Выпуклость функции. Точки перегиба

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Ранее мы изучали точки экстремума, нахождение которых во многом определяет структуру графика функции. Определим теперь другие " узловые" точки функции, которые также следует найти, чтобы качественно построить ее график.

Определение. Функция называется выпуклой вниз (вогнутой) на промежутке X, если для любых двух значений х₁, х₂ Î Х из этого промежутка выполняется неравенство

.

Определение. Функция называется выпуклой вверх(выпуклой) на промежутке X, если для любых двух значении х₁, х₂ Î Х из этого промежутка выполняется неравенство

Очевидно, что если функция выпукла вниз, то отрезок, соединяющий любые две точки графика, целиком лежит над графиком, если – выпукла вверх, то весь такой отрезок целиком лежит под графиком функции.

Теорема. Функция выпукла вниз (вверх) на промежутке Х тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что если ¦’(x) возрастает (убывает) на промежутке X, то возрастает (убывает) угол наклона касательных к графику (см.рис. а, б). Это и означает выпуклость функции вниз (вверх).

Достаточное условие выпуклости функции вниз (вверх) .

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке .

Необходимое условие выпуклости: если функция выпукла на промежутке X, то можно утверждать лишь, что f" (x)³ 0 (или ¦" (х)£ 0), хÎ Х.

Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Точки перегиба – это точки экстремума первой производной.

Теорема (необходимое условие перегиба) . Вторая производная ¦" (х) дважды дифференцируемой функции в точке перегиба х₀ равна нулю, m.e. ¦" (х)=0.

Теорема (достаточное условие перегиба) . Если вторая производная ¦" (x) дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку х₀ меняет свой знак, то х₀ есть точка перегиба ее графика.

Следует отметить, что если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то она есть точка перегиба.

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба:

1°. Найти вторую производную функции ¦" (х).

2°. Найти точки, в которых вторая производная ¦”(х)=0 или не существует.

3°. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

4°. Найти значения функции в точках перегиба.

Асимптоты графика функции

В предыдущих параграфах мы изучали характерные точки функции. Теперь рассмотрим характерные линии. Важнейшими из них являются асимптоты.

Определение. Асимптотой графика функции у=¦(х) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (x, ¦(х)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

На рис. а изображена вертикальная асимптота, на рис. 6 – горизонтальная асимптота, а на рис. в – наклонная. Этими тремя случаями исчерпываются все возможные расположения асимптот.

Нахождение асимптот графика основано на следующих утверждениях.

Теорема 1. Пусть функция у =¦(х) определена в некоторой окрестности точки х₀ (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при (слева) или при (справа) – равен бесконечности, т.е. или . Тогда прямая х=x₀ является вертикальной асимптотой графика функции у =¦(х).

Очевидно, что прямая х=x₀ не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке х₀, так как в этом случае . Следовательно, вертикальные асимптоты х=x₀ следует искать в точках разрыва функции у =¦(х) или на концах ее области определения (а, b), если а и b — конечные числа.

Теорема 2. Пусть функция у =¦(х) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции . Тогда прямая у=b есть горизонтальная асимптота графика функции у =¦(х).

3 а м е ч а н и с. Если конечен только один из пределов или то функция имеет лишь левостороннюю y=b_л или правостороннюю y=b_п горизонтальную асимптоту.

В том случае, если , функция может иметь наклонную асимптоту.

Теорема 3. Пусть функция y=¦(x) определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы и . Тогда прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=¦(x).

Наклонная асимптота, так же может быть правосторонней или левосторонней.

⇐ Предыдущая 1 23
Поделиться:

Последнее изменение этой страницы: 2017-04-13; Просмотров: 826; Нарушение авторского права страницы