Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий

 

Классическая вероятность случайного события

Вероятностью события называется отношение числа

благоприятствующих этому событию исходов к общему числу

всех несовместных равновозможных исходов, т.е.

P(A)=.

Это классическое определение вероятности случайного события.

Задача .В ящике 4 белых и 6 черных шара. Вынимают 3 шара.

Какова вероятность того, что один из них будет белым?

Решение. Пусть событие – среди трёх извлеченных шаров один

белый.

Составим схему к задаче (рис.1).

Рис.1

 

Общее число исходов:

Число исходов, благоприятствующих событию :

По формуле классической вероятности:

 

Задача 2. Брошены две игральные кости. Какова вероятность

выпадения 6 очков хотя бы на одной грани?

Решение. Пусть событие – хотя бы на одной грани

выпало 6 очков. Составим схему к задаче (рис 2).

 

Рис.2

 

Тогда искомая вероятность:

 

 

Геометрическая вероятность

Вероятность того, что точка, наудачу брошенная в отрезок

длиной , попадает в отрезок длиной , содержащийся внутри

большого отрезка, вычисляется по формуле – формула

геометрической вероятности на прямой.

 

Вероятность того, что точка, наудачу брошенная в фигуру

площадью , попадет в фигуру площадью , содержащуюся

внутри большой фигуры, вычисляется по формуле –

геометрическая вероятность на плоскости.

Вероятность того, что точка, наудачу брошенная в тело

объемом , попадет в тело объемом , содержащееся внутри

большого тела, вычисляется по формуле – формула

геометрической вероятности в пространстве.

 

Задача. На отрезке длины числовой оси наудачу

поставлены две точки: и , причем .

(Координата точки для удобства дальнейшего изложения

обозначена через ). Найти вероятность того, что длина отрезка

меньше длины отрезка (рис.3). Предполагается, что

вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине

этого отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Решение.

Рис.3

 

Координаты точек В и С должны удовлетворять условиям:

Рис.4

 

Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат

. В этой системе указанным неравенствам удовлетворяют

координаты любой точки, принадлежащей прямоугольному

треугольнику (рис.4). Таким образом, этот треугольник

можно рассматривать как фигуру , координаты точек которой

представляют соответственно все возможные значения

координат точек и .

Длина отрезка должна быть меньше длины отрезка ,

т.е. должно иметь место неравенство или

Последнее неравенство выполняется для координат тех точек

фигуры (прямоугольного треугольника ), которые

лежат ниже прямой (прямая ). Как видно из рисунка

4, все эти точки принадлежат заштрихованному треугольнику

. Таким образом, этот треугольник можно рассматривать

как фигуру , координаты точек которой являются

благоприятствующими интересующему нас событию (длина

отрезка ВС меньше длины отрезка ).

Искомая вероятность

 

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Для любых двух событий и справедливы формулы:

где - условная вероятность события относительно

события , т.е. вероятность наступления события при

условии, что событие произошло;

если событие и независимы;

если события и совместны;

,

если события и несовместны.

Задача. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0, 7, а для второго – 0, 8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

Решение. Обозначим попадание в цель первым стрелком – событие

, вторым – событие , промах первого стрелка – событие ,

промах второго – событие .

 

Вероятность того, что первый стрелок попадет в мишень, а второй

– нет равна

Вероятность того, что второй стрелок попадет в цель, а первый – нет:

Тогда вероятность попадания в цель только одним стрелком равна

Тот же результат можно получить другим способом – находим

вероятности того, что оба стрелка попали в цель и оба

промахнулись. Эти вероятности соответственно равны:

Тогда вероятность того, что в цель попадет только один стрелок,

равна:

 

⇐ Предыдущая12345

Поделиться: