Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Поскольку общее решение линейного однородного уравнения (19) легко находится по теореме 5, то в силу теоремы 4 для нахождения общего решения линейного неоднородного уравнения

(21)

остаётся найти какое-нибудь одно его частное решение . В тех случаях, когда правая часть имеет специальный вид, частное решение неоднородного уравнения находится методом неопределённых коэффициентов. Этот метод называется также методом подбора частного решения неоднородного уравнения по специальному виду правой части.

Специальным видом функции называется следующий вид:

где и – многочлены степени и соответственно,

или в частном случае (когда )

Число называется характеристическим числом функции .

Если правая часть уравнения (21) имеет такой вид, то частное решение удобно искать точно в таком же виде, в каком представлена функция , только вместо известных коэффициентов в многочленах будут стоять неопределённые коэффициенты, которые находятся при подстановке построенной функции в дифференциальное уравнение, т.е.

Здесь – наибольшая из степеней и ; и – многочлены степени с неопределёнными коэффициентами.

Если характеристическое число не является корнем характеристического уравнения (20), то Если есть корень характеристического уравнения (20) кратности , то .

Так как предполагается, что данная функция есть решение дифференциального уравнения (21), то при подстановке этой функции в данное уравнение мы получим тождество, поэтому можно приравнивать коэффициенты при одинаковых линейно независимых функциях слева и справа. Это даёт систему уравнений для нахождения всех неопределённых коэффициентов.

Теорема 6.Если и – частные решения соответственно уравнений

то функция – частное решение уравнения

Пример 20. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . Общее решение соответствующего однородного уравнения

Частное решение данного неоднородного уравнения будем искать в виде , где – частное решение уравнения

, (22) а – частное решение уравнения

. (23)

1) Правая часть уравнения (22) имеет вид: .

– характеристическое число функции .

Частное решение уравнения (22) будем искать в виде . Так как не является корнем характеристического уравнения, то , т.е. Подставляя в уравнение (22), будем иметь

откуда находим .

Таким образом, .

2) Правая часть уравнения (23) имеет вид: .

– характеристическое число функции .

Частное решение уравнения (23) будем искать в виде . Так как не является корнем характеристического уравнения, то , т.е. .

Для определения неизвестного коэффициента имеем уравнение

откуда . Тогда .

Следовательно, и общее решение исходного уравнения

Выделим теперь из общего решения частное, удовлетворяющее начальным условиям. Для этого продифференцируем найденное :

Используя начальные условия при , получим систему

из которой находим: .

Искомое частное решение есть

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 7. ЗАДАНИЯ

1.Проверить, является ли заданная функция решением данного дифференциального уравнения (табл. 1).

2.Определить типы дифференциальных уравнений первого порядка и решить их (табл. 2).

3.Решить задачу Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка (табл. 3).

4.Найти общий интеграл дифференциального уравнения высшего порядка (табл. 4).

5.Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом неопределённых коэффициентов (табл. 5).

Пример выполнения контрольной работы № 7. Вариант № 0

Задание 1.Проверить, является ли функция решением дифференциального уравнения

Решение.Найдем производную данной функции:

Подставляя и в данное уравнение, получаем верное равенство

Следовательно, функция является решением данного уравнения.

Задание 2.Определить типы дифференциальных уравнений и решить их:

а) ;

б) ;

в)

Решение.а)Выразим из уравнения производную:

Это уравнение вида , т.е. уравнение с разделяющимися переменными.

Имеем:

Разделяем переменные:

Интегрируем обе части последнего равенства:

отсюда

– общее решение данного дифференциального уравнения.

При делении на мы могли потерять решение , однако оно входит в запись общего решения при

Ответ: .

б) . Разделив числитель и знаменатель правой части заданного уравнения на , получим уравнение:

Это однородное уравнение вида . Сделаем подстановку , где – новая неизвестная функция. Тогда и уравнение приводится к виду

т.е. к уравнению с разделяющимися переменными.

Разделяем переменные:

Интегрируя обе части, получаем:

Заменяя на , получаем общий интеграл заданного уравнения

Ответ:

в) Видим, что это уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными (переменные не разделить), не является ни однородным, ни линейным, ни уравнением Бернулли. Проверим условие . Имеем:

;

Таким образом, и уравнение является уравнением в полных дифференциалах, тогда

, поэтому

Продифференцируем найденную функцию по переменной :

Учитывая, что , получим уравнение, из которого найдём функцию :

Таким образом, Общий интеграл исходного дифференциального уравнения

Ответ:

Задание 3. Решить задачу Коши

Решение.Данное уравнение линейное, найдём его общее решение методом Бернулли. Сделаем подстановку

Подставим выражения для и в заданное уравнение:

. (*)

Найдём функцию как частное решение уравнения Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:

Подставляя найденную функцию в уравнение (*), получим второе дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого найдём функцию :

Учитывая, что , получим общее решение исходного уравнения

Решим задачу Коши, т.е. найдём частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию т.е. при :

Таким образом, искомое частное решение есть или

Ответ:

Задание 4.Найти общий интеграл дифференциального уравнения высшего порядка: .

Решение.Это дифференциальное уравнение второго порядка вида , не содержащие явно искомой функции . Сделаем подстановку , тогда . Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получаем:

т.е. получаем уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяя переменные и интегрируя, имеем:

Учитывая, что , получаем: . Интегрируя, получим общее решение:

Ответ: .

Задание 5.Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом неопределённых коэффициентов:

Решение.Найдём сначала общее решение соответствующего однородного уравнения Для этого составим характеристическое уравнение и найдём его корни Общее решение однородного уравнения будет

Правую часть неоднородного уравнения запишем в виде суммы двух функций и , для которых частное решение можно искать методом неопределённых коэффициентов.

Частное решение, соответствующее правой части будем искать в виде:

Характеристическое число функции равно , поэтому , так как является корнем характеристического уравнения кратности 1, тогда

Имеем:

;

Подставляя эти выражения в неоднородное уравнение (с правой частью ) и сокращая на , получим:

, или

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и находим:

отсюда

Таким образом,

Частное решение, соответствующее правой части , запишем в виде:

Характеристическое число функции равно , поэтому , так как не является корнем характеристического уравнения, тогда

Имеем:

; .

Подставляя эти выражения в неоднородное уравнение (с правой частью ), получим:

, или

Приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях слева и справа, получим:

отсюда

Таким образом, .

Следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения есть , или

Ответ:

Варианты заданий контрольной работы № 7

Таблица 1.Варианты задания 1

№	Дифференциальное уравнение	Функция

Таблица 2.Варианты задания 2

	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в)
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в) .
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в) .
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в) .
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в) .
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в) .
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в) .
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в) .
	а) ; б) ; в)		а) ; б) ; в) .
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в) .
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в) .
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в)
	а) ; б) ; в) .		а) ; б) ; в) .