ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1) Три студента сдают экзамен. Вероятность того, что первый студент сдаст экзамен на «отлично», равна 0, 7, для второго – 0, 6, для третьего – 0, 2. Найти вероятность, что экзамен будет сдан на «отлично»: а) только одним студентом; б) хотя бы одним студентом.

2) Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность безотказной работы первого из них равна 0, 75, второго – 0, 85, третьего – 0, 95. Найти вероятность, что: а) откажут два станка; б) хотя бы один станок откажет в работе.

3) На спортивных соревнованиях вероятность показать рекордный результат для первого спортсмена – 0, 5, для второго – 0, 3, для третьего – 0, 1. Найти вероятность, что рекорд будет установлен: а) одним спортсменом; б) хотя бы одним спортсменом.

4) В первой бригаде из 8 тракторов 2 требуют ремонта, во второй из 6 тракторов 1 требует ремонта. Из каждой бригады наугад выбирают по одному трактору. Найти вероятность, что: а) оба трактора исправны; б) хотя бы один исправен.

5) Семена высшего сорта всходят с вероятностью 0, 8; 1-го сорта ― с вероятностью 0, 7; 2-го сорта ― с вероятностью 0, 6. Определить вероятность того, что из трех посаженных семян разного сорта взойдет: а) только одно; б) хотя бы одно из семян.

6) Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0, 8; при втором ― 0, 75; при третьем ― 0, 6. Найти вероятность поражения цели: а) всеми тремя выстрелами; б) хотя бы двумя выстрелами.

7) Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0, 95; для второго ― 0, 9. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только один сигнализатор; б) хотя бы один сигнализатор.

8) Из партии товаровед наугад отбирает 3 изделия. Вероятность того, что первое изделие окажется высшего сорта, равна 0, 8; для второго изделия ― 0, 85; для третьего ― 0, 9. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий будет: а) только 2 изделия высшего сорта; б) хотя бы одно изделие высшего сорта.

9) Два орудия ведут стрельбу по танку. Вероятность попадания в танк при одном выстреле для первого орудия ― 0, 5; для второго – 0, 4. Найти вероятность того, что при залпе: а) попадут оба орудия; б) будет хотя бы одно попадание в цель.

10) В двух группах обучается по 20 студентов. В первой группе сессию на «отлично» сдали 7 человек, во второй – 4 человека. Из каждой группы наугад вызывают по одному студенту. Найти вероятность, что: а) оба студента отличники; б) хотя бы один отличник.

11) В коробке находятся жетоны с цифрами от 1 до 10. Наугад извлекают два жетона. Найти вероятность, что будут вынуты: а) оба жетона с нечетными номерами; б) хотя бы один жетон с четным номером.

12) В 1-ом ящике находятся 14 изделий, из них 6 с браком; во 2-ом ящике — 20 изделий, из них 4 с браком; в 3-ем ящике ― 15 изделий, из них 3 с браком. Из каждого ящика наугад вынимают по одному изделию. Найти вероятность того, что: а) хотя бы одно изделие без брака; б) только 2 изделия без брака.

13) Вероятность того, что при первом измерении физической величины будет допущена ошибка, равна 0, 2; при втором измерении ― 0, 3; при третьем измерении ― 0, 4. Найти вероятность того, что будет допущена ошибка: а) только в одном измерении; б) хотя бы в одном измерении.

14) Вероятности того, что каждый из трех друзей придет в условленное место, соответственно равны 0, 8; 0, 7; 0, 6. Определить: а) вероятность того, что встреча состоится, если для этого достаточно явиться двум из трех друзей; б) вероятность того, что не придет никто.

15) Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0, 7. При каждом следующем выстреле вероятность попадания уменьшается на 0, 05. Найти вероятность того, что стрелок попадет: а) хотя бы одним выстрелом; б) только один раз.

16) В двух ящиках находятся детали: в первом — 10 (из них 3 стандартных), во втором — 15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наугад вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что: а) обе детали окажутся стандартными; б) только одна деталь будет стандартной.

17) Первый студент из 20 вопросов программы выучил 17, второй – 12. Каждому студенту задают по одному вопросу. Найти вероятность, что правильно ответит на вопрос: а) только первый студент; б) хотя бы один студент.

18) Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии – 0, 2, на втором – 0, 35, на третьем – 0, 15. Найти вероятность, что акционер, имеющий акции всех предприятий, получит высокие дивиденды: а) на всех предприятиях; б) хотя бы на одном предприятии.

19) Стрелок стреляет три раза по удаляющейся от него мишени. Вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0, 7, а после каждого выстрела она уменьшается на 0, 1. Вычислить вероятность попадания в мишень: а) хотя бы один раз; б) два раза.

20) Вероятность поражения цели 1-м стрелком при одном выстреле равна 0, 8; 2-м – 0, 7. Найти: а) вероятность того, что цель при залпе будет поражена только одним стрелком; б) вероятность того, что цель будет поражена, если для этого достаточно, хотя бы одного попадания при залпе.

21) Студент разыскивает нужную ему формулу в 3 справочниках. Вероятность того, что формула содержится в 1-м справочнике, равна 0, 6; во 2-м ― 0, 7; в 3-м ― 0, 8. Найти вероятность того, что формула содержится: а) в двух справочниках; б) хотя бы в одном справочнике.

22) Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут вынуты подряд 4 карты масти «пики». Рассмотреть два случая: а) карты не возвращаются; б) карты возвращаются и перемешиваются перед следующим извлечением.

23) Слово «абракадабра» составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами тщательно перемешиваются и из них извлекаются по очереди 5 карточек. Какова вероятность получить слово «барак», если: а) выбранные карточки возвращаются и перемешиваются перед следующим извлечением; б) выбранные карточки не возвращаются.

24) В первой урне из 10 шаров, 6 серного и 4 белого цвета, во второй – 3 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны наугад извлекается один шар. Найти вероятность, что взяты: а) 2 белых шара; б) хотя бы один шар черный.

25) Круговая мишень состоит из трех зон. Вероятности попадания в эти зоны при одном выстреле соответственно равны 0, 1; 0, 35; 0, 4. Найти вероятность: а) попадания в первую или третью зону; б) промаха в мишень.

26) В коробке 12 карандашей трех цветов, по 4 карандаша каждого цвета. Наугад вынимают три карандаша. Найти вероятность, что все карандаши окажутся разного цвета. Рассмотреть два случая: а) карандаши возвращаются в коробку; б) карандаши не возвращаются в коробку.

27) Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого орудия равна 0, 6, из второго – 0, 65, из третьего – 0, 7. Цель будет поражена, если в нее попадут не менее двух орудий. Найти вероятность: а) поражения цели; б) промаха одним или двумя орудиями.

28) Три стрелка стреляют в одну мишень. Известно, что вероятность попадания с одного выстрела равна: 0, 8 ― у 1-го стрелка, 0, 7 ― у 2-го стрелка, 0, 6 ― у 3-го стрелка. Найти вероятность того, что в результате одновременного выстрела всех стрелков в мишени появится: а) только одна пробоина; б) хотя бы одна пробоина.

29) Производится стрельба по некоторой мишени, вероятность попадания в которую при первом выстреле равна 0, 8. При каждом следующем выстреле вероятность попадания уменьшается на 0, 1. Стрельба прекращается при первом попадании. Найти вероятность того, что будет произведено: а) 4 выстрела; б) не более 3 выстрелов.

30) В первой урне 5 красных, 3 белых и 2 черных шара. Во второй урне – 2 белых и 3 черных шара. Из первой урны взято 2 шара, из второй – 1. Найти вероятность, что: а) все шары одного цвета; б) все шары разного цвета.

 

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.

ФОРМУЛА БАЙЕСА

 

1) В первом ящике 10 деталей, из них 8 стандартных. Во втором – 6 деталей, из них 5 стандартных. Из второго ящика переложили в первый одну деталь. Затем из второго ящика извлекли еще одну деталь. Найти вероятность, что она оказалась нестандартная.

2) Перед посевом 95% семян обрабатываются специальным раствором. Всхожесть семян после обработки – 99%, необработанных – 85%. Найти вероятность, что случайно взятое семя взойдет.

3) Два предприятия выпускают однотипные изделия, причем второе – 55% всех изделий. Вероятность выпуска нестандартного изделия первым предприятием равна 0, 1, вторым – 0, 15. Найти вероятность, что взятое наугад изделие окажется нестандартным.

4) Покупатель с равной вероятностью посещает каждый из трех магазинов. Вероятность того, что покупатель купит товар в первом магазине, равна 0, 4, во втором – 0, 6, в третьем – 0, 8. Найти вероятность, что покупатель купит товар в каком-то магазине.

5) Имеется три ящика. В первом – 3 белых и 2 черных шара, во втором и третьем – по 4 белых и 3 черных шара. Из случайно выбранного ящика извлекается шар. Он оказался белым. Найти вероятность, что шар взят из третьего ящика.

6) Из пяти винтовок, из которых 3 снайперские и 2 обычные, наугад выбирается одна, и из нее производится выстрел. Вероятность попадания из снайперской винтовки – 0, 95, из обычной – 0, 7. Найти вероятность попадания в мишень.

7) В районе 20 человек обучаются в институте, из них шесть – мехмате, десять – на экономфаке, четыре – на юрфаке. Вероятность успешно сдать все экзамены на сессии для студентов мехмата равна 0, 6, экономфака – 0, 76, юрфака – 0, 8. Найти вероятность, что наугад взятый студент успешно сдаст все экзамены.

8) Для посева заготовлены семена 4 сортов пшеницы. Причем 20% всех семян 1-го сорта, 30% - 2-го сорта, 10% - 3-го сорта, 40% - 4-го сорта. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, для 1-го сорта равна 0, 5, для 2-го – 0, 3, для 3-го – 0, 2, для 4-го – 0, 1. Найти вероятность, что наугад взятое зерно даст колос.

9) В ящике лежит 20 теннисных мячей, в том числе 12 новых и 8 игранных. Из ящика наугад извлекают мяч для игры. После игры мяч возвращают обратно в ящик. После этого из ящика вынимают еще мяч для следующей игры. Найти вероятность, что мяч оказались неигранным.

10) Две машинистки печатали рукопись, заменяя друг друга. В итоге первая напечатала 1/3 всей рукописи, а вторая – остальное. Первая машинистка делает ошибки с вероятностью 0, 15, вторая – 0, 1. При проверке обнаружена ошибка. Найти вероятность, что ее допустила первая машинистка.

11) На предприятии работают 10 рабочих шестого разряда, 15 – пятого разряда, 5 – четвертого разряда. Вероятность, что изделие, изготовленное рабочим соответствующего разряда, будет одобрено ОТК, равна 0, 95; 0, 9; 0, 8. Найти вероятность, что изделие, проверенное ОТК, будет одобрено.

12) В первой бригаде производится в три раза больше продукции, чем во второй. Вероятность, что продукция окажется стандартной для первой бригады, равна 0, 7, для второй – 0, 8. Найти вероятность, что взятая наугад единица продукции будет стандартной.

13) Из трамвайного парка в случайном порядке выходят четыре трамвая маршрута №1 и восемь трамваев маршрута №2. Найти вероятность того, что второй по порядку вышедший на линию трамвай будет иметь №1.

14) В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен: 3 студента подготовлены отлично, 4 студента – хорошо, 2 студента – посредственно, 1 студент – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все вопросы, хорошо подготовленный – на 16, посредственно подготовленный – на 10, плохо подготовленный – на 5. Найти вероятность того, что вызванный наугад студент ответит на произвольно заданный вопрос.

15) Литье в болванках для дальнейшей обработки поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого цеха и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а материал второго цеха – 20% брака. Взятая наудачу болванка оказалась без дефектов. Найти вероятность, что она поступила из первого цеха.

16) В сентябре вероятность дождливого дня равна 0, 3. Команда выигрывает в футбол в ясный день с вероятностью 0, 8, а в дождливый с вероятностью 0, 4. Найти вероятность, что команда выиграла некоторую игру.

17) В первом ящике содержится 20 деталей, из них 10 стандартные, во втором - 30 деталей, из них 25 стандартные, в третьем - 10 деталей, из них 8 стандартные. Из случайно взятого ящика наугад взята одна деталь. Найти вероятность, что она оказалась стандартной.

18) Студент в поисках книги посещает 3 библиотеки. Вероятности того, что она есть в библиотеках, равны 0, 4; 0, 5; 0, 1, а того, что она выдана или нет – равновероятно. Найти вероятность, что нужная книга найдена.

19) Пассажир за получением билета может обратиться в одну из касс. Вероятность обращения в первую кассу равна 0, 4, во вторую – 0, 35, в третью – 0, 25. Вероятность, что к приходу пассажира в кассе все билеты будут проданы, равна для первой кассы 0, 3, для второй – 0, 4, для третьей – 0, 6. Найти вероятность, что пассажир купит билет.

20) На склад поступила однотипная продукция с трех фабрик. Объемы поставок относятся соответственно как 1: 2: 7. Нестандартных изделий среди продукции первой фабрики – 3%, второй – 2%, третьей – 1%. Наугад взятое изделие со склада оказалось нестандартным. Найти вероятность, что оно произведено первой фабрикой.

21) В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0, 8; для велосипедиста – 0, 7; для бегуна – 0, 9. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит квалификационную норму.

22) Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата в три раза больше производительности второго. Вероятность изготовить стандартную деталь на первом автомате равна 0, 95, а на втором – 0, 8. Найти вероятность, что взятая наугад деталь будет стандартной.

23) Семена для посева поступают из трех хозяйств. Причем первое и второе хозяйства присылают по 40% всех семян. Всхожесть семян из первого хозяйства равна 90%, второго – 85%, третьего – 95%. Найти вероятность, что наугад взятое семя не взойдет.

24) На сборку поступило 50 деталей от первого станка, 100 - от второго и 150 – от третьего. Первый станок дает 2%, второй – 1% и третий 2% брака. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется не бракованной.

25) Перед посевом 90% всех семян было обработано ядохимикатами. Вероятность поражения вредителями для растений из обработанных семян равна 0, 08, для растений из необработанных семян – 0, 4. Взятое наугад растение оказалось пораженным. Найти вероятность, что оно выращено из обработанных семян.

26) В торговую фирму поступают телевизоры от трех фирм изготовителей в соотношении 2: 5: 3. Телевизоры, поступающие от первой фирмы, требуют ремонта в течение гарантийного срока в 15% случаев, от второй и третьей – соответственно в 8% и 6% случаев. Найти вероятность, что проданный телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока.

27) Стрелковое отделение получило 10 винтовок, из которых 8 пристрелянных, а две нет. Вероятность попадания из пристрелянной винтовки равна 0, 6, а из не пристрелянной – 0, 4. Найти вероятность, что стрелок попадет в цель из наугад взятой винтовки.

28) Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0, 04, а в период экономического кризиса – 0, 13. Вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0, 65. Найти вероятность, что случайно выбранный клиент банка не вернет кредит.

29) У рыбака имеется 2 места ловли рыбы, которые он посещает с одинаковой вероятностью. На первом месте рыба клюет с вероятностью 0, 6, на втором – с вероятностью 0, 7. Рыбак, выйдя на ловлю в одно из мест, закинул удочку. Найти вероятность, что рыба клюнет.

30) Для проверки результатов назначена группа экспертов, состоящая из трех подгрупп. В первой подгруппе – 2 человека, во второй – 5 и в третьей – 3. Эксперты первой подгруппы принимают верное решение с вероятностью 0, 7, второй – 0, 8 и третьей – 0, 6. Наугад вызванный эксперт принял верное решение. Найти вероятность, что принимал решение эксперт из первой подгруппы.

 

ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: