ­ная от элементарной функции есть также элементарная функция.

К основным элементарным функциям относят пять классов функций:

1) степенные;

2) показательные;

3) логарифмические;

4) тригонометрические;

5) обратные тригонометрические.

 

2.2 Преобразования графиков функций

Если известен график функции y=f(x), то с помощью некоторых преобразований плоскости (параллельного переноса, осе­вой и центральной симметрии и т. п.) можно построить графики более сложных функций.

1. График функции получается сжатием графика f (x) в b раз к оси Оу при b > 1 или растяжением в 1/b раз от этой оси Оу при 0< b < 1 (рис. 1).

2. График функции f (х+с) получается параллельным пере­носом графика f {x) в отрицательном направлении оси Ох на |с| при с> 0 и в положительном направлении на |с| при с< 0 (рис. 2).

3. График функции af (x) получается растяжением графика f (x) вдоль оси Оу в а раз при а > 1 и сжатием вдоль этой оси в 1/ а раз при 0< а< 1 (рис. 3).

 

4. График функции f(x)+k получается параллельным пере­носом графика / (х) в положительном направлении оси Оу на k при k > 0 и в отрицательном направлении этой оси на при k < 0 (рис. 4).

рис. 4 рис. 5

5. График функции y=f (–х) получается симметричным отоб­ражением графика f (х) относительно оси Оу (рис. 5).

6. График функции у= –f (х) получается симметричным отоб­ражением графика f (х) относительно оси Ох (рис. 6).

7. График функции получается из графика функ­ции y=f(x) следующим образом: часть графика y=f(x), лежа­щая над осью Ох, сохраняется, часть его, лежащая под осью Ох, отображается симметрично относительно оси Ох (рис. 7).

рис. 7 рис. 8

 

8. График функции получается из графика функции y=–f(x) следующим образом: при график y=f(x) сохраня­ется, а при х< 0 полученная часть графика отображается сим­метрично относительно оси Оу (рис. 8).

9. «Сложение» графиков функций. Пусть известны графики функций и . Чтобы построить график функции + , достаточно для каждого х сложить ординаты графиков этих функций (рис. 9).

10. «Умножение» графиков функций. Пусть известны графики функций и . Чтобы построить график функции ∙ , достаточно для каждого х перемножить ординаты графиков этих функций. График функции строят, деля на ординаты графика функции .При этом в точках, где обращается в нуль, функция не определена. Обычно около этих точек график функции неограниченно удаляется от оси абсцисс (рис. 10).

 

 

 

 

Глава 3 Предел последовательности

Понятие сходимости

Последовательностью называется числовая функция , заданная на множестве натуральных чисел . В дальнейшем вместо будем писать . Если – натуральное число, а – значение последовательности в точке , то говорят, что называется номером числа , а само число называют общим или -ым членом последовательности. Последовательность с общим членом обозначают кратко .

Последовательности бывают конечные и бесконечные.: бесконечная последовательность – последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, ...; конечная последовательность – последовательность чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6.

У некоторых бесконечных последовательностей члены с большими номерами оказываются близкими к какому–то постоянному числу, причем это приближение тем точнее, чем больше номер члена.

Определение: число а называется пределом числовой последовательности , если для любого (сколь угодно малого) положительного числа найдется номер N такой, что для всех членов последовательности с номерами п > N выполняется неравенство . Если это выполняется, то пишут .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Смысл определения предела числовой последовательности состоит в том, что доля достаточно больших члены последовательности как угодно мало отличаются от числа (по абсолютной величине меньше, чем на число , каким бы малым оно ни было).

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: