Импульсная переходная функция

Если ко входу системы приложить входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, результирующий выходной сигнал ЛСС будет представлять собой импульсную переходную функцию системы. Запись:

Для дискретной системы:

(из-за свойства сдвига дельта-функции).

Заметим, что:

то есть h(t) — импульсная переходная функция системы

Импульсная переходная функция используется для того, чтобы найти выходной сигнал системы как реакцию на любой входной сигнал. Кроме того, любой вход может быть представлен в виде суперпозиции дельта-функций:

Приложив ко входу системы, получим:

(так как линейна)

(так как x(τ ) постоянна по t и линейна)

(by definition of h(t))

В импульсной переходной функции h(t) содержится вся информация о динамике ЛСС.

Собственные функции

Собственная функция — функция, для которой выход оператора представляет собой ту же функцию, в общем случае с точностью до постоянного множителя. Запись:

,

где f — собственная функция, и λ — собственное число, константа.

Экспоненты e^st, где являются собственными функциями линейного стационарного оператора. Простое доказательство:

Пусть входной сигнал системы x(t) = e^st. Тогда выходной сигнал системы h(t) равен:

что эквивалентно следующему выражению в силу коммутативности свёртки:

,

где

зависит только от s.

Таким образом, e^st — собственная функция ЛСС.

Преобразования Лапласа и Фурье

Преобразование Лапласа

является точным способом получить собственные числа из импульсной переходной функции. Особенный интерес представляют чистые синусоиды, то есть экспоненты вида exp(jω t) где и . Они обычно называются комплексными экспонентами даже если аргумент не имеет действительной части. Преобразование Фурье даёт собственные числа для чисто комплексных синусоид. H(s) называется передаточной функцией системы, иногда в литературе этот термин применяют и к H(jω ).

Преобразование Лапласа обычно используется для односторонних сигналов, то есть при нулевых начальных условиях. Начальный момент времени без потери общности принимается за ноль, а преобразование берётся от ноля до бесконечности (преобразование, которое получается при интегрировании также и до минус бесконечности, называется двустороннее преобразование Лапласа).

Преобразование Фурье используется для анализа систем, через которые проходят периодические сигналы, и во многих других случаях — например, для анализа системы на устойчивость.

Из-за свойств свёртки для обоих преобразований имеют место следующие соотношения:

Для дискретных систем:

Некоторые свойства

Некоторые из важных свойств любой системы — причинность и устойчивость. Для того, чтобы система существовала в реальном мире, должен выполняться принцип причинности. Неустойчивые системы могут быть построены и иногда быть даже полезными.

Причинность

Основная статья: Причинная система

Система называется причинной, если её выход зависит только от текущего или предыдущего приложенного воздействия. Необходимое и достаточное условие причинности:

Для дискретных систем:

где h(t) — импульсная переходная функция. В явном виде определить причинная система или нет из её преобразования Лапласа в общем случае невозможно, так как обратное преобразование Лапласа не является уникальным. Причинность может быть определена когда задана область сходимости.

Устойчивость

Основная статья: Устойчивость BIBO

Система является устойчивой по ограниченному входу, ограниченному выходу (англ. bounded input, bounded output stable, BIBO stable) если для каждого ограниченного входа выходной сигнал является конечным. Запись: Если

и

(то есть, максимумы абсолютных значений x(t) и y(t) конечны), тогда система устойчива. Необходимое и достаточное условие устойчивости: импульсная переходная характеристика системы, h(t), должна удовлетворять выражению

Для дискретных систем:

В частотной области область сходимости должна содержать мнимую ось s = jω.

Динамическая система — математическая абстракция, предназначенная для описания и изучения систем, эволюционирующих с течением времени. Примером могут служить механические системы (движущиеся группы тел) или физические процессы.

// Основные понятия

Реальным физическим системам, моделируемым математическим понятием «динамической системы», приписывается важное свойство детерминированности: зная состояние системы в начальный момент времени, мы можем однозначно предсказать все ее дальнейшее поведение. Фазовым пространством динамической системы называется множество всех ее возможных состояний в фиксированный момент времени. Обычно состояние системы задается некоторым набором чисел (фазовых координат) и представляет собой область в многомерном пространстве или многообразие. Эволюция системы представляется как движение точки фазового пространства. Кривая, описываемая этой точкой называется фазовой кривой или фазовой траекторией. В качестве примера рассмотрим механическую систему, состоящую из груза (материальной точки), движущегося по неподвижному стержню. Допустим, что трение и внешние силы отсутствуют. Положение груза задается одним вещественным числом — его координатой в некоторой фиксированной системе отсчета. Однако знание одной только координаты не задает полностью состояние динамической системы, поскольку не позволяет предсказать ее поведение в будущем. С другой стороны, зная координату и скорость в начальный момент времени, мы можем это сделать, вспомнив второй закон Ньютона (в данном случае скорость постоянна). Говорят, что фазовое пространство такой системы двумерно. Если бы грузов было два, состояние системы описывалось бы четырьмя числами (две координаты и две скорости) и система имела бы четырехмерное фазовое пространство. Важно отметить, что каждая точка фазового пространства задает состояние всей системы.

Способы задания динамических систем

Для задания динамической системы необходимо описать её фазовое пространство X, множество моментов времени T и некоторое правило, описывающее движение точек фазового пространства со временем. Множество моментов времени T может быть как интервалом вещественной прямой (тогда говорят, что время непрерывно), так и множеством целых или натуральных чисел (дискретное время). Во втором случае «движение» точки фазового пространства больше напоминает мгновенные «скачки» из одной точки в другую: траектория такой системы является не гладкой кривой, а просто множеством точек, и называется обычно орбитой. Тем не менее, несмотря на внешнее различие, между системами с непрерывным и дискретным временем имеется тесная связь: многие свойства являются общими для этих классов систем или легко переносятся с одного на другой.

Фазовые потоки

Пусть фазовое пространство X представляет собой многомерное пространство или область в нем, а время непрерывно. Допустим, что нам известно, с какой скоростью движется каждая точка x фазового пространства. Иными словами, известна вектор-функция скорости v(x). Тогда траектория точки будет решением автономного дифференциального уравнения с начальным условием x(0) = x₀. Заданная таким образом динамическая система называется фазовым потоком для автономного дифференциального уравнения.

Каскады

Пусть X — произвольное множество, и — некоторое отображение множества X на себя. Рассмотрим итерации этого отображения, то есть результаты его многократного применения к точкам фазового пространства. Они задают динамическую систему с фазовым пространством X и множеством моментов времени . Действительно, будем считать, что произвольная точка за время 1 переходит в точку . Тогда за время 2 эта точка перейдет в точку x₂ = f(x₁) = f(f(x₀)) и т. д.

Если отображение f обратимо, можно определить и обратные итерации: x _{− 1} = f ^{− 1}(x₀), x _{− 2} = f ^{− 1}(f ^{− 1}(x₀)) и т. д. Тем самым получаем систему с множеством моментов времени .

Примеры

· Система дифференциальных уравнений

задает динамическую систему с непрерывным временем, называемую «гармоническим осциллятором». Её фазовым пространством является плоскость (x, v), где v — скорость точки x. Гармонический осциллятор моделирует разнообразные колебательные процессы — например, поведение груза на пружине. Его фазовыми кривыми являются эллипсы с центром в нуле.

· Пусть — угол, задающий положение точки на единичной окружности. Отображение удвоения , задаёт динамическую систему с дискретным временем, фазовым пространством которой является окружность.

· Быстро-медленные системы описывают процессы, одновременно развивающиеся в нескольких масштабах времени.

Вопросы теории динамических систем

Имея какое-то задание динамической системы, далеко не всегда можно найти и описать ее траектории в явном виде. Поэтому обычно рассматриваются более простые (но не менее содержательные) вопросы об общем поведении системы. Например:

1. Есть ли у системы замкнутые фазовые кривые, то есть может ли она вернуться в начальное состояние в ходе эволюции?

2. Как устроены инвариантные многообразия системы (частным случаем которых являются замкнутые траектории)?

3. Как устроен аттрактор системы, то есть множество в фазовом пространстве, к которому стремится «большинство» траекторий?

4. Как ведут себя траектории, выпущенные из близких точек — остаются ли они близкими или уходят со временем на значительное расстояние?

5. Что можно сказать о поведении «типичной» динамической системы из некоторого класса?

6. Что можно сказать о поведении динамических систем, «близких» к данной?

Ста́ тика (от греч. σ τ α τ ό ς, «неподвижный») — раздел механики, в котором изучаются условия равновесия механических систем под действием приложенных к ним сил и моментов.

 

Также слово «статика» употребляется:

· Cостояние покоя в какой-либо определенный момент (книжн.). Например: Описывать явление в статике; (прил.) статический, статичный.

· Как противопоставление динамике, движению, развитию.

 

Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) — дифференциальное уравнение, в котором один член или более имеют стохастическую природу, то есть представляют собой стохастический процесс (другое название — случайный процесс). Таким образом, решения уравнения также оказываются стохастическими процессами. Наиболее известный и часто используемый пример СДУ — уравнение с членом, описывающим белый шум (который можно рассматривать, как пример винеровского процесса). Однако, существуют и другие типы случайных флуктуаций, например скачкообразный процесс (более подробно см. [1]).

История

В литературе традиционно первое использование СДУ связывают с работами по описанию броуновского движения, сделанными независимо Марианом Смолуховским (1904 г.) и Альбертом Эйнштейном (1905 г.). Однако, СДУ были использованы чуть ранее (1900 г.) французским математиком Луи Бушелье в его докторской диссертации «Теория предположений». На основе идей этой работы французский физик Поль Ланжевен начал применять СДУ в работах по физике. Позднее, он и российский физик Руслан Стратонович разработали более строгое математическое обоснование для СДУ.

Терминология

В физике СДУ традиционно записывают в форме уравнения Ланжевена. И часто, не совсем точно, называют самим уравнением Ланжевена, хотя СДУ можно записать многими другими способами. СДУ в форме уравнения Ланжевена состоит из обычного нестохастического дифференциального уравнения и дополнительной части, описывающей белый шум. Вторая распространенная форма — уравнение Фоккера-Планка, которое представляет собой уравнение в частных производных и описывает эволюцию плотности вероятности во времени. Третья форма СДУ чаще используется в математике и финансовой математике, она напоминает уравнения Ланжевена, но записано с использованием стохастических дифференциалов (см. подробности ниже).

Стохастическое исчисление

Броуновское движение (на языке математики винеровский процесс) оказалось очень сложным математическим объектом. В частности, винеровский процесс недифференцируем, поэтому манипулирование с процессами такого типа потребовало создания собственного исчисления. В настоящее время используется две версии стохастического исчисления — стохастическое исчисление Ито и стохастическое исчисление Стратоновича. Обычно, без труда можно переписать СДУ в форме Ито в СДУ в форме Стратоновича и обратно, однако всегда нужно явно уточнять, в какой форме записано СДУ.

⇐ Предыдущая123

Поделиться: