периодического по времени сигнала

 

Если сигнал описывается периодической функцией времени , то его можно представить в частотной области в виде ряда Фурье, члены которого представляют собой сумму постоянной и гармонических составляющих: 1-ой, 2-ой, 3-ей и т. д.

где:

Гармоникой называется синусоидальная функция вида:

Здесь амплитуда -й гармоники; её круговая частота; начальная фаза, а k =1, 2, 3 и т. д. – номер гармоники.

Если то называют основной частотой или частотой первой гармоники; гармонику с номером k = 1 – основной или первой гармоникой, гармонику с номером k = 2 – второй гармоникой, с номером k = 3 – третьей гармоникой и т. д.

Гармоники с называют высшими гармониками. Гармоники с нечётными номерами 1, 3, 5, 7 – нечётными, Гармоники с чётными номерами 2, 4, 6, 8 –чётными гармониками.

Часто используется и другая форма записи ряда Фурье:

где:

– спектр амплитуд;

спектр фаз.

Последовательность операций по нахождению и называется гармоническим анализом.

Очень важным свойством ряда Фурье является то, что его первые 3…4 составляющие обеспечивают хорошее средне-квадратичное приближение функции . Среднюю мощность сигнала и её распределение по гармоникам при Ом можно определить по формуле:

Пример 1. Найти частотный спектр периодического импульсного сигнала , имеющего длительность и период (рис. 7.1).

Рис. 7.1 График функции при .

 

 

Для рассматриваемого примера

Из последнего соотношения видно, что при чётных значениях , поэтому все чётные гармоники будут равны нулю. При нечётных значениях .

График спектра амплитуд обычно строят в координатах . В этих координатах амплитуды нечётных гармоник имеют следующие числовые значения: . Спектр амплитуд приведен на рис. 7.2, а.

Средняя мощность сигнала по гармоникам:

То есть в диапазоне частот содержится 90%, а в диапазоне частот 95% мощности сигнала.

Как следует из уравнения для амплитуды - гармоники ( ), спектр сигнала зависит от длительности импульса . Изменение соотношения приводит к перераспределению мощностей по отдельным участкам спектра.

Пример 2.

Рассмотрим спектр периодического импульсного сигнала при уменьшении в 2 раза, по сравнению примером 1, длительности импульса и неизменном значении периода . При этом соотношение будет равно

Как следует из соотношений ( ) при коэффициенты ряда Фурье определяются соотношениями:

 

Рис. 7.2 Спектры амплитуд прямоугольных импульсов:

а) при ; б) при .

 

Частотный спектр сигнала, рассчитанный по этим соотношениям, приведён на рис 7.2, б. Как видно из сравнения рисунков, частотный спектр сигнала претерпел существенные изменения. 90% мощности сосредоточено в диапазоне частот , а 95% – в диапазоне частот Это говорит о том, что сигнал меньшей длительности занимает более широкий частотный спектр.

Практическую (т. е. эффективную) ширину спектра принято оценивать по уровню 90% мощности сигнала (диапазон ). Из рис. 7.2 следует:

Из этого соотношения видно, что спектр частот определяется главным образом длительностью прямоугольного импульса: эффективная ширина спектра увеличивается при уменьшении длительности импульса .

 

Частотный спектр непериодического сигнала

Частотный спектр непериодического сигнала можно получить из спектра соответствующего периодического сигнала, принимая период следования импульсов .

В этом случае разность частот между двумя соседними гармониками

,

То есть частотный спектр из линейчатого становится непрерывным (сплошным) (рис. 7.3).

Рис. 7.3 Частотный спектр одиночного импульса

 

Поскольку практическая ширина частотного спектра определяется длительностью импульса , то и в случае одиночного импульса можно говорить о практической ширине частотного спектра.

Если принять, что содержит 90% мощности сигнала, то получим:

Иногда это соотношение записывают так:

И называют соотношением неопределённостей.

Чем короче импульс (меньше ), тем более широкий спектр должен быть сохранён при передаче сигнала.

Удлинение импульса (длительности передачи) позволяет обойтись узкополосной линией связи.

 

⇐ Предыдущая12345

Поделиться: