СТРУКТУРА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ. СОСТАВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ.

СТРУКТУРА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ. СОСТАВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ.

 

Формально математическое описание представляет собой совокупность зависимостей связывающих различные переменные процесса в единую систему уравнений. Среди этих соотношений могут быть уравнения, отражающие общие физические законы, уравнения описывающие элементарные процессы, ограничения на переменные, а также различные эмпирические и полуэмпирические зависимости между разными параметрами процесса.

В частности при ограниченном объёме теоретических сведений о моделируемом объекте, когда неизвестен даже приблизительный вид соотношений уравнения математического описания могут представлять собой систему связывающих входные и выходные переменные эмпирических зависимостей (экспериментальный метод составления математического описания). Как правило, эти модели имеют вид регрессионных уравнений.

Модели, построенные на основе аналитического метода составления описания отражают основные закономерности процесса и качественно более правильно характеризуют объект даже при наличии недостаточно точных параметров модели, поэтому с их помощью можно изучать общие свойства объектов моделирования относящихся к определённому классу. В составе математического описания разработанного для моделируемого объекта можно выделить следующие группы уравнений:

1. уравнение сохранения массы, записанное с учётом гидродинамической структуры движения потоков. Данная группа характеризует распределение в потоках температуры и концентрации;

2. уравнения элементарных процессов для локальных потоков. К этой группе относят описание процессов массо - и теплообмена, а также химические реакции;

3. теоретические, полуэмпирические или эмпирические соотношения между различными параметрами процесса. Н-р: зависимость коэффициента массопередачи от скоростей потоков фаз, зависимость теплоёмкости смеси от состава;

4. ограничения на параметры процесса. Н-р: ректификация многокомпонентных смесей, для любой ступени разделение должно выполняться условие, что сумма концентраций всех компонентов равна единицы, кроме того, концентрация любого компонента должна находиться в диапазоне от 0 до 1.

Общим для всех математических моделей является то, что описание должно быть равно числу переменных находимых в результате моделирования.

Требования, предъявляемые к модели.

1. Модель должна быть наиболее полной, отражать характер потоков вещества и энергии при достаточно простом математическом описании.

2. Параметры модели могут быть определены экспериментальным путём.

3. В случае гетерогенных систем модели выбираются для каждой фазы отдельно, при чём для обеих фаз они могут быть одинаковыми или различными.

4. С изменением гидродинамического режима системы изменяется и вид модели.

 

ОБЩАЯ СТРУКТУРА МОДЕЛИ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА.

Модель химико-технологического объекта складывается из уравнений материального, теплового баланса и уравнения гидросопротивления. Ниже приведена схема модели.

Материальный баланс.

	Скорость изменения концентрации в-ва. Сi		Кинетика DСкин.		Гидродинамика DСг/д.		Массопередача DСмо

= + +

 

Тепловой баланс.

Изменение температуры Тi

Тепловые эффекты реакции DТкин

Гидродинамика DТг/д

Теплопередача DТт.п.

 

= + +

 

 

Гидросопротивление. ( Фиксирует скорость изменения давления в системе ).

	Изменение давления в системе Рi		Потеря давления на местные сопротивления DРмс.		Потери давления на трения DРтр

 

= +

 

i = 1…..М - номер потока и их число,

j = 1…..N - суммарное количество компонентов во всех потоках и фазах

Общее число уравнений в системе:

1. Материальный баланс – столько, сколько компонентов в системе и сколько потоков и фаз

Уравнений мат. баланса = N*M.

2. Тепловой баланс – столько, сколько независимых потоков. Уравнений теп.баланса = М

3. Гидродинамика – столько, сколько потоков. Уравнений гидродин. = М

 

Математические модели химических аппаратов строятся на основе блочного принципа с использованием гидродинамических моделей, учитывающих характер распределения времени пребывания частиц потока реагирующей смеси в данном объёме.

Основу моделирования химических реакторов составляет описание блока кинетической модели.

 

КИНЕТИКА.

Это отрасль науки, которая занимается изучением скоростей химических реакций. Скорость химической реакции представляет собой первую производную концентрации по времени: r = dC/dt.

Процедура получения кинетического уравнения.

1. Поставить кинетический эксперимент, получить кривые C=f (T, t).

2. Выбрать вид кинетической модели.

3. Определить порядок реакции.

4. Рассчитать константы скорости и вычислить энергию активации.

5. Проверить адекватность кинетического описания. При неадекватности возврат к пунктам 1 или 2.

 

Уравнения, основанные на классическом законе действующих масс называется классической или формальной кинетикой. Некоторые виды реакций описываются уравнениями специального вида. Вид этих уравнений определяется как теоретически так и на основе экспериментальных данных. Подобная кинетика называется неформальной.

Скорость сложной реакции по любому веществу равна алгебраической сумме скоростей всех стадий по этому веществу. Стадия – это однонаправленный химический процесс, в котором участвуют два или три компонента: исходные для данной стадии и продукт данной стадии.

Н-р: А ® В

А+В ® С

Если в ходе химической реакции концентрация компонента уменьшается, то выражение, описывающее скорость данной реакции берётся со знаком минус. Если же вещество накапливается, то с плюсом. Обобщённое уравнение кинетики многостадийной реакции имеет вид:

r_j = Sa_i *k *PC_jⁿ,

Где a - стехиометрический коэффициент,

j – номер компонента.

Правила построения кинетической модели.

1. Задать исходную информацию в виде схемы реакции.

2. В модели будет столько уравнений, сколько веществ в химической системе.

3. В каждом уравнении - столько слагаемых, сколько реакций влияет на концентрацию данного компонента.

4. Каждое слагаемое – это произведение стехиометрических коэффициентов, константы скорости и концентрации вещества в степени своего порядка.

5. Константа скорости умножается на концентрацию компонента, который является исходным для данной стадии.

Тепловой баланс системы.

 

DТ=DТкин.+DТг/д +DТт/о

Температура принадлежит к числу факторов наиболее сильно влияющих на скорость химической реакции, поскольку протекание большинства химических процессов в значительной степени зависит от явления переноса тепла в системе.

Величина DТкинетич в структуре теплового баланса для всех типов моделей записывается как сумма произведений скорости каждой стадии на соответствующий ей тепловой эффект. Скорость стадии берётся по модулю, а знак сомножителя определяется знаком теплового эффекта.

,

где r - плотность реакционной смеси,

с_р – теплоемкость реакционной смеси.

Н-р:

Следующая составляющая в уравнении теплового баланса гидродинамическая DТгидр, характеризует каким образом изменяется температура в потоке в зависимости от скорости перемешивания потока и конструкционных особенностей аппарата, в котором происходит процесс.

1). Модель идеальное смешение.

Гидродинамическая составляющая описывается следующим уравнением:

; ; где Т₀ – температура потока на входе в аппарат, Т – температура на выходе из аппарата

2). Модель идеальное вытеснение.

Гидродинамическая составляющая описывается следующим уравнением:

.

3). Модель диффузионное однопараметрическое вытеснение.

Гидродинамическая составляющая описывается следующим уравнением:

, где l_l – продольная теплопроводность турбулентного потока

4).Модель диффузионное двухпараметрическое вытеснение.

Гидродинамическая составляющая описывается следующим уравнением:

l_R – поперечная теплопроводность

5). Ячеечная модель.

Гидродинамическая модель:

 

Теплообмен - D Т то.

Учёт стохастической составляющей модели теплообменной аппаратуры позволяет найти распределение температур по длине поверхности теплообмена. Обычно расчёт теплообменной аппаратуры выполняется в следующей последовательности:

1. Составляется тепловой баланс всех потоков приводящих и отводящих тепло Qприх.=Qрасх.

Qпр.=G*Cр*(Т_нач - Т_кон)

G-количество теплоносителя, Cр- теплоноситель

Т_нач, Т_кон -начальная и конечная температура теплоносителя.

2). Определяется поверхность теплообмена

F=Qт./k Dtср.t

Анализ процессов, связанных с отводом тепла и теплообменом базируется на исследовании материальных моделей этих процессов, представляющих собой определенные варианты уравнения теплового баланса.

Идеальное смешение.

Модель основана на предположении о полном смешении теплоносителя, поэтому его температура будет постоянной по длине теплообменника.

где К – коэффициент теплопередачи,

F –поверхность теплопередачи,

Т₁ –температура потока в аппарате,

Т₂ – температура теплоносителя,

Vr – объем аппарата.

Знак «+» - тепло поступает в систему, знак «-» - отвод тепла из системы

Идеальное вытеснение.

В основе модели лежат допущения о постоянстве температуры в поперечном сечении и отсутствии продольного перемешивания.

,

где d_R- диаметр трубы теплообменника.

В зависимости от тепловых режимов все реакторы делятся на:

- изотермические,

- адиабатические,

- политропные.

В изотермических для поддержания постоянной температуры необходимо подводить или отводить тепло. Его количество соответствует суммарному тепловому эффекту всех реакций протекающих в системе. Так как в таком реакторе температура постоянна, то уравнения теплового баланса нет.

DТ= const.

Однако эти реактора сравнительно редко используются в крупномасштабных производствах из-за высокой стоимости оборудования для съёма или подвода тепла.

Реактор называется адиабатическим, если в системе выделяемое в результате химической реакции тепло полностью идёт на изменение температуры при этом теплообмен с окружающей средой полностью отсутствует. В структуре теплового баланса отсутствует третья составляющая DT_то=0.

В политропном реакторе изменение температурного режима в системе происходит и за счёт химической реакции и за счёт теплообмена с окружающей средой.

СТРУКТУРА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ. СОСТАВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ.

 

Формально математическое описание представляет собой совокупность зависимостей связывающих различные переменные процесса в единую систему уравнений. Среди этих соотношений могут быть уравнения, отражающие общие физические законы, уравнения описывающие элементарные процессы, ограничения на переменные, а также различные эмпирические и полуэмпирические зависимости между разными параметрами процесса.

В частности при ограниченном объёме теоретических сведений о моделируемом объекте, когда неизвестен даже приблизительный вид соотношений уравнения математического описания могут представлять собой систему связывающих входные и выходные переменные эмпирических зависимостей (экспериментальный метод составления математического описания). Как правило, эти модели имеют вид регрессионных уравнений.

Модели, построенные на основе аналитического метода составления описания отражают основные закономерности процесса и качественно более правильно характеризуют объект даже при наличии недостаточно точных параметров модели, поэтому с их помощью можно изучать общие свойства объектов моделирования относящихся к определённому классу. В составе математического описания разработанного для моделируемого объекта можно выделить следующие группы уравнений:

1. уравнение сохранения массы, записанное с учётом гидродинамической структуры движения потоков. Данная группа характеризует распределение в потоках температуры и концентрации;

2. уравнения элементарных процессов для локальных потоков. К этой группе относят описание процессов массо - и теплообмена, а также химические реакции;

3. теоретические, полуэмпирические или эмпирические соотношения между различными параметрами процесса. Н-р: зависимость коэффициента массопередачи от скоростей потоков фаз, зависимость теплоёмкости смеси от состава;

4. ограничения на параметры процесса. Н-р: ректификация многокомпонентных смесей, для любой ступени разделение должно выполняться условие, что сумма концентраций всех компонентов равна единицы, кроме того, концентрация любого компонента должна находиться в диапазоне от 0 до 1.

Общим для всех математических моделей является то, что описание должно быть равно числу переменных находимых в результате моделирования.

Требования, предъявляемые к модели.

1. Модель должна быть наиболее полной, отражать характер потоков вещества и энергии при достаточно простом математическом описании.

2. Параметры модели могут быть определены экспериментальным путём.

3. В случае гетерогенных систем модели выбираются для каждой фазы отдельно, при чём для обеих фаз они могут быть одинаковыми или различными.

4. С изменением гидродинамического режима системы изменяется и вид модели.

 

ОБЩАЯ СТРУКТУРА МОДЕЛИ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА.

Модель химико-технологического объекта складывается из уравнений материального, теплового баланса и уравнения гидросопротивления. Ниже приведена схема модели.

Материальный баланс.

	Скорость изменения концентрации в-ва. Сi		Кинетика DСкин.		Гидродинамика DСг/д.		Массопередача DСмо

= + +

 

Тепловой баланс.

Изменение температуры Тi

Тепловые эффекты реакции DТкин

Гидродинамика DТг/д

Теплопередача DТт.п.

 

= + +

 

 

Гидросопротивление. ( Фиксирует скорость изменения давления в системе ).

	Изменение давления в системе Рi		Потеря давления на местные сопротивления DРмс.		Потери давления на трения DРтр

 

= +

 

i = 1…..М - номер потока и их число,

j = 1…..N - суммарное количество компонентов во всех потоках и фазах

Общее число уравнений в системе:

1. Материальный баланс – столько, сколько компонентов в системе и сколько потоков и фаз

Уравнений мат. баланса = N*M.

2. Тепловой баланс – столько, сколько независимых потоков. Уравнений теп.баланса = М

3. Гидродинамика – столько, сколько потоков. Уравнений гидродин. = М

 

Математические модели химических аппаратов строятся на основе блочного принципа с использованием гидродинамических моделей, учитывающих характер распределения времени пребывания частиц потока реагирующей смеси в данном объёме.

Основу моделирования химических реакторов составляет описание блока кинетической модели.

 

КИНЕТИКА.

Это отрасль науки, которая занимается изучением скоростей химических реакций. Скорость химической реакции представляет собой первую производную концентрации по времени: r = dC/dt.

Процедура получения кинетического уравнения.

1. Поставить кинетический эксперимент, получить кривые C=f (T, t).

2. Выбрать вид кинетической модели.

3. Определить порядок реакции.

4. Рассчитать константы скорости и вычислить энергию активации.

5. Проверить адекватность кинетического описания. При неадекватности возврат к пунктам 1 или 2.

 

Уравнения, основанные на классическом законе действующих масс называется классической или формальной кинетикой. Некоторые виды реакций описываются уравнениями специального вида. Вид этих уравнений определяется как теоретически так и на основе экспериментальных данных. Подобная кинетика называется неформальной.

Скорость сложной реакции по любому веществу равна алгебраической сумме скоростей всех стадий по этому веществу. Стадия – это однонаправленный химический процесс, в котором участвуют два или три компонента: исходные для данной стадии и продукт данной стадии.

Н-р: А ® В

А+В ® С

Если в ходе химической реакции концентрация компонента уменьшается, то выражение, описывающее скорость данной реакции берётся со знаком минус. Если же вещество накапливается, то с плюсом. Обобщённое уравнение кинетики многостадийной реакции имеет вид:

r_j = Sa_i *k *PC_jⁿ,

Где a - стехиометрический коэффициент,

j – номер компонента.

Правила построения кинетической модели.

1. Задать исходную информацию в виде схемы реакции.

2. В модели будет столько уравнений, сколько веществ в химической системе.

3. В каждом уравнении - столько слагаемых, сколько реакций влияет на концентрацию данного компонента.

4. Каждое слагаемое – это произведение стехиометрических коэффициентов, константы скорости и концентрации вещества в степени своего порядка.

5. Константа скорости умножается на концентрацию компонента, который является исходным для данной стадии.

12Следующая ⇒

Поделиться: