Существование предела монотонной ограниченной последовательности

При вычислении пределов используются понятия монотонной и постоянной последовательностей. Последовательность называется постоянной, если для любого , где – некоторое действительное число.

Последовательность называется ограничен­ной, если найдется число такое, что для всех . Последовательность называется возрастающей (убывающей), если ( ). Возрастающие и убывающие последовательности называются монотон­ными последовательностями.

Последовательность называется строго возрастающей (строго убывающей), если ( ). Строго возрастающие и строго убывающие последовательности называются строго монотон­ными последовательностями.

Последовательности, обладающие как свойством ограниченности, так и свойством монотонности, имеют предел. Для вычисления пределов используются следующие теоремы.

Теорема 1. Если последовательность ограничена и монотонна, то она сходится.

Теорема 2. Пусть дана постоянная числовая последовательность , где для любого . Тогда она сходится и – предел постоянной равен постоянной.

Теорема 3. Последовательность с общим членом сходится и .

Теорема 4. Если , то последовательность сходится и .

Действия над сходящимися последовательностями

1) + – предел суммы равен сумме пределов;

2) – предел произведения равен произведению пределов;

3) = – постоянный множитель можно выносить за знак предела;

4) , если – предел отношения равен отношению пределов.

 

Глава 4 Предел функции и непрерывность

Определения предела функции

Понятие предела функции лежит в основе математического анализа. Пусть – число. Если значения функции приближаются к некоторому числу b, когда значения аргумента приближаются к числу а, то это число b называют пределом функ­ции в точке а.

Определение 1. Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , сходящейся к , последовательность соответствующих значений функции сходится и ее предел равен . Принято писать .

Определение 2. («на языке – »): число b называется пределом функции f(x) в точке а (или при стремлении х к а), если для любого (сколь угодно малого) числа > 0 найдется число > 0 такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < < (1), выполняется неравенство < (2).

Замечание. В определении предполагается, что функция f(x) опре­делена в некоторой окрестности точки а (за исключением, возможно, самой точки а) и что х в неравенствах (1) и (2) принадлежит этой окрестности.

Геометрически означает, что точки графика функции у = f(x) приближаются к точке (а, b) на плоскости Оху при приближении точки х к точ­ке а на оси х (рис. a). Неравенства (1) и (2) геометрически означают, что при всех х, достаточно близких к а, точки графика функции f(x) лежат в сколь угодно узкой полоске вида b– < y < b + (рис. б).

 

Расширение понятия предела

Бесконечно малая последовательность–это последовательность, пре­дел которой равен нулю.

Теорема: произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последователь­ность.

Если члены последовательности с ростом номера неограниченно воз­растают, то говорят о бесконечном пределе последовательности.

Определение: предел последовательности x₁, х₂, ...., х_n…,... равен бесконечности, если для любого (сколь угодно большого) числа Е > 0 найдется номер N такой, что при всех п ³ N выполняется неравенство .В этом случае пишут .

Бесконечно большая последовательность – это последовательность, предел которой равен бесконечности.

Теорема: если , то ; если , то .

Односторонние пределы.В некоторых вопросах важно изучать поведение функции не просто вблизи заданной точки, а с одной стороны от этой точки – слева или справа (односторонние пределы.).

Определение: число b₁ называется левым пределом, (или пределом слева) функции f(x) в точке а, если для любого числа > 0 существует число > 0 такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству a– < x< a (3), выполняется неравенство < (4).

Принято писать , или .

В определении предполагается, что функция f(x) определена в левой полуокрестности точки а, т. е. при х Î (а – , a), где > 0, и что х в не­равенствах (3) и (4) принадлежит этой полуокрестности.

Аналогично определяется правый предел (или предел справа): , или .

В этом случае (3) следует заменить неравенством а < х < а + .

Обычный предел существует в том и только в том случае, когда левый и правый пределы в этой точке существуют и равны.

Бесконечные пределы.

Если при приближении х к некоторой точке а значения функции неограниченно возрастают, говорят о бесконечном пределе функции в этой точке.

Определение: функция f(x) имеет в точке а бесконечный предел, если для любого (сколь угодно большого) числа Е > 0 существует число > 0 такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству 0< < (5), выполняется неравенство (6).

Принято писать = . (читается «предел f(x) в точке а равен бесконечности» или « f(x) стремится к бесконечности при х а»). График функции у = f(x), имеющей бес­конечный предел в точке а, при х а неограничен­но удаляется от оси х, приближаясь к прямой х = а («вертикальная асимп­тота», см. рис.).

Если при х, удовлетворяющих (5); вместо (6) выполняется не­равенство f(x) > Е (или f(x) < – Е), то говорят, что =+ , соответственно =– .

Вводятся также односторонние бесконечные пределы.

Замечание. Возможен случай, когда левый предел конечный, а правый бесконечный (или наоборот); возможен также случай, когда нет ни конечного, ни бесконечного предела.

Если при неограниченном возрастании аргумента значения функции приближаются к некоторому числу, говорят о пределе функции на беско­нечности.

Определение: число b₁ называется пределом функции f(x) на плюс бесконечности, если для любого числа > 0 существует число > 0 такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству

х > (7), выполняется неравенство < . Принято писать = b₁.

В данном определении предполагает­ся, что функция f(x) определена в ок­рестности плюс бесконечности, т. е. при х > , где > 0 – некоторое число. Геометрически = b₁ означает, что при неограниченном удалении точки х от начала координат вправо график функции неограниченно приближается к прямой у = b₁ («горизонтальная асимптота»).

Определение предела функции на минус бесконечности отли­чается от определения тем, что вместо (7) следует написать неравенство х < – . Геометрически =b₂означает, что при неограниченном удалении влево от начала координат график функции неограни­ченно приближается к прямой у = b₂.

Теоремы о пределах функций

1) если предел функции в точке а существует, то он единственный;

2) предел постоянной равен этой постоянной;

3) + – предел суммы равен сумме пределов;

4) = –постоянный множитель можно выносить за знак предела;

5) ∙ – предел произведения равен произведению пределов;

6) , если ¹ 0–предел отношения равен отношению пределов.

В теоремах 3) – 6) предполагается существование пределов всех функ­ций в правых частях равенств.

Для непрерывных функций, вычисление пределов в точках, при­надлежащих области определения, сводится к подстановке соответствую­щих значений аргумента функции, т. е. В частности, это правило относится к элементарным функциям и их комбинациям.

Если =0, то , т.е. величина, обратная к бесконечно малой, есть бесконечно большая; если = , то , т. е. величина, обратная к бесконечно большой, есть бесконечно малая. Здесь а означает конечную точку или символ .

Выражения вида в случаях, и либо и , называется неопределенностями вида 0/0 или / .

Раскрыть неопределенность – значит вычислить .

Способы раскрытия неопределенностей вида 0/0, / , 0∙ , - , :

1) тождественное преобразование выражения;

1) использование «основных пределов»: первый замечательный предел ;

второй замечательный предел ;

3) применение правила Лопиталя: если существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных двух функций, то предел отношения этих функций существует и равен пределу отношения произ­водных: .

4.4 Непрерывность функции.

Определение. Функция непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1) определена в точке , т.е. существует ;

2) имеет конечный предел функции при или существуют односторонние пределы функции слева и справа и они равны;

3) предел функции равен значению функции в точке , т.е. .

Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция в данной точке не является непрерывной. Различают точки разрыва первого рода и второго рода. К точкам разрыва первого рода относятся точки устранимого разрыва и неустранимого разрыва или скачка.

Точки устранимого разрыва: существует предел функции при (или существуют односторонние пределы функции слева и справа и они равны), но он не равен ( они не равны) значению функции в этой точке , либо функция не определена в точке .

Устранимый разрыв или скачок: существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при , не равные друг другу и , но . Величина называется скачком или разрывом.

Разрыв второго рода: хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует.

Свойства функций, непрерывных в точке:

1) если функции и непрерывны в точке , то их сумма + , произведение ∙ и частное / , при условии , являются функциями, непрерывными в точке ;

2) если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке = , то сложная функция непрерывна в точке .

Под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу. , т.е.

Функция называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Свойства функций, непре­рывных на отрезке:

1) Если функция не­прерывна на отрезке [а, b], то она ограничена на этом отрезке.

2) Если функция не­прерывна на отрезке [а, b], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего значения m и своего наибольшего значения M.

3) Если непрерывная функция меняет знак на замкнутом промежутке [а, b], то она имеет по крайней мере один корень внутри интервала (a, b).

 

 

 

а) б) в)

 

⇐ Предыдущая123

Поделиться: