Включение R,L на синусоидальное напряжение.

u = U_msin(ω t + ψ ),

то установившийся ток

i_у = U_m / Z sin(ω t + ψ - φ ),

где: – полное сопротивление цепи;
φ = arctg(ω L/R) - угол сдвига фаз между напряжением и током.

i

R

uc

Рис. 3.7

uR

C

С

R

Свободный ток определяется

i_св = A e^-t/τ .

Суммируя установившуюся и свободную составляющие, получим выражение для переходного тока:

i = i_у + i_св = U_m / Z sin(ω t + ψ - φ ) + A e^-t/τ .

Рис. 5.7

используя независимые начальные условия при t = 0

i(0_-) = i(0₊) = 0,

находим постоянную интегрирования:

A = -U_m / Z sin(ψ - φ ).

Тогда переходный ток:

.

Зависимости переходного тока от времени при различных значениях разностей ψ - φ показаны на рис. 5.7. Их анализ позволяет сделать следующие выводы.

Если в момент включения установившийся ток равен нулю (ψ - φ = 0 или ψ - φ = π ), то свободной составляющей тока не возникает и в цепи сразу возникает установившийся режим:

i = i_у = I_m sin(ω t) = U_m / Z sin(ω t).

Если в момент включения установившийся ток имеет наибольшее значение (ψ - φ = π / 2), свободный ток достигает максимального по модулю значения приблизительно через половину периода, однако ни при каких условиях он не может превышать удвоенной амплитуды установившегося тока (рис. 5.7 б).

R

С

U

i

uR

uc

рис.3.5

52.Переходные процессы при включении R, C на постоянное напряжение. Предположим, что в момент времени t=0 цепь, состоящая из сопротивления R и емкости С, включенных последовательно, включается на постоянное напряжение U (рис. 3.5). По второму закону Кирхгофа

u_R+u_c=U.

Так как , , уравнение будет иметь вид

.

Характеристическое уравнение:

RCp+1=0

имеет один корень . Тогда, на основании (3.4), можно записать выражение для свободного напряжения на емкости ,

где τ =RC – постоянная времени.

Емкость не проводит постоянный ток, поэтому в установившемся режиме i_cус(t)=0 u_cус(t)=U. Тогда, согласно (3.4), . (3.9)Постоянная интегрирования А находится из начальных условий (второй закон коммутации). До момента включения конденсатор был не заряжен, поэтому при t=0 u_c=0 из (3.9) при нулевых начальных условиях следует0=U+A, откуда A= -U.Следовательно, . (3.10)

Ток в цепи во время переходного процесса . (3.11)

Рис. 3.6

i

U/R

0, 37U/R

τ

t

0, 63U

τ

uc

t

U

Графики изменения напряжения и тока при включении R, C цепи на постоянное напряжение показаны на рис. 3.6.

53.переходные процессы при разрядке через сопротивление заряженного конденсатора. Пусть емкость, заряженная до напряжения U, в момент t=0 подключается к сопротивлению R (рис. 3.7). Переходный процесс описывается дифференциальным уравнением .

Установившееся напряжение на емкости u_cу(t)=0. Поэтому, согласно (3.4),

 

. (3.12)

Постоянная А находится из второго закона коммутации (3.2). Тогда при t=0 из (3.12) следует U=A. , (3.13)

а переходный ток в цепи

.. (3.14)

0, 37U/R

0, 37U

u

U

τ

t

–U/R

Рис. 3.8

Кривые изменения напряжения и тока при разряде емкости показаны на рис. 3.8.

55.Переходные процессы при включении цепи R, L, C на постоянное напряжение(колебательные процесс)Случай 1. , т.е. (колебательный процесс).

Корни характеристического уравнения комплексные и сопряженные: и ,

t

i

Рис.3.11

t

U

или , , (3.25)

где . (3.26)

Подставляем (3.25) в (3.23) и (3.24). Произведя преобразования, получим , (3.27) , (3.28)

где ; – волновое сопротивление цепи.

Выражения (3.27) и (3.28) описывают затухающие колебания с угловой частотой и коэффициентом затухания . При > > выражения(3.27) и (3.28) упрощаются: , (3.29) . (3.30)Кривые и i(t) для случая > > приведены на рис.3.10. При этом наибольший переходный ток в цепи , а наибольшее переходное напряжение на емкости . Длительность переходного процесса определяется коэффициентом затухания .Быстрота затухания колебаний тока определяется его декрементом затухания – отношением двух амплитуд, отличающихся на период, т.е.,

где является периодом затухающих колебаний.

i

t

T

uc

U

t

Рис.3.10

Натуральный логарифм декремента затухания называется логарифмическим декрементом затухания.

56.Переходные процессы при включении цепи R, L, C на постоянное напряжение(апериодический процесс и критический случай). Случай 2. , т.е. (апериодический процесс). Согласно (3.18) корни характеристического уравнения p₁ и p₂ являются вещественными, но различными по значению.

Выражение (3.24) для переходного тока в этом случае может быть преобразовано в гиперболическую форму: .

На рис. 3.11 показаны зависимости и при апериодическом процессе. Длительность переходного процесса в этом случае определяется наименьшим корнем характеристического уравнения. Случай 3. , т.е. (критический случай). Согласно (3.18) корни характеристического уравнения одинаковы: Выражения (3.23) и (3.24) для переходного напряжения на емкости и переменного тока в цепи могут быть приведены к виду , .Кривые тока i(t) и напряжение аналогичны кривым, приведенным на рис. 3.11.

⇐ Предыдущая12345

Поделиться: