Достаточные условия в классической задаче условной оптимизации. Алгоритм ММЛ.

Эти условия позволяют выяснить, является ли условно-стационарная точка точкой локального условного минимума, или точкой локального условного максимума.

Относительно просто, подобно тому, как были получены достаточные условия в задаче на безусловный экстремум. Можно получить достаточные условия и в задаче классической условной оптимизации.

Результат этого исследования: , где - точка локального условного минимума.

, где - точка локального условного максимума, - матрица Гессе с элементами , .

Матрица Гессе имеет размерность .

Размерность матрицы Гессе можно уменьшить, используя условие неравенства нулю якобиана: . При этом условии можно зависимые переменные выразить через независимые переменные , тогда матрица Гессе будет иметь размерность , т.е. необходимо говорить о матрице с элементами , , тогда достаточные условия будут иметь вид:

, - точка локального условного минимума.

, - точка локального условного максимума.

Доказательство: Алгоритм ММЛ:

1) составляем функцию Лагранжа: ;

2) используя необходимые условия, формируем систему уравнений:

3) из решения этой системы находим точку ;

 

4) используя достаточные условия, определяем, является ли точка точкой локального условного минимума или максимума, затем находим .

 

1.5.4. Графо-аналитический метод решения классической задачи условной оптимизации в пространстве и его модификации при решении простейших задач ИП и АП.

Этот метод использует геометрическую интерпретацию классической задачи условной оптимизации и основан на ряде важных фактов, присущих этой задаче.

; ; ;

В - общая касательная для функции и функции , представляющей ОДР .

Как видно из рисунка точка - точка безусловного минимума, точка - точка условного локального минимума, точка - точка условного локального максимума.

Докажем, что в точках условных локальных экстремумов кривая и соответствующие линии уровня ; .

Из курса МА известно, что в точке касания выполняется условие , где - угловой коэффициент касательной, проведенной соответствующей линией уровня; - угловой коэффициент касательной, проведенной к функции .

Известно выражение (МА) для этих коэффициентов:

; .

Докажем, что эти коэффициенты равны.

 

ЛК №9

10.04.2003

 

;

; , потому что об этом " говорят" необходимые условия.

.

Вышесказанное позволяет сформулировать алгоритм ГФА метода решения классической задачи условной оптимизации:

1) строим семейство линий уровня целевой функции: ; ;

2) строим ОДР, используя уравнение ограничения ;

3) с целью внесения исправления возрастания функции , находим и выясняем характер экстремальных точек;

4) исследуем взаимодействие линий уровня и функции , находя при этом из системы уравнений координаты условно-стационарных точек – локальных условных минимумов и локальных условных максимумов.

5) вычисляем .

Следует особо отметить, что основные этапы ГФА метода решения классической задачи условной оптимизации совпадают с основными этапами ГФА метода решения задач НП и ЛП, отличие лишь в ОДР , а также в нахождении местоположения экстремальных точек в ОДР (например, в задачах ЛП эти точки обязательно находятся в вершинах выпуклого многоугольника, представляющего ОДР ).

 

О практическом смысле ММЛ.

Представим классическую задачу условной оптимизации в виде:

(1)

(2)

где - переменные величины, представляющие в прикладных технических и экономических задачах переменные ресурсы.

 

 

Повторить вопрос о седловой точке функции двух переменных.

 

 

В пространстве задача (1), (2) принимает вид:

(1')

, где - переменная величина. (2')

Пусть - точка условного экстремума: . При изменении изменяется , т.е. . Соответственно изменится и значение целевой функции: .

Вычислим производную: . (3)

(4)

(5)

Из (3), (4), (5) . (6)

Из (5) . (5')

Подставим (5') в (3) и получаем:

(6')

Из (6) , что множитель Лагранжа характеризует " реакцию" значение (ортогональна значению целевой функции) на изменения параметра .

В общем случае (6) принимает вид: ; . (7)

Из (6), (7) , что множитель , характеризует изменение при изменении соответствующего -того ресурса на 1.

Если - максимальная прибыль или минимальная стоимость, то , характеризует изменения этой величины при изменении , на 1.

 

1.5.6. Классическая задача условной оптимизации, как задача о нахождении седловой точки функции Лагранжа: .

Пара называется седловой точкой, если выполняется неравенство.

(1)

 

Повторить вопрос о выпуклых множествах и выпуклых функциях.

 

Очевидно, что из (1) . (2)

Из (2) , что . (3)

Как видно система (3) содержит уравнений, подобных тем уравнениям, которые представляют необходимое условие в классической задаче условной оптимизации:

(4)

где - функция Лагранжа.

В связи с аналогией систем уравнений (3) и (4), классическую задачу условной оптимизации можно рассматривать как задачу о нахождении седловой точки функции Лагранжа.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: