Вычисление значений амплитуды, частоты и фазы сигналов систем связи

Для решения широкого класса задач, связанных с обработкой сигналов различных систем связи, необходимо получать оценки мгновенных значений амплитуды, частоты и фазы принимаемого сигнала. К таким задачам могут относиться поиск и обнаружение сигналов, получение оценки отношения сигнал/шум, определение текущего состояния АЧХ и ФЧХ нестационарного по условиям распространения электромагнитных колебаний канала связи, анализ вида и параметров модуляции обнаруженного сигнала, детектирование модуляционного параметра и т. д.

Допустим, что обрабатываемый сигнал представляет собой модулированное гармоническое колебание с переменной фазой и амплитудой. Такое определение сигнала является достаточно общим и может быть использовано для описания сигнала с практически любым видом модуляции. Математически в каждый конкретный момент времени такой сигнал может быть записан с помощью следующего выражения

s(nT) = A(nT)cos(p(nT)), (1.1)

где s(nT), A(nT), р(nТ) сигнал, амплитуда и фаза в моменты времени пТ,

Т— период дискретизации,

п = 1,., N.

Процесс изменения амплитуды сигнала во времени принято определять через понятие «огибающая сигнала». Математически огибающая сигнала представляет собой функцию, позволяющую описывать сигнал в виде (1.1), причем так, что в те моменты времени, когда она совпадает с сигналом, они одновременно имеют и равные производные.

Фазу сигнала обычно выражают в угловой мере. Она определяется как функция, непрерывно прирастающая на величину, равную π, в интервале между двумя соседними точками перехода сигнала через 0. Другими словами, фаза отражает закон следования по времени точек, в которых колебание меняет знак.

Величину, равную производной мгновенной фазы по времени, называют мгновенной частотой сигнала. В дискретном виде мгновенная частота определяется как

Закон изменения фазы любого сигнала в общем случае может быть представлен в виде суммы трех компонентов

где f₀ — центральная частота сигнала, параметры f(nT) и р₀(nТ) отражают законы изменения мгновенной частоты и мгновенной начальной фазы сигнала в зависимости от применяемого вида модуляции.

Вернемся к выражению (1.1). Из него видно, что в обшем случае по одной только функции s(nT) без наличия каких-либо дополнительных условий невозможно определить две неизвестные функции а(пТ) и р(пТ). Вместе с тем, мы уже ввели ограничения на поведение функций огибающей и фазы сигнала. Кроме того, в случае, когда спектр сигнала имеет симметричную форму, например, при амплитудной модуляции, центральная частота сигнала становится просто очевидной. Она равна средней частоте спектра. Похожий случай имеет место для узкополосных сигналов, у которых ширина спектра значительно уже значения его средней частоты. Эта частота также может быть принята в качестве центральной частоты сигнала.

Известно [25], что в случае обработки гармонического сигнала, в предположении, что на интервале {nT - T, nT + Т} сигнал является синусоидальным с неизменными параметрами, мгновенные значения а(пТ) и f(пT) могут быть найдены путем измерения значений сигнала в точках пТ — Т, пТ, пТ + Т и решения системы тригонометрических уравнений. В этом случае

Пусть анализируемый сигнал является узкополосным с известной центральной частотой f₀. Такой сигнал может быть, например, получен на выходе промежуточной частоты радиоприемного устройства. В предположении, что значения его мгновенной амплитуды в трех соседних точках приблизительно равны, после ряда тригонометрических преобразований можно получить следующее выражение для вычисления мгновенной амплитуды

.

Очевидно, что приведенные выражения для получения оценок мгновенной частоты и амплитуды могут быть использованы при достаточно высоком соотношении сигнал/шум. В противном случае будет нарушена корректность их вывода, полученного на допущении о постоянстве оцениваемых параметров в соседних точках гармонического сигнала. Работа указанных и еще ряда подобных алгоритмов амплитудного детектирования при наличии шума исследована в [26].

Известно [27], что математически строгое определение мгновенных амплитуды, частоты и фазы без каких-либо оговорок может быть получено, если принять, что искомые параметры — это параметры следующего сигнала

Здесь s(nT) является исходным сигналом, ŝ (nT) — результат преобразования Гильберта от s(nT). Часто s(nT) и ŝ (nT) называют соответственно синфазной и квадратурной составляющими сигнала.

Сигнал х(пТ) может быть представлен в показательной форме

В этом случае мгновенные значения амплитуды, фазы и частоты сигнала вычисляются по следующим формулам

Для непрерывных сигналов преобразование Гильберта можно представить в виде следующих интегральных преобразований [27]

Эквивалентной формой записи прямого и обратного преобразования Гильберта является

Преобразованию Гильберта можно дать следующую интерпретацию. Если s(t) — некоторый входной сигнал, тогда ŝ (t) можно трактовать как сигнал на выходе линейной системы, имеющей импульсную характеристику h(t) = l/π t, -∞ < t < ∞. Такой импульсной характеристике соответствует комплексная частотная характеристика

Следовательно, амплитудно-частотная характеристика линейной системы всюду постоянна , а фазочастотная равна - /2 при > 0 и /2 при < 0. Иначе говоря, данную систему можно назвать идеальным фазовращателем на - /2. Легко убедиться, что если входным сигналом является cos( t), со > 0, то выходной сигнал будет sin( t) = cos( t - /2).

Преобразование Гильберта применимо как к детерминированым сигналам, так и к случайным процессам.

На практике вычисление квадратурных составляющих может быть осуществлено с использованием и других методов, отличных от преобразования Гильберта, например, на основе переноса спектра сигнала на нулевую частоту. Однако такой метод требует точного знания центральной частоты принимаемого сигнала, что для некоторых практически важных условий обработки не всегда выполнимо. Неточность определения частотных параметров сигнала в условиях низкого отношения сигнал/помеха приводит к существенному снижению помехоустойчивости данной схемы.

Существуют различные методы реализации дискретного преобразования Гильберта.

1. Метод на основе использования цифрового нерекурсивного фильтра. Недостатком метода является достаточно высокий требуемый порядок фильтра для достижения необходимой точности преобразования — практически порядок не ниже 30.50 [28].

2. Метод на основе использования цифрового рекурсивного фильтра. Существенным недостатком данного метода является нелинейность ФЧХ реализуемого преобразователя, требующая дополнительных мер коррекции, зависящих от конкретного вида принимаемого сигнала.

3. Ряд методов на основе использования разложения сигнала в ряд Котельникова. В этом случае

где R(m) = 0, 42 + 0, 5cos( m/N) + 0, 08cos(2 m/N) — оконная функция Блекмана, N — порядок преобразования.

Для реализации практически приемлемой демодулирующей схемы на базе методов разложения сигнала в ряд Котельникова также требуется, как указывалось в [29], не менее 30.40 отсчетов входного сигнала для получения одного отсчета преобразования Гильберта.

Перечисленные методы достаточно полно рассмотрены в [28, 29, 30, 31].

Рассмотрим метод реализации дискретного преобразования Гильберта на базе нерекурсивной схемы, основанной на аппроксимации интеграла суммой, реализующей численное интегрирование по методу Симпсона. В соответствии с [32]

где h = (b – a)/2N, x_i = a + ih, i = 0,., 2N, y_i = f(x_i).

Применительно к преобразованию Гильберта получим

(1.2)

где N — порядок преобразования,

Т — период дискретизации,

S₀ - некоторая оценка подынтегральной функции в точке 0.

Рассмотрим результат дискретного преобразования Гильберта для гармонического колебания

s(nt) = а * cos(2 fT + )

где a, f, - соответственно амплитуда, частота и начальная фаза. Для упрощения выкладок выполним преобразование

С учетом полученного выражения, результат преобразования Гильберта можно представить в виде

Вычислим Вычислим

. После несложных преобразований получим

Таким образом, для косинусоидального колебания

Нетрудно видеть, что для синусоидального колебания

Однако на практике точный вид функции s(nT), как правило, неизвестен.

По этой причине выбор величины S₀ в выражении (1.2) должен осуществляется

по другим правилам. Например, если функция s(nT) медленно меняется на интервале периода дискретизации, s₀ может быть определена следующим образом

В этом случае платой за незнание вида функции s(nT) является погрешность вычислений. Так, для гармонического колебания

следовательно

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: