Разновидности средних величин

 

 

Средняя величина (средний показатель) - это обобщенная количественная характеристика признака в статистической совокупности. Действие разнообразных факторов порождает колеблемость, вариацию осредняемого признака. Средняя величина является общей мерой их действия, равнодействующей всех этих факторов. В средней величине погашаются индивидуальные различия, вследствие этого в средней проявляется общее, закономерное, свойственное данной совокупности.

Основным условием правильного применения средней величины является однородность совокупности по осредняемому признаку. Средняя, вычисленная для неоднородной совокупности, то есть такой, в которой объединены качественно различные явления, теряет свое истинное значение. Такие средние являются фиктивными, не только не дающими представление о действительности, но и искажающими ее.

Средние величины тесным образом связаны с существом рассматриваемых общественных явлений. Они могут быть исчислены для случаев, когда каждый из вариантов вариационного ряда встречается только один раз, тогда средняя называетсяпростой илиневзвешенной, и для случаев, когда варианты или интервалы повторяются различное число раз. При этом число повторений вариантов или интервалов называетсячастотой, или статистическим весом, а средняя, вычисленная с учетом статистического веса - средней взвешенной.

В зависимости от характера статистической совокупности, осредняемых признаков и количества признаков совокупности различаются следующие средние величины: средняя генеральная, средняя выборочная, средняя групповая, средняя общая, средняя хронологическая, средняя многомерная.

Средняя генеральная - средняя величина признака в генеральной совокупности, статистический синоним понятия математического ожидания случайной величины. В качестве приближенного значения используется средняя арифметическая выборочная.

Средняя выборочная - средняя величина признака в выборочной совокупности.

Средняя групповая (частная) - средняя величина, вычисленная для отдельной группы (части) единиц совокупности. Средняя групповая характеризует типичный размер признака в группе и, следовательно, группу в целом в отношении этого признака. Средняя групповая исчисляется на основе группировки. Совокупность групповых средних конкретизирует среднюю общую (по тому же признаку) и дает более детальную характеристику всей совокупности. Средние групповые используются для выявления тенденций развития, для сравнительной характеристики групп и других целей.

Средняя общая - средняя величина, вычисленная для всей данной статистической совокупности в целом по какому-либо признаку. Средняя общая может быть вычислена как средняя из групповых средних, взвешенных по численностям групп, для которых они рассчитаны.

Средняя хронологическая - средняя величина из уровней ряда динамики (см. ряды динамики). Вычисляется для интервальных и моментных рядов. Она может быть средней невзвешенной (простой) и средней взвешенной.

Средняя хронологическая невзвешенная для интервального ряда:

;

где y - уровень ряда динамики;

- средняя из уровней ряда;

n - число уровней в ряду (число наблюдений);

 

для моментного ряда (с равноотстоящими уровнями):

 

;

 

Средняя хронологическая взвешенная (если известно время t , в течение которого сохранялось каждое значение y ):

для интервального ряда

;

для моментного ряда

,

где t - период времени, отделяющий один уровень ряда от другого.

Средняя многомерная - производная величина, рассчитываемая для статистической совокупности численностью n единиц с порядковыми номерами i ( i = 1, 2, 3, ..., n ), обладающих K признаками ( x ) с порядковыми номерами k ( k = 1, 2, 3, ..., K ), следующим образом. Сначала вычисляются отношения значений каждого признака ( k ) у каждой единицы совокупности ( i ) к его среднему значению по формуле

,

где - значение k -го признака у i -й единицы совокупности;

- среднее значение x по k -му признаку.

Затем определяется средняя из этих отношений для каждой единицы совокупности ( ), которая и называется многомерной средней

.

Многомерные средние используются для многомерной группировки и в дальнейшем анализе данных.

Выбор вида средней необходимо согласовывать с природой реальной совокупности и признака, подлежащего осреднению. Наиболее употребительными являются суммальные и структурные (порядковые) средние. Суммальные средние разделяются настепенные, логарифмические, показательные, параболическиеи т.д. При этом степенные средние, в свою очередь, подразделяются на агрегатную, арифметическую, гармоническую, геометрическую, квадратичеcкую и т.д. К структурным средним относятся: мода, медиана, квантили, децили, процентили и др.

Наиболее часто в статистике применяются средняя агрегатная, средняя арифметическая, средняя гармоническая и средняя геометрическая.

Суммальные показатели

 

Средняя агрегатная - одна из форм статистической средней величины. Вычисляется по формуле

,

где w - объемный показатель, представляющий собой произведение отдельных значений осредняемого признака ( x ) и весов ( f ), т.е. w = x f .

Например, заработная плата одного рабочего в определенных группах рабочих, умноженная на численность рабочих каждой из этих групп. Таким образом, средняя агрегатная вычисляется в тех случаях, когда известны значения числителя и знаменателя исходного соотношения средней.

Средняя степенная - общая форма представления различных средних величин, записывается как:

,

 

где h - показатель степени;

n - число наблюдений.

При разных h получаются различные виды средних: средняя арифметическая ( h = 1 ); средняя гармоническая ( h = -1 ); средняя геометрическая ( получается путем предельного перехода при h 0 ); средняя квадратическая ( h = 2 ) и др. Если варианты признака представлены со своими весами f , то соответствующие средние называются средними взвешенными.

Чем больше показатель степени h , тем больше величина средней. Разница между средними тем значительнее, чем больше колеблемость осредняемого признака. При небольшой колеблемости эта разница практически мало ощутима.

Средняя арифметическая - одна из наиболее распространенных форм средней величины. Рассчитывается как частное от деления суммы индивидуальных значений (вариантов) признака на их число:

средняя арифметическая простая

;

 

средняя арифметическая взвешенная

,

 

где x - варианты признака;

n - число вариантов (число наблюдений), из которых рассчитывается средняя;

f - веса.

Средняя арифметическая используется тогда, когда объем варьирующего признака образуется как сумма значений признака у отдельных единиц совокупности.

Средняя гармоническая - одна из форм средней величины. Вычисляется из обратных значений признака:

средняя гармоническая простая

;

средняя гармоническая взвешенная

,

где - средняя величина; - обратные значения варианта признака;

w - вес.

Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда непосредственные данные о весах f отсутствуют, а известны варианты осредняемого признака x и произведения значений вариантов на количество единиц, обладающих данным его значением w ( w = x f ) например, при определении средней трудоемкости продукции, средней себестоимости изделий, средней продолжительности какого-либо рода деятельности, при определении индекса цен и т.д.

Средняя геометрическая - одна из форм средней величины. Вычисляется как корень n -й степени из произведения отдельных значений - вариантов признака ( x ):

средняя геометрическая невзвешенная

 

;

 

средняя геометрическая взвешенная

 

,

где n - число значений признака;

f - вес.

Средняя геометрическая применяется, в частности, в статистических расчетах при вычислении средних темпов роста.

При определении средних величин в интервальном вариационном ряду в случае открытых крайних интервалов необходимо определить нижнюю границу первого и верхнюю границу последнего интервалов. Для этого используются величины других, закрытых интервалов: величина интервала первой группы условно принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы - величине интервала предыдущей.

Для выбора формы средней можно воспользоваться так называемым исходным соотношением средней.

Исходное соотношение средней - соотношение двух взаимосвязанных показателей, на основании которого выбирается форма средней. Поскольку всякая средняя есть отношение, в конечном счете отношение двух величин, то выясняется, отношением каких именно величин она является в данном конкретном случае, каково ее социально-экономическое содержание. Затем это соотношение записывается словами в виде дроби (формулы). Например, требуется определить среднюю выработку рабочих в трех бригадах (табл.6.1). Средняя выработка есть отношение количества изготовленных изделий в трех бригадах к общему числу рабочих в этих бригадах. Следовательно исходное соотношение средней должно быть записано следующим образом:

 

 

средняя выработка количество изготовленных изделий

одного =

рабочего общее количество рабочих

 

 

Эта запись называется также логической формулой средней.

 

Таблица 6.1

 

Исходные данные для определения средней выработки одного рабочего

 

Номер участка	Число рабочих, f	Количество изготовленных на участке изделий, w, шт	Выработка на одного рабочего, x, шт
итого

 

Предположим, что известны данные первых двух граф - число рабочих и количество изготовленных изделий. При сравнении исходного соотношения средней и имеющихся данных видно, что известны значения числителя и знаменателя. Чтобы вычислить среднюю величину ( ), необходимо итог гр.2 разделить на итог гр.1

шт.

Записанная формула называется средней агрегатной. Следовательно, если известны значения и числителя и знаменателя в формуле исходного соотношения средней, то средняя вычисляется по агрегатной средней.

Предположим, что известны данные о численности рабочих и выработке (гр.1 и 3). Эти данные сравниваются с исходным соотношением средней. Значения знаменателя известны, но неизвестны значения числителя, т.е. количество изготовленных изделий. Оно представляет собой произведение числа рабочих на выработку ( x f ). Таким образом,

шт.

Формула, по которой произведен расчет, является формулой средней арифметической взвешенной. Следовательно, если известны значения знаменателя исходного соотношения, но не известны значения числителя, средняя рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной.

Предположим, что известны количества изготовленной продукции и выработка (гр.2 и 3), а неизвестны значения знаменателя, т.е. численность рабочих. Она может быть получена как отношение количества изготовленных изделий и выработки ( ). Таким образом,

шт.

 

Расчет произведен по формуле средней гармонической взвешенной. По всем трем формулам получено одно и то же значение средней - 27, 2 шт. на человека. Это объясняется тем, что ни разу не было нарушено исходное соотношение средней, т.е. ее сущность (содержание).

 

 

Структурные показатели

Средние показатели являются обобщающими характеристиками варь-ирующего признака. Вспомогательными описательными характеристиками распределения варьирующего признака являются мода, медиана, квантили, децили и процентили.

Модой называется величина признака (варианта), которая чаще всего

встречается в данной совокупности. В вариационном ряду это будет варианта, имеющая наибольшую частоту. Мода применяется в тех случаях, когда нужно охарактеризовать наиболее часто встречающуюся величину признака. Если, например, необходимо узнать наиболее распространенный размер заработной платы на предприятии, цену на рынке, по которой было продано наибольшее количество товаров и т.д.

Расчет моды в интервальном вариационном ряду производится следующим образом:

,

где - нижняя граница модального интервала, т.е. интервала, в

котором находится варианта признака с наибольшей частотой;

- величина модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота модального интервала;

- частота интервала, следующего за модальным.

Медианой называется варианта, которая находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд пополам, по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц совокупности. Медиана показывает количественную границу варьирующего признака, которую достигла половина членов совокупности.

Формула вычисления медианы для интервального ряда имеет следующий вид:

,

где - нижняя граница медианного интервала, т.е. интервала, в

котором находится медиана;

- величина медианного интервала;

- сумма частот ряда;

- сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих

медианному;

- частота медианного интервала.

Квантили, децили и процентили. Дополнительно к медиане для характеристики структуры вариационного ряда вычисляются квантили, которые делят ряд на 4 равные части, децили, которые делят ряд на 10 равных частей, и процентили, которые делят ряд на 100 равных частей. Второй квантиль, пятый дециль и пятидесятый процентиль равны медиане. Первый и третий квантили вычисляются аналогично расчету медианы, только вместо медианного интервала берется для первого квантиля интервал, в котором находится варианта, отсекающая 1/4 численности частот, а для третьего квантиля - варианта, отсекающая 3/4 численности частот. Аналогичным образом вычисляются децили и процентили.

 

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

Вариация - колеблемость, изменение величины признака в статистической совокупности, т.е. принятие единицами совокупности или их группами разных значений признака. Например, колеблемость заработной платы у рабочих предприятия. Вариация является следствием действия на единицы совокупности множества различных факторов (причин). Вариация измеряется и характеризуется системой показателей вариации. Если признак - принимает одно из двух противоположных значений, то вариация называется альтернативной (например, человек состоит в браке - не состоит). При измерении такой вариации значения признака обозначаются 1 и 0. Если вариация (изменение) признака идет в определенном направлении (но изменение не обусловлено внутренним законом развития явления), то ее называют систематической, если же вариация не имеет явно выраженного направления - случайной.

Вариантом (вариантой) называется значение признака у единицы совокупности, отличное от значений этого признака у других единиц. Некоторые единицы могут иметь одинаковое значение (один и тот же вариант) признака.

Вариационный ряд - расположение значений случайной выборки ( ) с функцией распределения F(x) в порядке их возрастания: , где i -й член вариационного ряда называется i -й порядковой статистикой, а номер члена вариационного ряда - рангом, порядком. Вариационный ряд служит для построения эмпирической (опытной) функции распределения , где - число членов ряда, меньших .

Вариационные ряды находят широкое применение при первичной обработке статистических данных, в частности при сравнении уровней показателей объектов (отраслей, предприятий и т.п.).

Показатели вариации - показатели, отображающие размеры вариации (степень колеблемости) признака. К ним относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, средний квадрат отклонений (дисперсия), коэффициент вариации, коэффициент детерминации, эмпирическое корреляционное отношение.

Размах вариации ( R ) характеризует пределы колеблемости (вариацию) индивидуальных значений ( или вариантов) признака ( x ) в статистической совокупности (или в вариационном ряду) и представляет собой разность между наибольшим ( ) и наименьшим ( ) значениями признака, т.е.

,

Размах вариации вычисляется в тех же единицах измерения, что и признак, вариацию которого он характеризует.

Среднее линейное отклонение ( ) представляет собой среднее значение отклонений вариантов признака от их средней величины. Так как алгебраическая сумма этих отклонений равна нулю, то для вычисления среднего линейного отклонения все отклонения берутся без учета знака. Среднее линейное отклонение вычисляется по формуле:

средней арифметической взвешенной

;

или средней арифметической простой (невзвешенной)

,

где - варианты признака;

- средняя величина признака;

f - веса признаков;

n - численность единиц совокупности.

Среднее квадратическое отклонение ( ) представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений значений (вариантов) признака от их средней величины. Имеет ту же размерность, что и признак, для которого оно вычисляется. В математической статистике среднее квадрати-ческое отклонение называется характеристикой рассеяния случайной величины.

Среднее квадратическое отклонение в статистике используется как мера вариации, на его основе вычисляется коэффициент вариации. Среднее квадратическое отклонение рассчитывается по формуле взвешенной:

 

,

или невзвешенной

,

где - i-е значение признака x;

- средняя величина признака x;

- веса вариант;

n - число членов совокупности.

Среднее квадратическое отклонение может быть рассчитано по следующим формулам:

,

где - средний квадрат значений признака (средняя величина из

квадратов значений признака);

- квадрат средней величины признака,

или

,

 

где D - дисперсия случайной величины.

Дисперсия в зависимости от вида статистической совокупности может быть генеральной и выборочной.

Генеральная дисперсия - математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания или средний квадрат отклонения признака от его среднего значения в генеральной совокупности.

Выборочная дисперсия - смещенная оценка генеральной дисперсии или среднее арифметическое (выборочное среднее) квадрата отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего арифметического. Выборочная дисперсия является состоятельной оценкой генеральной дисперсии.

Для сгруппированного вариационного ряда выборочная дисперсия определяется по формуле

,

где J - число групп;

- значение признака в j - й группе;

- частота признака в j - й группе.

При анализе информации статистической совокупности, разбитой на группы рассчитываются следующие дисперсии: групповая, межгрупповая, внутригрупповая и общая.

Групповая дисперсия (частная) - средний квадрат отклонений значения признака единиц совокупности в группе от их средней величины. Группа является составной частью статистической совокупности. Эта дисперсия характеризует вариацию признака в группе, обусловленную действием на него всех прочих факторов, кроме признака, положенного в основание группировки (группировочного признака). Вычисляется по формулам:

средней взвешенной арифметической

,

 

или средней арифметической невзвешенной

 

,

где - значение признака i -й единицы j -й группы;

- частная (групповая) средняя величина признака в j -й группе;

- вес значения признака i -й единицы в j -й группе;

- численность единиц j -й группы.

 

Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) - средний квадрат отклонений средних величин признака в каждой группе, называемых средней групповой (частной), от средней общей для всей статистической совокупности в целом. Межгрупповая дисперсия вычисляется по формуле

,

где - средняя j -й группы;

- общая средняя;

- вес j -й группы, представляющий собой численность единиц в j -й группе или их долю в численности единиц всей статистической

совокупности в целом;

J - количество групп.

Межгрупповая дисперсия измеряет степень колеблемости (вариацию) признака во всей статистической совокупности за счет фактора, положенного в основание группировки (группировочного признака).

Внутригрупповая дисперсия (средняя дисперсия из групповых дисперсий) - дисперсия, вычисляемая как средняя арифметическая взвешенная из дисперсий, рассчитанных по каждой группе, на которые разбита статистическая совокупность. Определяется по формуле

 

,

где - групповая (частная) дисперсия j -й группы.

Внутригрупповая дисперсия измеряет степень колеблемости (вариацию) признака во всей совокупности в целом за счет действия на него всех прочих факторов (признаков), кроме положенного в основание группировки, т.е. группировочного признака.

Общая дисперсия - дисперсия, вычисленная для всей статистической совокупности в целом как средний квадрат отклонений значений признака от общей средней. Измеряет степень колеблемости признака, порождаемую всей совокупностью действующих на него факторов. Может быть вычислена как сумма внутригрупповой и межгрупповой дисперсий

 

.

Коэффициент вариации является относительной мерой вариации и представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к средней величине варьирующего признака, вычисляется по формуле

,

где - среднее квадратическое отклонение;

- средняя величина признака.

Коэффициент вариации выражается обычно в процентах и дает представление о степени однородности статистической совокупности. Чем меньше величина коэффициента вариации, тем меньше варианты признака отличаются один от другого по величине, и, следовательно, тем однороднее статистическая совокупность. Коэффициент вариации является относительной величиной, абстрагирует различия абсолютных величин вариации разных признаков и дает возможность ее сравнения.

Коэффициент детерминации - представляет собой отношение межгрупповой дисперсии к общей дисперсии и показывает, какую часть общей вариации изучаемого признака составляет межгрупповая вариация, т.е. обусловленная группировочным признаком. Определяется следующим образом

.

 

Эмпирическое корреляционное отношение - показатель тесноты связи между взаимосвязанными явлениями (их признаками). Расчет эмпири-ческого корреляционного отношения может быть произведен по одной из следующих формул:

,

где - общая дисперсия результативного признака;

- внутригрупповая (средняя из групповых) дисперсия резуль-

тативного признака;

- межгрупповая дисперсия результативного признака.

Эмпирическое корреляционное отношение обычно выражается в долях единицы. По абсолютной величине эмпирического корреляционного отношения судят о тесноте связи или степени зависимости результативного признака от одного факторного признака (фактора) или нескольких. Эмпирическое корреляционное отношение может иметь значение от 0 до 1 (с учетом алгебраического знака от “-” до “+”). Знак указывает лишь на характер, направление связи. Если с увеличением (уменьшением) значений факторного признака значения результативного признака также увеличиваются (уменьшаются), то такого рода связь называется прямой и эмпирическое корреляционное отношение берется со знаком “+”, в противном случае связь называется обратной и берется знак “-”. Чем ближе величина эмпирического корреляционного отношения к единице, тем теснее связь.

 

 

 

8. МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

 

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: