По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за

пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х=0 и х=1) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные усло­вия в данном случае имеют вид

(220.2) В пределах «ямы» уравнение Шредингера (220.1) сведется к уравнению

или

(220.3)

где

(220.4)

Общее решение дифференциального уравнения (220.3):

Так как по (220.2) (0)=0, то 5=0. Тогда

(220.5)

Условие (220.2) выполняется только при — целые числа,

т. е. необходимо, чтобы

(220.6) Из выражений (220.4) и (220.6) следует, что

(220.7)

т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потен­циальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Е_n, , зависящих от целого числа л. Следовательно, энергия Е_n частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т. е. квантуется. Квантованные значения энергии Е _n называются уровнями энергии, а число л, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «по­тенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Е_n или, как говорят, частица находится в кван­товом состоянии n.

Подставив в (220.5) значение из (220.6), найдем собственные функции:

Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки (216.3), которое для данного случая запишется в виде

В результате интегрирования получим а собственные функции будут

иметь вид

(220.8)

Графики собственных функций (220.8), соответствующие уровням энергии (220.7) при n=1, 2, 3, приведены на рис. 297, а. На рис. 297, 6 изображена плотность вероят­ности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы, равная для n = 1, 2 и 3. Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с л=2 частица не может находиться в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

Из выражения (220.7) вытекает, что энергетический интервал между двумя сосед­ними уровнями равен

(220.9)

Например, для электрона при размерах ямы м (свободные электроны в метал-

ле) л п эВ, т. е. энергетические уровни расположены столь

тесно, что спектр практически можно считать непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с атомными то для электрона эВ,

т. е. получаются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр). Таким об­разом, применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконеч­но высокими «стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает.

Кроме того, квантово-механическое рассмотрение данной задачи приводит к выво­ду, что частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная Наличие

отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты частицы в «яме» шириной / рав­на Тогда, согласно соотношению неопределенностей (215.1), импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность импульса Такому разбросу значений импульса соответствует кинетическая энергия

Все остальные уровни имеют энергию, превыша-

ющую это минимальное значение.

Из формул (220.9) и (220.7) следует, что при больших квантовых числах

т. е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше л. Если л очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последователь­ности уровней и характерная особенность квантовых процессов — дискретность —

сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора (1923), согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

Более общая трактовка принципа соответствия, имеющего огромную роль в со­временной физике, заключается в. следующем: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применения, причем в определенных пре­дельных случаях новая теория переходит в старую. Так, формулы кинематики и дина­мики специальной теории относительности переходят при в формулы механики Ньютона. Например, хотя гипотеза де Бройля приписывает волновые свойства всем телам, но в тех случаях, когда мы имеем дело с макроскопическими телами, их волновыми свойствами можно пренебречь, т. е. применять классическую механику Ньютона.

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: