МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ОБЪЕКТИВНЫХ МОДЕЛЕЙ

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ОБЪЕКТИВНЫХ МОДЕЛЕЙ

Модели

Физик, описывающий уравнениями состояние газа в закрытой камере, создает математическую модель процесса. Экономист, отвечающий за переводку товаров от заводов - изготовителей к магазинам, также разрабатывает модель: он берет данные о производительности заводов, о потребностях магазинов, о стоимости перевозок и составляет уравнения и неравенства. Решая эти задачи, экономист формирует наилучший план перевозок.

Люди разрабатывают модель определенного объекта, стремясь представить в виде описания копию реального мира. Целями создания модели являются обычно: использование ее в решении задач, которые трудно решать на реальном объекте; лучшее понимание объекта; построение идеального объекта путем внесения изменений в модель. Естественным требованием к модели является ее идентичность с объектом. Изучение внешнего мира сопровождается созданием моделей. Совершенствование искусственных систем предполагает применение их моделей. В обоих случаях роль моделей чрезвычайно велика.

Необходимо подчеркнуть отличие модели, которую строит экономист, от физических моделей. Модель экономиста описывает процессы, в которых важную роль играют люди: рабочие на заводах, продавцы в магазинах, водители грузовиков. Совершаемые ими действия и их результаты находят отражения в модели. В жизни человеческое поведение в значительной степени непредсказуемо и сложно для моделирования. Однако предполагают, что люди лишь выполняют действия, предписанные им производственной системой. Иначе говоря, люди ни имеют свободы поведения - такое предположение делается при построении многих моделей организаций и производственных систем.

 

Подход исследования операций

Модели, описывающие поведение людей, активно применяют в исследовании операций. Исследование операций - сложившаяся научная дисциплина, хорошо известная в современном мире.

 

Под исследованием операций понимают применение математических методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.

 

Основные этапы решения задачи в исследовании операций:

1. построение модели;
2. выбор критерия оптимальности;
3. нахождение оптимального решения.

 

Особенности подхода исследования операций:

1. Применяемые модели носят объективный характер. Построение моделей рассматривается в рамках исследования операций как средство отражения объективно существующей реальности. Когда модель, правильно отражающая действительность, найдена, критерий оптимальности установлен, оптимальное решение может быть получено единственно возможным образом. Другими словами, опираясь на одни и те же данные, различные специалисты - аналитики должны получать одинаковые результаты. Это требование определяет, что деятельность людей, описываемая моделью, подчинена требованиям целесообразности.

2. Руководитель получает научно обоснованное решение. По заказу руководителя аналитик исследует организацию, внешнюю среду и пытается построить адекватную модель. В этой работе сам ЛПР чаще всего не нужен. В большинстве случаев применения методов исследования операций, группа аналитиков самостоятельно находит удачное решение. Иногда руководитель дает дополнительную информацию. Но его роль при этом не отличается от роли любого сотрудника организации. Можно сказать, что руководитель дает заказ и получает готовое решение. Все остальное делают аналитик и специалисты по исследованию операций.

Заказ руководителя может быть сформулирован в следующем виде: найти наилучшее, единственно верное и научно обоснованное решение. Давая такой заказ, руководитель находится в достаточно удобном положении: он полагается на силу научного подхода.

1. Существует объективный критерий успехов в применении методов исследования операций. Если проблема, требующая решения, ясна и критерии определены, то аналитический метод сразу показывает, насколько новое решение лучше старого. Оптимальное решение проблем бессмысленно оспаривать.

 

Две классические задачи исследования операций.

Первая - обобщенная транспортная задача. Имеется большая авиакомпания, перевозящая пассажиров по различным маршрутам. Руководство компании определяет, какие самолеты (по вместительности) и сколько самолетов должны обслуживать различные маршруты. Считается, что известны потоки пассажиров между разными городами и общее число имеющихся самолетов различного типа. Требуется распределить самолеты по маршрутам так, чтобы минимизировать расхода на их обслуживание.

Вторая - задача о назначениях. Необходимо распределить заданное число работ среди исполнителей так, чтобы каждый исполнитель выполнял одну работу. Стоимость выполнения каждой из работ каждым исполнителем известна. Нужно распределить работы так, чтобы суммарная стоимость их выполнения была минимальной.

Словесному описанию этих задач соответствует четкое математическое описание, представляющее собой математическую модель.

 

Многокритериальность

В процессе применения методов исследования операций аналитики сталкиваются с задачами, где имеется не один, а несколько критериев оценки качества решения.

Например, в обобщенной транспортной задаче добавим к критерию минимальных расходов на обслуживание самолетов дополнительные критерии максимума прибыли и максимума комфорта для пассажиров. Если есть три критерия, то необходимо согласовать их. Какое соотношение между оценками по критериям является наилучшим? Ответ на этот вопрос в виде дополнительной информации дает руководитель авиакомпании.

В задаче о назначениях часто работы неодинаковы по сложности и важности, а исполнители различаются по качеству выполняемой работы. Иными словами, к критерию минимальной стоимости необходимо добавить критерий качественного выполнения наиболее важных работ. Если есть уже два критерия, по которым следует оценивать качество распределения исполнителей по работам, то необходимо как-то согласовать их. Какое отклонение от минимума стоимости оправдывает высококачественное выполнение сложных работ? Ответ на этот вопрос не может быть получен объективным образом. Информация о компромиссе может быть дана людьми, принимающими решения, на основе их опыта и интуиции.

Эти и многие им подобные задачи имеют следующую характерную особенность: модель, описывающая множество допустимых решений, объективна, но качество решения оценивается по многим критериям. Для выбора наилучшего варианта решения необходим компромисс между оценками по различным критериям. В условиях задачи отсутствует информация, позволяющая найти такой компромисс. Следовательно, компромисс не может быть определен на основе объективных расчетов.

Анализ многих практических проблем, с которыми сталкивались специалисты по исследованию операций, естественным образом привел к появлению класса многокритериальных задач.

 

Особенности многокритериальных задач выбора наилучшего решения.

Ø Задача имеет уникальный, новый характер - нет статистических данных, позволяющих обосновать соотношения между различными критериями.

Ø На момент принятия решения отсутствует информация для объективной оценки возможные последствия выбора, того или иного варианта решения. Окончательное решение формируют на основе опыта и интуиции экспертов.

 

Разные типы проблем.

Подходы к принятию решений и исследованию операций существенно различаются, поскольку они направлены на принципиально разные проблемы принятия решений. Саймон и Ньюэлла выделяют хорошо и слабо структурированные проблемы.

Хорошо структурированные, или количественно сформулированные проблемы – содержат существенные зависимости, выявленные настолько хорошо, что могут быть выражены в числах или символах в виде числовых оценок.

Слабоструктурированные, или смешанные проблемы - содержат как количественные, так и качественные элементы, причем качественные, малоизвестные и неопределенные стороны проблем имеют тенденцию доминировать.

Типичные проблемы исследования операций хорошо структурированы. В задачах исследования операций объективно существует строгое количественное описание проблемы и единственный очевидный критерий качества. Изучение реальной ситуации может требовать большого труда и времени. Необходимая информация может быть дорогостоящей. Однако при наличии средств и хорошей квалификации аналитиков имеются все возможности найти адекватное количественное описание проблемы, количественные связи между переменными и критерий качества.

Напротив, в многокритериальных задачах проблемы являются слабоструктурированными. Информация, необходимая для формирования полного и однозначного решения, частично отсутствует. Исследователь часто может определить основные переменные, установить связи между ними, т.е. построить адекватную модель ситуации. Но зависимости между критериями принципиально не могут быть определены на основе объективной информации на момент принятия решения.

Более того, существуют проблемы, в которых известен только перечень основных параметров, но количественные связи между ними установить не удается поскольку отсутствует необходимая информация. В таких случаях проблему определяют как неструктурированную . Типичными неструктурированными проблемами являются проблема выбора профессии, проблема выбора места работы и т.п.

Два пространства

Появление многокритериальности привело к принципиальному изменению характера решаемой задачи. Предпочтения ЛПР стали основой выработки решений. Они во многом определяют результат решения. Из наблюдателя и заказчика ЛПР превратился в «решателя» задачи. Решение теперь можно назвать субъективным, хотя в процессе решения используются объективные модели.

Характерной особенностью многокритериальных задач с объективными моделями является одновременное рассмотрение двух пространств - пространства переменных, используемых при построении модели, и пространства критериев.

Пример: построим простую модель с двумя параметрами и двумя критериями. Из множества переменных, описывающих экономическую систему современного государства, выберем два: x1 — увеличение объема денежной массы; x2 - увеличение количества рабочих мест.

Рисунок 16. Связь количества рабочих мест с увеличением денежной массы.

 

Предположим, что определенное количество рабочих мест может быть создано без увеличения объема денежной массы, но дальнейшее их увеличение пропорционально объему денежной массы. Заштрихованная область D на рисунке 16 может быть названа областью допустимых значении параметров (x1, и x2 изменяются от 0 до 1). Введем два критерия: С1 - уменьшение безработицы (в %); С2 увеличение ВНП (в %).

При большом числе переменных и одном критерии решение может быть найдено при помощи стандартных программ линейного программирования.

Пусть критерии связаны с переменными следующими зависимостями:

Эти зависимости позволяют построить допустимую область изменения значений критериев S (рисунок 17) при изменении переменных.

Рисунок. 17. Область S допустимых значений критериев.

 

Область S зависит от уравнений связи между переменными и критериями. В реальных задачах количество переменных велико - до десятков тысяч, а число критериев невелико - обычно не более 10. ЛПР работает с критериями, определяя свои требования к качеству решения и анализируя область S. Важно отметим, что область S появляется только в многокритериальных задачах.

 

Две трудности для ЛПР

Приведенный выше пример позволяет объяснить, почему многокритериальные задачи с объективными моделями сложны для ЛПР. Чтобы принять решение, необходимо установить, насколько хорошие значения по критериям достижимы одновременно. Сделать это не просто. В отличие от иллюстративного примера на рисунке 16, количество переменных, описывающих область S допустимых значений, равно сотням и тысячам. Получая каким-то из способов решение задачи, ЛПР видит соотношения между критериями.

Для поведения ЛПР типичны попытки достичь всего сразу, т.е. получить наилучшие значения по всем критериям одновременно. Результаты таких попыток позволяют понять, чего можно достичь и чего нельзя. Наряду с этим ЛПР вырабатывает компромисс между оценками по критериям, определяя желательное для него соотношение между ними в точке решения. Выработка такого компромисса достигается также путем проб, ошибок и затрат времени. На первых этапах, решения ЛПР обычно стремится к идеальному результату, но потом, с опытом, его притязании становятся более реалистичными.

 

Человеко-машинные процедуры

Человеко-машинные процедуры (ЧМП) - процедуры общения ЛПР с компьютером. Включает в себя этап расчетов, выполняемых на компьютере и этап анализа, выполняемого ЛПР.

На этапе расчетов с помощью компьютера:

Ø выполняют текущие расчеты, используя полученную от ЛПР информацию;

Ø получают различные решения, соответствующие последней информации от ЛПР;

Ø формируют вспомогательную информацию для ЛПР.

На этапе анализа ЛПР:

Ø оценивает полученное текущее решение (или совокупность решений);

Ø определяет, является ли решение (одно из решений) приемлемым;

Ø если да, то ЧМП заканчивается;

Ø в противном случае ЛПР анализирует вспомогательную информацию;

Ø сообщает дополнительную информацию, с помощью которой компьютер вычисляет новое решение.

 

Существует большое количество ЧМП. Различные ЧМП отличаются друг от друга содержанием и способом выполнения каждого из этапов. Первые из разработанных ЧМП основаны на применении информации об относительной важности критериев.

 

Классификация ЧМП

Известна классификация ЧМП, основанная на характере информации, получаемой от ЛПР на этапе анализа.

1. Прямые ЧМП - ЛПР непосредственно назначает веса критериев и корректирует их на основе полученных решений.

2. ЧМПоценки векторов - ЛПР сравнивает многокритериальные решения.

3. ЧМП поиска удовлетворительных решений - ЛПР выбирает ограничения на значения критериев и, следовательно, на область допустимых значений.

 

Проанализируем общие этапы предварительной обработки данных, встречающиеся вомногих ЧМП. Перед решением задачи рекомендуется нормировать критерии, преобразовав их к стандартному диапазону изменения от 0 до 1.

где , - минимальное и максимальное значения k- го критерия; - текущее значение. Кроме того, как это было показано выше в примере раздела 7, для каждого из критериев вычисляется оптимальное абсолютное значение. Вектор таких совместно недостижимых значений помогает ЛПР оценить пределы фактически возможных величин.

 

Процедуры оценки векторов

В основе этих процедур лежит предположение, что ЛПР может непосредственно сравнивать решения, предъявляемые ему в виде векторов в пространстве критериев, и последовательно искать в этом пространстве наилучший вектор.

Процедура Дайера-Джиофриона (Д - Д) ЧМП оценки векторов начинается с выбора начальной точки в пространстве критериев (рис. 13).

Рисунок 13. Поиск решения в пространстве критериев.

 

В этой точке ЛПР определяет градиент глобальной целевой функции. Один из критериев считается опорным. Берется небольшое изменение для значения этого критерия (в сторону улучшения) от начального. Перед ЛПР ставятся вопросы типа: какое изменение по иному критерию эквивалентно заданному изменению опорного критерия? Ответы ЛПР определяют вектор (направление), вдоль которого изменение глобального критерия будет наиболее эффективным. Вдоль этого направления реализуют шаг определенной величины, и получают новые значения по всем частным критериям. ЛПР сравнивает полученный вектор (совокупность новых решений) с первоначальным решением (соответствующим начальной точке). Далее перед ЛПР ставится вопрос: какое из решений лучше? Если новое решение лучше, то делается еще шаг вдоль этого же направления и вычисляется решение . Далее и предъявляют ЛПР. Если лучше, то делается еще шаг в прежнем направлении и т.д. Если хуже, чем , то в точке определяют новый градиент (направление) изменения глобальной целевой функции (см. рисунок 13) и т.д. Процедура заканчивается, если ЛПР признает очередное решение вполне для него удовлетворительным.

В отличие от прямых методов в ЧМП Д - Д реализован систематический поиск, помогающий ЛПР выбрать наилучшее решение. Недостатком ЧМП оценки векторов является предположение, что ЛПР может безошибочно определять градиент целевой функции. Отмечалось, что, работая с малыми приращениями критериев, ЛПР будет накапливать ошибки.

 

Пример применения процедуры «STEM» для управления персоналом

Французской консультативной фирмой SEMA предложена методика анализа изменения состава персонала и продуктивности работы организации. Модель применялась для прогнозирования последствий различных вариантов управления кадрами организации. Тестировались разные стратегии приема на работу и повышения в должности через два, три и четыре года.

В качестве переменных модели рассматривалось количество сотрудников, назначенных на различные должности в определенные периоды времени. Применялись четыре критерия в виде линейные функции от переменных:

1. общая укомплектованность кадров - SA;

2. фактическая эффективность работы кадров - EF;

3. стоимость приема на работу дополнительных сотрудников - EB;

4. стоимость нехватки кадров по отношению к прогнозируемым потребностям - EC.

Модель учитывала следующие закономерности:

Ø эффективность работы сотрудника линейно зависит от отношения оценки его возможностей Q к оценке требований t, определяемых должностью сотрудника;

Ø удовлетворение сотрудника во время пребывания на определенной должности сначала возрастает до максимального значения, а затем со временем уменьшается до первоначального значения также в зависимости от отношения Q к t.

С математической точки зрения проблеме представляли собой задачу линейного программирования с четырьмя критериями качества, 350 переменными и 200 ограничениями. Отсутствовала априорная информация о сравнительной важности критериев.

Решение формировалось методом «STEM». На первом этапе анализа в области допустимых значений выполняли оптимизацию по каждому из критериев в отдельности. На втором этапе выполняли преобразование значений критериев к относительным величинам из интервала (0, 1). Результаты вычислений представлены в таблице 5.

Из рассмотрения таблицы следуют следующие выводы:

Ø имеет место сильная зависимость критериев SA и EF;

Ø критериев EB и EC противоречат друг другу;

Ø критерии SA и EF противоречат критериям EB и EC.

Таблица 5.

Результаты поочередной оптимизации критериев

Критерий	SA	EF	EB	EC
SA		0, 875	0, 275	0, 83
EF	0, 86		0, 09	0, 765
EB	0, 131	0, 149		0, 4
EC	0, 442	0, 45	0, 733

 

На третьем этапе по данным таблицы 5 вычисляли начальные индексы (технические веса) критериев. Пусть - среднее значение всех элементов по i- му столбцу (кроме единицы). Индексы критериев находили из условия

, .

что позволило получить оценки технических весов

Критерий	SA	EF	EB	EC
	0, 261	0, 254	0, 317	0, 168

и, в свою очередь, найти в области допустимых решений вершину с наилучшими значениями по всем критериям.

На четвертом этапе выполнялась глобальная оптимизация по комплексному критерию вида (3), что позволило получить следующий результат:

SA = 0, 965; EF = 0, 85; EB = 0, 45; EC = 0, 675.

 

Для диалога с ЛПР предъявлялись:

Ø вектор максимальных значений, достигаемых при максимизации по каждому из критериев по отдельности. Критерии EB и EC были представлены в единицах стоимости;

Ø вектор значений критериев, достигаемых в результате оптимизации по комплексному критерию (3) с приведенными выше индексами.

Перед ЛПР был поставлен вопрос: все ли компоненты вектора имеют удовлетворительные значения? При ответе на этот вопрос использовался вектор , компоненты которого представляли собой максимально возможные (недостижимые одновременно) значения компонентов вектора . Руководитель определил значение по критерию EB как наименее удовлетворительное и назначил нижний уровень по критерию EB = -1000.

Далее были найдены максимально возможные значения трех остальных критериев при ограничениях, дополнительно накладываемых на критерий EB:

 

Критерий	EB > -750	EB > -1000	EB > -1250	EB > -1500
SA	0, 67	0, 78	0, 84	0, 9
EF	0, 62	0, 72	0, 82	0, 88
EC	-731	-157	-57	-157

 

В результате анализа этой таблицы руководитель выбрал вектор решений для ограничения ЕВ > -1500 как обеспечивающий приемлемый компромисс между повышением качества по критерию ЕВ и понижением качества по критериям SA и EF.

Для новой области допустимых решений (ЕВ > -1500) приведенным выше способом были подсчитаны новые значения индексов для трех критериев:

 

Критерий	SA	EF	EC
	0, 885	0, 775	0, 91

 

На второй итерации уточнения решения в результате диалога с ЛПР проводилась глобальная оптимизация по комплексному критерию с индексами. Полученные решения

и ,

достигаемых в новой области допустимых значений переменных, было предъявлено ЛПР во время третьего диалога ним. Руководитель определил значение по критерию ЕС как наименее удовлетворительное и назначил нижний уровень по критерию ЕС = -600. Затем были определены максимально возможные значения двух критериев при ряде ограничений, накладываемых на критерий ЕС:

 

Критерий	EC > -800	EC > -600	EC > -400
SA	0, 85	0, 8	0, 73
EF	0, 8	0, 75	0, 68

 

Руководитель выбрал вектор решений для ограничения EC > -800 как обеспечивающий приемлемый компромисс между повышением качества по критерию ЕС и понижением качества по критериям SA и EF. Учитывая наличие сильной зависимости критериям SA и EF, он выбрал решение, соответствующее максимуму EF, как окончательное решение проблемы:

SA = 0, 76; EF = 0, 8; EB = -1500; EC = 55 - 800.

Блок-схема метода «STEM» приведена на рисунке 20.

Рисунок 20. Блок схема метода «STEM».

Выводы

1. Предшественниками методов принятия решений во многих случаях являются методы исследования операций. С помощью этих методов:

а) разрабатывают модели, описывающие объективную реальность;

б) определяют единственный критерий оптимальности решения;

в) рассчитывают оптимальное решение.

2. Существенное отличие проблем принятия решений от проблем исследования операций состоит в наличии многих критериев оценки качества решения Компромисс между критериями может быть найден только на основе предпочтений ЛПР.

3. Существует особый класс задач принятия решений, в которых модели имеют объективный характер (как в задачах исследования операций), но качество решений оценивается по многим критериям.

Эти задачи называют многокритериальными задачами с объективными моделями. Они находятся на границе между исследованием операций и принятием решений. Одним из первых многокритериальных методов является метод стоимость – эффективность. Он включает в себя два этапа.

1. построение моделей стоимости и эффективности;

2. синтез оценок стоимости и эффективности.

На втором этапе применяют подходы:

• оптимизации по одному критерию при заданном ограничении по второму;

• построение множества Э – П.

4. Средством решения многокритериальных задач с объективными моделями являются человеко-машинные процедуры (ЧМП). ЧМП представляют собой циклический процесс взаимодействия ЛПР и компьютером. Каждый шаг ЧМП состоит из фазы анализа, выполняемого ЛПР и фазы расчетов, выполняемого компьютером.

5. Можно выделить три группы ЧМП:

1) прямые, основанные на выборе коэффициентов важности критериев;

2) ЧМП сравнения векторов;

3) ЧМП поиска удовлетворительных значений критериев.

Одной из первых ЧМП является STEM, основанная на идее последовательного наложения ограничений на критерии.

 

Контрольное задание

Дайте определения следующих ключевых понятий:

Исследование операций

Объективная модель

Критерий оптимальности

Роль ЛПР при подходе исследования операций

Метод «стоимость – эффективность»"

Синтез стоимости и эффективности

Хорошо и слабо структурированные проблемы

Пространство переменных и критериев

Человеко-машинные процедуры (ЧМП): фазы анализа и расчета

Трудности ЛПР в ЧМП

Прямые ЧМП

ЧМП оценки векторов

ЧМП оценки удовлетворительных решений

Процедура STEM

 

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ОБЪЕКТИВНЫХ МОДЕЛЕЙ

Модели

Физик, описывающий уравнениями состояние газа в закрытой камере, создает математическую модель процесса. Экономист, отвечающий за переводку товаров от заводов - изготовителей к магазинам, также разрабатывает модель: он берет данные о производительности заводов, о потребностях магазинов, о стоимости перевозок и составляет уравнения и неравенства. Решая эти задачи, экономист формирует наилучший план перевозок.

Люди разрабатывают модель определенного объекта, стремясь представить в виде описания копию реального мира. Целями создания модели являются обычно: использование ее в решении задач, которые трудно решать на реальном объекте; лучшее понимание объекта; построение идеального объекта путем внесения изменений в модель. Естественным требованием к модели является ее идентичность с объектом. Изучение внешнего мира сопровождается созданием моделей. Совершенствование искусственных систем предполагает применение их моделей. В обоих случаях роль моделей чрезвычайно велика.

Необходимо подчеркнуть отличие модели, которую строит экономист, от физических моделей. Модель экономиста описывает процессы, в которых важную роль играют люди: рабочие на заводах, продавцы в магазинах, водители грузовиков. Совершаемые ими действия и их результаты находят отражения в модели. В жизни человеческое поведение в значительной степени непредсказуемо и сложно для моделирования. Однако предполагают, что люди лишь выполняют действия, предписанные им производственной системой. Иначе говоря, люди ни имеют свободы поведения - такое предположение делается при построении многих моделей организаций и производственных систем.

 

1234Следующая ⇒

Поделиться: