Тема 5. Элементы теории функции комплексной переменной.

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 6Следующая ⇒

1 Знать определение функции комплексной переменной и уметь ее геометрически изображать.

2 Уметь находить действительную и мнимую части функции комплексной переменной.

3 Знать определение предела функции комплексной переменной и уметь их вычислять.

4 Знать определение функции непрерывной в точке.

5 Знать определение производной функции комплексной переменной.

6 Знать условия дифференцируемости функции комплексной переменной (условия Коши-Римана).

7 Уметь находить производную функции комплексной переменной.

Задания для самостоятельного выполнения

1 Дана функция . Найти значения функции при: а) ,

б) , в) , г) .

2 Определить действительную и мнимую части функции :

а) , б) , в) .

3 Найдите пределы:

а)

4 Показать, что функция f(z) дифференцируема и найти ее производную.

а) ; б) ;

в) ; г) .

Образцы решения заданий.

Задание 1. Дана функция . Найти значения функции при .

Решение. Имеем

Задание 2. Определить действительную и мнимую части функции .

Решение. Определим действительную и мнимую часть функции , т.е. представим функцию в виде .

Так как , то

= (x + iy)² +3i(x + iy) = =

= .

Следовательно,

u(x, y) = x² – y² - 3y; v(x, y) = 2xy + 3x.

Задание 3. Найдите предел

Решение.

Пусть функция определена в некоторой области комплексного переменного .Пусть точки и принадлежат области . Приращение функции w в точке z:

, где .

Производной функции в точке называется предел отношения при

если он существует и конечен.

Если существует производная , то функция называется дифференцируемой точке z.

Пусть , тогда и в каждой точке дифференцируемости функции выполняются соотношения:

, .

Эти соотношения называются условиями Коши-Римана.

Обратно, если в некоторой точке выполняются условия Коши-Римана и, кроме того, функции и дифференцируемы как функции двух действительных переменных, то функция является дифференцируемой в точке, как функция комплексного переменного .

Задание 4. Показать, что функция f(z) = iz³ + z² – 3iz дифференцируема.

Решение. Определим действительную и мнимую часть функции f(z) = iz³ + z² – 3iz, т.е. представим функцию в виде .

Так как , то

f(z) = iz³ + z² – 3iz = i(x + iy)³ + (x + iy)² – 3i(x + iy) =

= i(x³ + 3x²yi – 3xy² – y³i) + x² + 2xyi – y² – 3xi + 3y =

= x³i – 3x²y – 3xy²i + y³ + x² + 2xyi –y² – 3xi + 3y =

= (y³ + x² – y² – 3x²y + 3y) + i(x³ – 3xy² + 2xy – 3x).

Следовательно,

u(x, y) = y³ + x² – y² – 3x²y + 3y; v(x, y) = x³ – 3xy² + 2xy – 3x.

Проверим выполнение условий Коши–Римана:

, .

Найдем частные производные функций u(x, y) и v(x, y):

Условия Коши-Римана выполняются при всех значениях х и у, следовательно, функция f(z) = iz³ + z² – 3iz является дифференцируемой на всей комплексной плоскости.

Тема 6. Элементы операционного исчисления.

1. Знать определения оригинала и изображения. Изображения некоторых функций.

2. Используя таблицу основных формул соответствия и теоремы операционного исчисления, уметь находить изображения оригиналов и оригиналы по их изображениям.

3. Уметь находить изображения дифференциального выражения.

4. Уметь находить операционным методом частные решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Задания для самостоятельного выполнения

1 Найти изображение F(p) по заданному оригиналу f(t):

а) ; б) ; в) .

2 Найти оригинал f(t) по изображению F(p):

а) ; б) ;

в) .

3 Найти изображение дифференциального выражения:

а) ;

б) ;

в) .

4 Операционным методом найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

а) ; б) .

Образцы решения заданий

Любая комплексная функция f (t) действительного переменного t называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) f (t) – кусочно–непрерывная при t ≥ 0, это значит, что она либо непрерывна, либо в каждом конечном интервале имеет лишь конечное число точек разрыва 1-го рода;

2) f (t) ≡ 0 при t < 0;

3) при t → ∞ функция f (t) растёт не быстрее некоторой показательной функции (имеет ограниченную степень роста), т.е. существует такое положительное число М и такое неотрицательное число s, что для всех t ≥ 0 выполняется неравенство: | f (t) | ≤ M∙ e^st, М > 0, s ≥ 0.

Точная нижняя грань s тех значений s, для которых выполняется указанное условие, называется показателем роста функции f(t).

Изображением функции f(t) по Лапласу называется функция F(p) комплексного переменного p=s+i из некоторой области D плоскости комплексного переменного p, определяемая равенством

F(p)= .

Связь между функциями f(t)и F(p) будем обозначать в дальнейшем следующим образом: f(t) = L^–1{F(p)} или F(p) = L{f(t)}.

Первую запись следует читать так: «Оригинал f (t) имеет изображение F (p)». Вторую запись следует читать так: «Изображение F (p) имеет оригинал f (t)» или «f (t) является оригиналом изображения F (p)». Используются также и другие обозначения.

Свойства преобразования Лапласа

1 Теорема единственности. Если два изображения F (р) и Φ (р) совпадают, то совпадают между собой и соответствующие им оригиналы во всех точках, за исключением, быть может, точек разрыва. То есть, если

F (p) = L{f(t)}, Ф (p) = L{φ (t)} и F (p) ≡ Ф (p), то f (t) ≡ φ (t)

во всех точках непрерывности f (t).

2 Теорема линейности. Если f (t) = L^–1{F (p)}, g (t) = L^–1{G (p)} для любых действительных или комплексных постоянных с₁ и с₂

с₁f (t) + с₂g (t) = с₁L^–1{F (p)} + с₂L^–1{G (p)}, Re p > s₀⁽^k⁾(k = 1, 2, )

т.е. линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений.

3. Теорема подобия. Если f (t) = L^–1{F (p)}, Re p > s₀, то для любого числа а > 0

f (аt) = L^–1{ }, Re p > аs₀,

т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на то же число а.

4. Теорема запаздывания. Если f (t) = L^–1{F (p)}, Re p > s₀, то для любого положительного числа τ

f (t – τ ) = e^–^рτL^–1{F (p)}, Re p > s₀.

5. Теорема о смещении изображения (затухания). Если

f (t) = L^–1{F (p)}, Re p > s₀, то для любого действительного или комплексного числа α

e^α^tf (t) = L^–1{F(р – α )}, Re (р – α ) > s_0,

т.е. умножение оригинала на функцию e^α^t, влечёт за собой «смещение» переменной p.

6. Теорема дифференцирования оригинала. Если функции f(t), f (t), …, f (t) являются функциями-оригиналами, то

f^/ (t) = p L^–1{F (p)} – f (0),

f ^// (t) = p L^–1{F (p)}-p f (0) – f ^/ (0),

…

f (t) = p L^–1{F (p)} – p f(0) – p f ^/ (0)-…-f (0).

Величина f (0), k=0, 1, …, n-1, понимается как f (t).

7. Теорема об интегрировании оригинала. Если функция f (t) является оригиналом и f (t) = L^–1{F (p)} то функция g(t) = также является оригиналом и g(t) = L^–1{F (p)}

т.е. интегрирование оригинала в пределах от 0 до t приводит к делению изображения на p.

На основании определений оригинала и изображения и основных свойств преобразований Лапласа можно составить таблицу основных формул соответствия (таблица 1).

Таблица 1 – Таблица основных формул соответствия

Номер формулы	Оригинал	Изображение

	e^{α t}
	sin ω t
	cos ω t
	sh ω t
	ch ω t
	t
	tⁿ
	tⁿ∙ e^{α t}
	t∙ sin ω t
	t∙ cos ω t