Тема 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

 

 

Методические указания

для подготовки к аудиторной контрольной работе

студентов заочной формы получения высшего образования

по учебной дисциплине «Высшая математика»

 

в трех частях

 

Часть II

 

Могилев 2014

УДК 519.21

ББК 22.1

Рассмотрено и рекомендовано к изданию

на заседании кафедры высшей математики

Протокол № 4 от 20. 11. 2014 г.

 

Составители:

к.ф.-м. н., доцент В.Э.Гарист

старший преподаватель Л.И.Рыдевская

ассистент Ю.М.Гребенцов

 

Рецензент

д.ф.-м. н., доцент А.М.Гальмак

 

 

УДК 51

ББК 22.1

© Учреждение образования «Могилевский

государственный университет продовольствия», 2014

Материалы для подготовки к выполнению аудиторной контрольной работы ( весенний семестр)

Тема 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

1. Уметь определять порядок дифференциального уравнения.

2. Знать определение общего и частного решения дифференциального уравнения.

3. Знать определение дифференциального уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными, однородного, линейного и уметь решать их.

4. Знать определение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

5. Определять вид частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

 

Задания для самостоятельного выполнения

1. Определить порядок дифференциального уравнения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2. Показать, что функция есть общее решение дифференциального уравнения . Найти частное решение, удовлетворяющее условию .

3. Решить дифференциальные уравнения:

а) ;

б) ;

в) .

4. Найти общее решение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:

а) ;

б) ;

в) .

5. Указать вид частного решения данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

Образцы решения заданий

Задание 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка

Решение. Преобразуем данное уравнение. Слагаемые с множителем dx перенесем в левую часть равенства, а слагаемые с dy – в правую часть. Имеем:

.

Вынесем общие множители за скобки:

.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

.

Интегрируем обе части последнего равенства:

,

,

,

.

Следовательно, общим интегралом исходного уравнения является

.

 

Задание 2. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

.

Решение. Так как уравнение линейное, то решаем его с помощью подстановки Бернулли:

, где .

Имеем: . Подставив в исходное уравнение выражения для и , получим уравнение

,

которое преобразуем к виду

.

Так как только произведение должно удовлетворять исходному уравнению, то одну из неизвестных функций, например , можно выбрать произвольно. Выбираем в качестве любое частное решение уравнения .

Тогда . Разделим переменные, имеем:

.

Интегрируя, получим:

, .

Полагая , выбираем частное решение . Далее найдем общее решение из уравнения , где . Имеем:

, , .

Общее решение исходного уравнения

.

Задание 3.

а) Найти общее решение уравнения

(1)

Решение. Данное уравнение относится к уравнениям вида Понизив его порядок с помощью подстановки где . Тогда . Подставив в уравнение (1) вместо и их выражения, получим

(2)

Это однородное уравнение первого порядка относительно функции . Уравнение (2) решим с помощью подстановки Подставив это в уравнение (2), получим

Разделив переменные и проинтегрировав, получим

 

 

,

 

,

 

.

 

Проинтегрировав, получим

б) Найти общее решение уравнения

. (3)

Решение. Данное дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка, относится к уравнениям вида Порядок такого уравнения понижается подстановкой , где Тогда

Подставляя вместо и их выражения в уравнение (3), получим

или

– линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно искомой функции

Решаем подстановкой

,

. (4)

Функцию выберем так, чтобы коэффициент при был равен нулю.

или

Подставляя в уравнение (4), получим

.

Тогда или

Разделив переменные и проинтегрировав, получим

– общий интеграл данного уравнения при Если т.е. то

Ответ: .

Задание 4. Найти частное решение дифференциального уравнения

, удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение

Так как корни характеристического уравнения действительные и разные, то общее решение имеет вид

.

 

Найдем теперь частное решение, удовлетворяющее начальным условиям В нашем случае а или , или .

Теперь решаем систему уравнений

Откуда .

Следовательно, – искомое частное решение.

 

Задание 5. Найти частное решение дифференциального уравнения

, удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Общее решение данного уравнения состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, т.е.

Решим сначала однородное уравнение

.

Составим и решим характеристическое уравнение

Так как корни характеристического уравнения действительные и разные, то общее решение будет иметь вид

.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде .

В нашем случае так как встречается один раз среди корней характеристического уравнения.

Итак, , где это многочлен нулевой степени.

( Если то при и т.д.).

Чтобы найти коэффициент А, найдем и подставим в первоначальное уравнение.

;

.

.

Приведя подобные и сократив на , получим

откуда

и частное решение имеет вид .

 

Общее решение данного уравнения:

Найдем и поставим начальные условия, откуда найдем и .

откуда .

И частное решение будет иметь вид

Задание 6. Найти частное решение соответствующего однородного уравнения , удовлетворяющее заданным начальным условиям , и указать вид частного решения неоднородного уравнения.

Решение. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Составим характеристическое уравнение

.

Это квадратное уравнение имеет корни k₁ = – 1, k₂ = 6. По теореме о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения решение запишем в виде

.

Следовательно, .

Для нахождения частного решения однородного уравнения найдем производную и решим систему

, откуда .

Следовательно, частное решение однородного уравнения имеет вид

.

Теперь укажем вид частного решения заданного в условии неоднородного уравнения.

Правая часть уравнения – функция имеет специальный вид, что позволяет установить вид частного решения. Частное решение для такой правой части ищем в виде , где по условию ; – число корней характеристического уравнения совпадающих с числом . Так как один из корней характеристического уравнения и совпадает с числом , то частное решение ищем в виде

.

Образцы решения заданий.

Задание 1. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле в том и другом порядке, если область задана линиями и вычислить площадь этой области.

Решение. Строим область :

x

1/3

y

y=

y=x/3

 

 

Рисунок 1– Область D

Площадь плоской области с помощью двойного интеграла вычисляется по формуле

.

Расставим пределы интегрирования в том и другом порядке. Переменная изменяется от 0 до 1, в это время изменяется от прямой до параболы , так как прямая, параллельная оси ОУ, пересекает сначала прямую (нижний предел), а затем параболу (верхний предел). При изменении порядка интегрирования область придется разбить на две области ₁ и ₂ прямой, параллельной оси , так как правая часть контура области состоит из двух линий, определяемых разными уравнениями и

Следовательно,

( кв.ед.)

Задание 2. Сделать чертеж области интегрирования. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле I = и вычислить в одном из случаев двойной интеграл при .

Решение. Зная пределы интегрирования 0 ≤ у ≤ 2, , найдем границы области интегрирования D: у = 0, у = 2, х = , х = и построим их (рисунок 1).

Рисунок 1 – Область интегрирования

Найдем координаты точки А, точки пересечения прямой х = и полуокружности х = . Так как в точке пересечения ордината у = 2, то подставив в любое из двух уравнений, найдем х = 1. Итак, точка А имеет координаты А(1; 2).

Для того чтобы расставить пределы интегрирования в другом порядке, проведем через область D прямые, параллельные оси Оу. Эти прямые пересекают сначала ось Ох, затем прямую у = 2х или дугу полуокружности у = . Следовательно, линией входа будет у = 0 (0 ≤ х ≤ ), а линиями выхода будут у = 2х (0 ≤ х ≤ 1) и у = (1 ≤ х ≤ ). Так как линия выхода задается двумя различными аналитическими выражениями, то область D необходимо разбить прямой х = 1 на две области, и двойной интеграл будет равен сумме интегралов по каждой из этих областей.

Таким образом, получим

I .

Вычислим I = , если , то есть

I = .

Вычисляем сначала внутренний интеграл по переменной х, считая у постоянной величиной, имеем:

I= = = =

= = =

= = = .

Ответ:

Задание 3. Вычислить – отрезок прямой от А(0; 0) до В (4; 3).

Решение. Уравнение прямой АВ имеет вид Находим и, следовательно,

Задание 4. Вычислить криволинейный интеграл ,

где АВ–дуга параболы от т.А( ) до т.В ( ).

Решение. Изобразим кривую, вдоль которой ведется интегрирование:

 

Вычисление криволинейного интеграла сведем к вычислению определенного интеграла по формуле

= .

Так как АВ–дуга параболы, заданной уравнением от т.А( ) до т.В ( ), то , а переменная меняется в пределах от 1 до 2. Следовательно,

= = =

Задание 5. Применяя формулу Грина, вычислить – контур треугольника с вершинами L(1; 1), М(2; 2), N(1; 3), пробегаемый против хода часовой стрелки.

 

Решение. Здесь Находим

Таким образом,

где область D– треугольник LMN.Уравнение прямой LM: y=x, уравнение MN: y=–x+4.Вычислим двойной интеграл по данной области:

Образцы решения заданий.

Задание 1. Написать первые три члена ряда, общий член которого

Решение. Полагая в данной формуле n=1, 2, 3, получаем:

Задание 2. Найти формулу общего члена ряда

Решение. В рассматриваемом ряде члены представлены в виде дробей. Числитель каждой дроби – число 1, а знаменатель – квадрат натурального числа. Тогда . Данный ряд можно записать также в виде .

Задание 3. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Заметим, что предел общего члена рассматриваемого ряда . Поэтому, согласно необходимому признаку сходимости, ряд не может сходиться, т.е. он расходится.

Задание 4. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Заданный ряд запишем в виде и сравним его с рядом . Ряд сходится, т.к. является геометрическим рядом со знаменателем Кроме того, Значит, согласно признаку сравнения, ряд сходится.

Задание 5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Возьмем для сравнения ряд , который сходится как обобщенный гармонический ряд, у которого α = 2> 1.

Значит, согласно предельному признаку сравнения, ряд сходится.

Задание 6. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Запишем . Чтобы получить выражение для , необходимо в формулу n-го члена ряда подставить n+1 вместо n: .

Имеем:

По признаку Д^/Аламбера данный ряд сходится.

Задание 7. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. ,

Данный ряд расходится.

Задание 8. Исследовать на сходимость ряд

Решение.

По признаку Коши ряд сходится.

Задание 9. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Данный ряд сходится.

Задание 10. Исследовать на сходимость ряд

Решение.

Согласно признаку Коши ряд расходится.

Задание 11. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Данный ряд является знакочередующимся, исследуем его по признаку Лейбница:

а) б) . Итак, данный ряд сходится.

Задание 12. Выяснить вопрос об условной или абсолютной сходимости ряда .

Решение. Ряд сходится условно, т.к. он сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из его модулей , расходится, ибо является гармоническим рядом.

Задание 13. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости .

Решение. Для определения радиуса сходимости степенного ряда воспользуемся формулой: R = .

Так как а_п = и а_{п + 1} = , то

R = =5 =5 =5 =5.

Итак, радиус сходимости ряда R = 5.

Определим интервал сходимости данного степенного ряда:

|x + 2| < 5 – 5< x + 2 < 5 – 7 < x < 3.

Итак, (– 7; 3) – интервал сходимости степенного ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости, то есть в точках х = – 7 и х = 3.

Пусть х = – 7. Подставим это значение в исследуемый степенной ряд. Получим знакочередующийся числовой ряд:

= .

Так как и = 0, то согласно признаку Лейбница данный ряд сходится. Таким образом, х = – 7 принадлежит области сходимости степенного ряда.

Пусть х = 3. Подставив это значение в исследуемый степенной ряд, получим числовой ряд с положительными членами:

= .

Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом при р = < 1, который является расходящимся. Для исследования на сходимость применим предельный признак сравнения. Получим

= = 1 ≠ 0.

Следовательно, оба ряда ведут себя одинаково и исследуемый ряд, как и вспомогательный ряд, расходится. Таким образом, х = 3 не принадлежит области сходимости степенного ряда.

Поэтому, областью сходимости исследуемого степенного ряда является полуинтервал [– 7; 3).

Ответ: R = 5, [– 7; 3).

Образцы решения заданий

Задание 1. Сколько существует способов распределить три премии между десятью сотрудниками отдела: а) одинакового размера; б) разных размеров; в) одинакового размера, если сотрудники могут быть премированы за различные показатели и более одного раза; г) разного размера, если сотрудники могут быть премированы за различные показатели и более одного раза?

Решение. Каждому работнику отдела поставим в соответствие некоторый номер – 1, 2, …, 10. Тогда любая тройка номеров из этого списка соответствует одному варианту распределения премий. Условимся также премии располагать слева направо в порядке убывания, когда они различаются по размеру.

а) если премии одинакового размера, то наборы номеров, например, (1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); (2, 3, 1) неразличимы (они соответствуют факту награждения первых трёх сотрудников по списку). Поэтому здесь важен только состав, порядок расположения элементов в наборе роли не играет. Значит, способов распределить три премии одинакового размера столько же, сколько сочетаний «из 10 по 3», .

б) если премии разного размера, то наборы номеров, например, (1, 2, 3); (1, 3, 2) разные (для 2-го и 3-го сотрудников). Поэтому здесь важен не только состав, но и порядок расположения элементов в наборе. Значит, способов распределить три премии разного размера столько же, сколько размещений « из 10 по 3», .

в) если премии одинакового размера, а сотрудники могут быть премированы и более одного раза, то наборы номеров, например, (1, 1, 3); (1, 3, 1) неразличимы. В обоих случаях 2 премии получил работник с № 1 и 1 премию – работник № 3. Значит, способов распределить три премии одинакового размера в этом случае столько же, сколько существует сочетаний с повторениями « из 10 по 3», .

г) если премии разного размера, а сотрудники могут быть премированы и более одного раза, то наборы номеров, например, (1, 1, 3); (1, 3, 1) различные. В первом варианте 1-й работник имеет премию максимальную и 2-ю по величине, во 2-м варианте 1-й работник имеет премию максимальную и 3-ю по величине. Значит, наборы представляют собой размещения с повторениями. Поэтому способов распределить три премии разного размера в столько же, сколько существует размещений с повторениями « из 10 по 3», .

Задание 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из множества цифр {1, 2, 3, 4, 5, 6}

а) без повторений; б) с повторениями?

Решение. а) Так как числа 123 и 321 разные, то порядок расположения внутри набора существенен. Поэтому чисел можно составить столько, сколько будет размещений « из 6 по 3», .

б) Если цифры повторяются, то важен и состав, и порядок в наборе. Поэтому чисел можно составить столько, сколько будет размещений с повторениями « из 6 по 3», то есть .

Задание 3. В отделении банка работают 25 человек, 10 из них мужчины. Для перевода в другое отделение банка необходимо отобрать 5 сотрудников. Какова вероятность того, что среди отобранных сотрудников три женщины?

Решение. Пусть событие A означает, что из 5 отобранных для перевода в другое отделение сотрудников три женщины. Тогда

.

Общее число n способов выбора 5 сотрудников из 25 равно числу сочетаний из 25 по 5, т.е. . Определим число m, благоприятствующих событию А исходов — «среди отобранных 5 сотрудников будут 3 женщины». Число способов выбрать 3 женщины из 15 равно . Каждому такому выбору соответствует способов выбора 2-х мужчин из 10. Следовательно, . Тогда

= = = = = 0, 38.

Ответ:

Задание 5. В течение года три фирмы независимо друг от друга могут обанкротиться (прекратить функционирование) с вероятностями = 0, 08 соответственно. Вычислить вероятность того, что в течение года будут функционировать:

а) только две фирмы;

б) хотя бы одна фирма;

в) не более одной фирмы.

Решение

Пусть , i=1, 2, 3 – события, означающие банкротство каждой из трёх фирм. Тогда P( ) = 0, 06, P( ) = 0, 09, P( ) = 0, 08; P( ) =0, 94, P( ) = = 0, 91, P( ) = 0, 92. Здесь , , – противоположные относительно , , случайные события.

а) Рассмотрим событие В= + + . Оно заключается в том, что в течение года не обанкротятся только две фирмы.

123456Следующая ⇒

Поделиться: