Классические методы безусловной оптимизации.

Как известно, классическая задача безусловной оптимизации имеет вид:

(1)

(2)

Существуют аналитические и численные методы решения этих задач.

Прежде всего вспомним аналитические методы решения задачи безусловной оптимизации.

Методы безусловной оптимизации занимают значительное место в курсе МО. Это обусловлено непосредственным применением их при решении ряда оптимизационных задач, а также при реализации методов решения значительной части задач условной оптимизации (задач МП).

1.1. Необходимые условия для точки локального минимума (максимума).

Пусть т. доставляет минимальные значения функции . Известно, что в этой точке приращение функции неотрицательно, т.е. . (1)

Найдем , используя разложения функции в окрестности т. в ряд Тейлора.

, (2)

где , , - сумма членов ряда порядок которых относительно приращений (двум) и выше.

Из (2) имеем:

(3)

 

 

Далее предположим, что изменяется только одна переменная из множества переменных . Например, , тогда (3) преобразуется к виду:

(4)

Из (4) с очевидностью следует, что (5)

Предположим, что , тогда

(6)

С учетом (6) имеем: . (7)

Предположим, что положительно, т.е. . Выберем при этом , тогда произведение , что противоречит (1).

Поэтому, действительно, очевиден.

Рассуждая аналогично относительно других переменных получаем необходимое условие для точек локального минимума функции многих переменных .

(8)

Легко доказать, что для точки локального максимума необходимые условия будут точно такими же, как и для точки локального минимуму, т.е. условиями (8).

Понятно, что итогом доказательства будет неравенство вида: - условие неположительного приращения функции в окрестности локального максимума.

Полученные необходимые условия не дают ответ на вопрос: является ли стационарная точка точкой минимума или точкой максимума.

 

 

ЛК №5

13.03.2003

 

 

Ответ на этот вопрос можно получить, изучив достаточные условия. Эти условия предполагают исследование матрицы вторых производных целевой функции .

 

1.2. Достаточные условия для точки локального минимума (максимума).

Представим разложение функции в окрестности точки в ряд Тейлора с точностью до квадратичных по слагаемых.

(1)

Разложение (1) можно представить более кратко, используя понятие: " скалярное произведение векторов" и " векторно-матричное произведение".

(1')

- матрица двух производных от целевой функции по соответствующим переменным.

,

Приращение функции на основании (1') можно записать в виде:

(3)

Учитывая необходимые условия: , . (4)

Подставим (3) в виде:

(4')

(5)

Квадратичная форма называется дифференциальной квадратичной формой (ДКФ).

 

 

Если ДКФ положительно определена, то и стационарная точка является точкой локального минимума.

Если же ДКФ и матрица , ее представляющая, отрицательно определены, то и стационарная точка является точкой локального максимума.

Итак, необходимое и достаточное условие для точки локального минимума имеют вид: , (эти же необходимые условия можно записать так: , , ).

- достаточное условие.

Соответственно, необходимое и достаточное условие локального максимума имеет вид:

, ( ), .

Вспомним критерий, позволяющий определить: является ли квадратичная форма и матрица, ее представляющая, положительно определенной, или отрицательно определенной.

 

Критерий Сильвестра.

Позволяет ответить на вопрос: является ли квадратичная форма и матрица, ее представляющая, положительно определенной, или отрицательно определенной.

Далее изложение будет относительно ДКФ и матрицы ее определяющей, т.е. ДКФ вида .

, - называется матрицей Гессе.

Главный определитель матрицы Гессе .

 

ЛК №6

20.06.2003

 

 

и ДКФ, которую оно представляет, будут положительно определенными, если все главные определители матрицы Гессе ( ) положительны (т.е. имеет место следующая схема знаков: ).

Если же имеет место другая схема знаков для главных определителей матрицы Гессе , например, , то матрица и ДКФ отрицательно определены.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: