Глава 5. Производная и ее применение

Глава 5. Производная и ее применение

Производная функции

Пусть функция определена на промежутке X. Возьмем точку хÎ Х. Дадим значению х приращение , тогда функция получит приращение

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

Производная функции имеет несколько обозначений: y', , , .

Иногда в обозначении производной используется индекс, указывающий, по какой переменной взята производная, например, . Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называетсядифференцируемой на этомпромежутке.

Геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой в точке , т.е. k= .

Тогда уравнение касательной к кривой в точке примет вид

Механический смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент

Физический смысл производной: Если функция описывает какой-либо физический процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса.

Зависимость между непрерывностью функции и дифференцируемостью.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке x₀, то она в этой точке непрерывна.

Правила дифференцирования.

1. Производная постоянной равна нулю, т.е. с'=0.

2. Производная аргумента равна 1, т.е. х¢ =1.

В следующих правилах будем полагать, что и=и(х) и v=v(x) – дифф-ые функции.

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е. (u+v)¢ =u¢ +v¢.

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е. (uv)¢ =u¢ v+uv¢.

Следствие1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (cu)¢ =cu¢.

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемх функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например:

(uvw)¢ =u¢ vw+uv¢ w+uvw¢.

5. Производная частного двух дифференцируемых функций равна

, при условии, что v¹ 0.

Производная сложной функций.

Пусть переменная у есть функция от переменной u (y=f(u)), a переменная u в свою очередь есть функция от независимой переменной х, т.е. задана сложная функция

Теорема. Если у=f(u) и — дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х, т.е.

Таблица производных.

N	Функция	Производная
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Производная обратной функции.

Пусть – дифференцируемая и строго монотонная функция на некотором промежутке X. Если переменную у рассматривать как аргумент, а переменную х как функцию, то новая функция является обратной к данной и, как можно показать, непрерывной на соответствующем промежутке Y.

Теорема. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е. .

Неявная функция и ее дифференцирование

Если функция задана уравнением , разрешенным относительно , то функция задана в явном виде. Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения , не разрешенного относительно .

Если неявная функция задана уравнением , то для нахождения производной от по нет необходимости разрешать уравнение относительно : достаточно продифференцировать это уравнение по , рассматривая при этом как функцию , и полученное затем уравнение разрешить относительно .

Производная неявной функции выражается через аргумент и функцию .

Экстремум функции

Материал этого параграфа наиболее важен для решения задач исследования функций и построения их графиков. Выделим наиболее важные, " узловые", точки функции, нахождение которых во многом определяет структуру графика. Это точки экстремума – максимума и минимума функции.

Определение 1. Точка называется точкой максимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство £ .

Определение 2. Точка называется точкой минимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство ³ .

Значения функции в точках и называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки . Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может случиться, что минимум в одной точке больше максимума в другой, например, на рис. .

Наличие максимума (или минимума) в отдельной точке промежутка Х вовсе не означает, что в этой точке функция ¦(x) принимает наибольшее (наименьшее) значение на этом промежутке (или, как говорят, имеет глобальный максимум (минимум)).

Необходимое условие экстремума. Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполнены условия теоремы Ферма, и, следовательно, производная функции в этой точке равна нулю, т.е. . Но функция может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема. Так, например, функция имеет экстремум (минимум) в точке x=0, но не дифференцируема в ней.

Поэтому необходимое условие экстремума может быть сформулировано следующим образом.

Для того чтобы функция имела экстремум в точке , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, т.е. производная равна нулю или не существует, называются критическими (или стационарными ). Обращаем внимание на то, что эти точки должны входить в область определения функции.

Таким образом, если в какой–либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая. Очень важно, однако, заметить, что обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума.

Таким образом, для нахождения экстремумов функции требуется дополнительное исследование критических точек. Иными словами, требуется знать достаточное условие экстремума.

Асимптоты графика функции

В предыдущих параграфах мы изучали характерные точки функции. Теперь рассмотрим характерные линии. Важнейшими из них являются асимптоты.

Определение. Асимптотой графика функции у=¦(х) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (x, ¦(х)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

На рис. а изображена вертикальная асимптота, на рис. 6 – горизонтальная асимптота, а на рис. в – наклонная. Этими тремя случаями исчерпываются все возможные расположения асимптот.

Нахождение асимптот графика основано на следующих утверждениях.

Теорема 1. Пусть функция у =¦(х) определена в некоторой окрестности точки х₀ (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при (слева) или при (справа) – равен бесконечности, т.е. или . Тогда прямая х=x₀ является вертикальной асимптотой графика функции у =¦(х).

Очевидно, что прямая х=x₀ не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке х₀, так как в этом случае . Следовательно, вертикальные асимптоты х=x₀ следует искать в точках разрыва функции у =¦(х) или на концах ее области определения (а, b), если а и b — конечные числа.

Теорема 2. Пусть функция у =¦(х) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции . Тогда прямая у=b есть горизонтальная асимптота графика функции у =¦(х).

3 а м е ч а н и с. Если конечен только один из пределов или то функция имеет лишь левостороннюю y=b_л или правостороннюю y=b_п горизонтальную асимптоту.

В том случае, если , функция может иметь наклонную асимптоту.

Теорема 3. Пусть функция y=¦(x) определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы и . Тогда прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=¦(x).

Наклонная асимптота, так же может быть правосторонней или левосторонней.