Математическая обработка результатов прямых

Равноточных измерений

Арифметическая средина результатов равноточных измерений. Пусть имеем результаты многократных равноточных измерений одной величины: l₁, l₂, …, l_n. Рассмотрим их среднее арифметическое

l_i= Х + Δ _i (i = 1, 2, … n)

Поэтому напишем

= X -

Согласно с увеличением числа измерений сумма случайных погрешностей, деленная на их число, стремится к нулю, и, следовательно, среднее арифметическое L стремится к истинному значению Х. Поэтому значение определяемой величины принимают равным среднему арифметическому.

Средняя квадратическая погрешность арифметической средины. Пусть точность результатов измерений l₁, l₂, …, l_n характеризуется средними квадратическими погрешностями

m₁ = m₂ = ¼ = m_n = m

и требуется найти среднюю квадратическую погрешность M арифметической средины.

Представим формулу (5.7) в следующем виде:

L = .

Среднюю квадратическую погрешность арифметической средины найдем как погрешность функции измеренных величин по формуле (5.6)

 

или

Формула (5.8) показывает, что погрешность арифметической средины с ростом числа измерений убывает пропорционально квадратному корню из этого числа. Так, чтобы погрешность среднего арифметического уменьшить в 2 раза, число измерений надо увеличить в 4 раза.

Обработка результатов равноточных измерений. Математическая обработка ряда результатов l₁, l₂, …, l_n прямых равноточных измерений одной величины выполняется в следующей последовательности:

1. Вычисляют среднее арифметическое L

.

2. Вычисляют поправки к v_i результатам измерений

(i = 1, 2, …, n)

Контролем правильности вычислений служит сумма поправок, которая должна быть близка к нулю.

3. Вычисляют среднюю квадратическую погрешность одного измерения по формуле Бесселя:

.

Значение m вычисляют с двумя-тремя значащими цифрами.

4. Вычисляют среднюю квадратическую погрешность среднего арифметического

.

Математическая обработка результатов прямых

Неравноточных измерений

Веса измерений. Неравноточными называют измерения, выполненные приборами различной точности, разным числом приемов, в различных условиях.

При неравноточных измерениях точность каждого результата измерений характеризуется своей среднеквадратической погрешностью. Наряду со средней квадратической погрешностью при обработке неравноточных измерений пользуются относительной характеристикой точности – весом измерения. Вес i-го измерения вычисляют по формуле

где с – произвольная постоянная, назначаемая вычислителем, m_i – средняя квадратическая погрешность i-го измерения.

Так, имея ряд результатов измерений l₁, l₂, ..., l_n, со средними квадратическими погрешностями m₁ , m₂, ..., m_n, определяют их веса:

p₁ = c / m₁², p₂ = c / m₂² , ..., p_n = c / m_n².

Часто постоянную с для удобства дальнейших вычислений назначают так, чтобы веса p_i оказались целыми числами.

Рассмотрим смысл произвольной постоянной с. Предположим, что в результате фиксирования значения с вес j-го измерения стал равен 1, то есть p_j = c / m_j² = 1. Отсюда находим c = m_j². Следовательно, постоянная с есть квадрат средней квадратической погрешности m² такого измерения, вес которого принят за единицу (с = m²).

Теперь

.

Кратко m называют средней квадратической погрешностью единицы веса.

Вес арифметической средины.

Рассмотрим вес арифметической средины равноточных измерений. Примем в формуле за единицу вес одного измерения, то есть m = m, и запишем .

Тогда согласно вес Р арифметической средины L будет равен

P = = n.

Вывод.

Если за единицу веса принят вес одного измерения, то вес арифметической средины равен числу измерений.

Следствие.

Если результат l измерения имеет вес р, то можем считать, что l является средним арифметическим из р измерений с весом 1.

Общая арифметическая средина результатов неравноточных измерений. Пусть имеем результаты многократных неравноточных измерений одной величины: l₁, l₂, …, l_n, выполненных с весами p₁, p₂, …, p_n.

Представим каждый из результатов l_i (i = 1, 2, …, n) как среднее из p_i результатов с весом 1. Получим такой ряд результатов равноточных измерений:

l₁ - результат p₁ измерений с весом 1,

l₂ - результат p₂ измерений с весом 1,

¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼

l_n - результат p_n измерений с весом 1,

где общее число измерений с весом 1 равно p₁ + p₂ +¼ + p_n.

Нами составлен ряд результатов равноточных измерений, позволяющий найти окончательное значение измеряемой величины как среднее арифметическое из всех результатов измерений

.

Значение, вычисляемое по формуле, называют общей арифметической срединой или весовым средним.

Оценки точности результатов неравноточных измерений. Приведем без вывода формулы характеристик точности, используемых при обработке прямых неравноточных измерений.

Средняя квадратическая погрешность m измерения, имеющего вес, равный единице:

- формула Гаусса: .

Формула применяется, когда известно достаточно точное, близкое к истинному, значение X измеряемой величины.

- формула Бесселя: ,

где v_i - поправки к результатам измерений:

.

Средняя квадратическая погрешность общей арифметической средины

Обработка результатов неравноточных измерений. Математическая обработка ряда результатов прямых неравноточных измерений одной величины выполняется в следующей последовательности.

1. Вычисление весового среднего (общей арифметической средины)

.

2. Вычисление поправок к результатам измерений:

(i = 1, 2, …, n).

Контролем правильности вычислений служит равенство

3. Вычисление средней квадратической погрешности одного измерения по уклонениям от арифметической средины, используя формулу Бесселя для неравноточных измерений:

.

4. Вычисление средней квадратической погрешности среднего весового

.

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться: