Раздел VI. Интегральное исчисление функций одной независимой переменной

Тема 1. Первообразная функция, ее свойства. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, замена переменной, интегрирование по частям. Интегрирование дробно-рациональных функций. Интегрирование тригонометрических выражений и простейших иррациональных функций.

Тема 2. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о среднем. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Несобственные интегралы.

Тема 3. Приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, вычисление площадей в полярных координатах, вычисление длины дуги, площади поверхности вращения, вычисление объема, статических моментов и центра тяжести. Биологические приложения определенного интеграла.

2.4. Программа самостоятельной познавательной деятельности студентов

Самостоятельная познавательная деятельность студентасостоит в подготовке к лекционным и практическим занятиям, в том числе решении задач домашних заданий, подготовке к зачету. Контроль самостоятельной работы студентов осуществляется на практических занятиях посредством проверки выполнения домашних заданий и двух аудиторных контрольных работ. В первом семестре проводится зачет.

 

Вопросы для самостоятельной работы студентов с указанием разделов и тем

Наименование разделов и тем для самостоятельной работы	Количество часов
I семестр
Раздел I. Линейная алгебра
Тема.1.Основные сведения о матрицах. Операции над матрицами, их свойства. Определители квадратных матриц. Свойства определителей.
Тема.2.Обратная матрица: определение, необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы, вычисление обратной матрицы.
Тема.3.Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Теорема Крамера. Метод Гаусса. Теорема Кронеккера-Капелли. Системы однородных линейных уравнений.
Раздел II. Векторная алгебра
Тема.1.Векторы, линейные операции над векторами и их свойства. Понятие линейной зависимости и линейной независимости векторов. Базис на плоскости и в пространстве. Скалярное произведение векторов и его свойства. Векторное произведение векторов и его свойства. Смешанное произведение векторов и его свойства.
Раздел III. Аналитическая геометрия
Тема.1.Метод координат на плоскости. Основные задачи, решаемые методом координат. Уравнение линии на плоскости. Прямая линия, ее основные виды: уравнение прямой с угловым коэффициентом, общее уравнение прямой, уравнение прямой, проходящей через две точки, уравнение прямой в отрезках.
Тема.2.Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от точки до прямой.
Тема.3.Кривые второго порядка. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы.
Раздел IV. Введение в математический анализ
Тема.1.Определение и способы задания функции. Обзор элементарных функций и их графиков. Предел числовой последовательности. Число е. Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие величины, их свойства. Связь бесконечно малых и бесконечно больших величин. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. Односторонние пределы.
Тема.2.Непрерывность функции. Теоремы о непрерывных функциях. Классификация точек разрыва. Свойства функций, непрерывных на сегменте. Непрерывные и разрывные функции в естествознании.
Тема.3.Комплексные числа: определение, основные операции, геометрическое изображение. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение в степень и извлечение корня.
Раздел V. Дифференциальное исчисление функции одной независимой переменной
Тема.1.Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной, ее геометрический и механический смысл. Правила дифференцирования и производные элементарных функций.
Тема.2.Дифференциал функции, его геометрический смысл. Основные формулы дифференциалов. Применение дифференциала для приближенных вычислений. Производные и дифференциалы высших порядков.
Тема.3.Свойства дифференцируемых функций (теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа). Правило Бернулли-Лопиталя. Исследование функций с помощью производных и построение графиков. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Раздел VI. Интегральное исчисление функции одной независимой переменной
Тема.1.Первообразная функция, ее свойства. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, замена переменной, интегрирование по частям. Интегрирование дробно-рациональных функций. Интегрирование тригонометрических выражений и простейших иррациональных функций.
Тема.2.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о среднем. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Несобственные интегралы.
Тема.3.Приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, вычисление площадей в полярных координатах, вычисление длины дуги, площади поверхности вращения, вычисление объема, статических моментов и центра тяжести. Приложения определенного интеграла.

Формы, методы обучения

- лекция

- практические занятия

- работа в группах

 

Текущий и итоговый контроль результатов изучения дисциплины

Текущий контроль проводится на практических занятиях. На каждом занятии преподаватель проводит устный или письменный опрос студентов по изучаемой теме. Итоговыми формами контроля являются контрольная работа, зачет.

 

Примерный перечень вопросов к зачету.

Семестр

 

1. Декартовы прямоугольные координаты. Полярные координаты.

2. Расстояние между двумя точками.

3. Деление отрезка в данном отношении.

4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

5. Общее уравнение прямой.

6. Уравнение прямой с данным угловым коэффициентом и проходящей через данную

точку. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

7. Уравнение прямой в отрезках.

8. Нахождения угла между двумя прямыми.

9. Взаимное расположение двух прямых.

10. Расстояние от точки до прямой.

11. Каноническое уравнение эллипса.

12. Каноническое уравнение гиперболы.

13. Каноническое уравнение параболы.

14. Определители второго порядка, их свойства.

15. Определители третьего порядка.

16. Площадь треугольника на плоскости.

17. Понятие функции. Способы задания функции.

18. Предел числовой последовательности.

19. Второй замечательный предел.

20. Предел функции.

21. Бесконечно малые и их свойства.

22. Бесконечно большие. Связь с бесконечно малыми.

23. Основные теоремы о пределах.

24. Первый замечательный предел.

25. Сравнение бесконечно малых.

26. Непрерывность функции.

27. Задачи, приводящие к понятию производной.

28. Определение производной. Нахождение производных по определению.

29. Производная суммы функций.

30. Производная произведения функций.

31. Производная частного двух функций.

32. Производная сложной функции.

33. Производная обратной функции.

34. Производная тригонометрических функций.

35. Производная логарифмической функции.

36. Производная степенной функции.

37. Производная показательной функции.

38. Производные обратных тригонометрических функций.

39. Дифференциал функции.

40. Теорема П.Ферма.

41. Теорема М.Ролля.

42. Теорема Ж.Лагранжа.

43. Правило Лопиталя.

44. Возрастание и убывание функций. Экстремумы функции.

45. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

46. Асимптоты.

47. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.

48. Основные методы интегрирования.

49. Задача о площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл.

50. Свойства определенного интеграла.

51. Формула Ньютона-Лейбница.

52. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о среднем.

53. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

54. Несобственные интегралы.

55. Вычисление площадей плоских фигур.

56. Вычисление длины дуги.

57. Вычисление площади поверхности вращения.

58. Объем тела вращения.

59. Вычисление статических моментов и центра тяжести.

60. Приложения определенного интеграла.

61. Определение комплексных чисел и основные операции над ними. Геометрическая интерпретация.

62. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической

форме.

63.Возведение в степень и извлечение корня. Формула Эйлера.

 

Семестр

Контрольная работа №1

1. Решить систему по правилу Крамера и матричным методом:

1. Даны вершины треугольника А(4; 1), В(7; -4), С(9; 2).Найти площадь треугольника АВС.
2. Дан треугольник со своими вершинами, через вершину С провести прямую параллельную стороне АВ, найти длину высоты, проведенной из вершины С.

А(4; 1), В(7; -4), С (9; 2)

 

1. Привести уравнение к канонической форме, определить, какую кривую оно представ-ляет, построить кривую на плоскости в прямоугольной системе координат

x² + 4x + 2y² + 8y = 0

 

Контрольная работа №2

Вычислить :

1. .

2. .

3. .

 

Вычислить интегралы:

 

1. .

2.

3.

⇐ Предыдущая12

Поделиться: