Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним

Однородные уравнения

Определение. Функция называется однородной функцией -го порядка относительно переменных и , если для неё выполняется равенство: .

Например: а) – однородная функция второго порядка, так как ;

б) не является однородной функцией, так как .

Порядок однородной функции может быть и нулевым, т.е.

Однородную функцию нулевого порядка всегда можно представить как функцию, аргументом которой является отношение , т.е. .

Определение. Дифференциальное уравнение вида

называется однородным уравнением первого порядка, если и – однородные функции одного и того же порядка.

Обычно однородные уравнения разрешают относительно производной и записывают в виде:

. (4)

Уравнение (4) сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение является однородным вида :

Положим , тогда , . Подставляя в данное уравнение, получим:

, отсюда

т.е. получили уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяем переменные:

Интегрируем обе части последнего равенства:

Учитывая, что , получаем:

, или

– общий интеграл данного дифференциального уравнения.

Уравнения, приводящиеся к однородным

Рассмотрим дифференциальное уравнения вида

, (5)

где – постоянные, а – непрерывная функция своего аргумента . Если , то уравнение (5) является однородным и интегрируется, как указано в п. 1.3.1.

Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то следует различать два случая:

1) Определитель . Вводя новые переменные , где – решение системы

получим однородное уравнение.

2) Определитель . Подстановка позволяет привести уравнение (5) к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. Уравнение принадлежит к первому типу, поскольку

и .

Находим решение системы

Производим в исходном уравнении замену переменных, полагая . Тогда .

Уравнение преобразуется к виду

, или

В полученном однородном уравнении положим , откуда . Подставляя в последнее уравнение и преобразуя, придём к уравнению с разделяющимися переменными:

, или

Разделяем переменные:

Интегрируя, получим:

или после замены :

Возвращаясь к переменным и , после элементарных преобразований найдём общий интеграл исходного уравнения

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. Уравнение принадлежит ко второму типу, поскольку

Положим поэтому , . Данное уравнение примет вид:

, или

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

Возвращаясь к исходным переменным , получим окончательный ответ

Линейные уравнения

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит и в первой степени, т.е. имеет вид:

(6)

При уравнение (6) примет вид:

и называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными, а его общее решение имеет вид

где – произвольная постоянная, а – одна из первообразных функции .

Интегрирование линейного неоднородного уравнения (6) можно провести методом Бернулли.

Положим , тогда . Подставляя выражения для и в уравнение (6), получим:

Перенесём слагаемое в левую часть и сгруппируем с , вынося в качестве общего множителя:

. (7)

Согласно методу Бернулли функцию выбирают так, чтобы . Интегрируем уравнение с разделяющимися переменными:

и выбираем какое-либо его частное решение . Подставляя найденную функцию в уравнение (7), получаем уравнение с разделяющимися переменными относительно функции :

, тогда

т.е. находим общее решение этого уравнения .

Учитывая, что , получаем общее решение уравнения (6):

Пример 8. Найти общее решение уравнения .

Решение. Данное уравнение является линейным неоднородным.

Решим это уравнение методом Бернулли. Сделаем подстановку: . Имеем:

. (8)

Функцию выберем так, чтобы

, отсюда

Интегрируя обе части последнего равенства, получаем:

Подставим найденную функцию в уравнение (8), получим:

Вспоминая, что окончательно получаем общее решение данного дифференциального уравнения:

Пример 9. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию

Решение. Относительно это уравнение не является линейным. Перепишем уравнение в виде

Это уравнение линейно относительно функции и её производной :

Решим его методом Бернулли: . Имеем:

. (9)

Решаем уравнение с разделяющимися переменными и находим его частное решение: .

Подставим найденную функцию в равенство (9), получим:

Учитывая, что получим общее решение уравнения

Найдём частное решение, используя заданное начальное условие , т.е. :

Тогда частное решение имеет вид:

Уравнения Бернулли

Определение. Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение первого порядка вида

, (10)

где (при уравнение (10) является линейным, а при – уравнением с разделяющимися переменными).

Так же как и линейное уравнение, уравнение Бернулли можно проинтегрировать с помощью подстановки или свести к линейному уравнению с помощью подстановки .