Работа 1. Измерение плотности твёрдого тела

П.В. Потапков, А.Г. Рипп

Цель работы

Работы лабораторного практикума по физике делятся на три типа: исследовательские, измерительные и комплексные. Предлагаемая работа – измерительная. Она в практикуме – первая и выполняет роль введения. Поэтому её назначение – не столько изучение физики, сколько освоение типичных приёмов техники проведения экспериментов: проведение прямых и косвенных измерений, оценка погрешностей измерений, оформление отчёта о проведённом эксперименте.

Более конкретно, у данной лабораторной работы две цели.

1) Измерить плотность предложенного твёрдого тела (изделия).

2) Оценить случайную, приборную и полную погрешности измерения плотности.

Краткая теория

1.1. Понятие плотности вещества

Плотность вещества – это физическая величина, численно равная массе вещества, содержащейся в единице объёма этого вещества. Обозначается она обычно буквой r. Единица измерения плотности в СИ – , в других системах единиц: .

Более строгое определение плотности такое. Выделим малый элемент объёма вещества DV. Так как объём мал, то мала и масса вещества, содержащегося в этом объёме. Обозначим её Dm. Тогда плотность вещества – это предел отношения Dm к DV при устремлении DV к нулю.

. (1.1)

Устремление к нулю объёма DV означает, что плотность – это физическая величина, определённая в каждой точке пространства. Такие величины называются локальными или дифференциальными. Другие примеры локальных величин: температура и давление. В противоположность локальным величинам существуют глобальные или интегральные величины. Эти величины определены не для отдельных точек пространства, а для объектов, обладающих не равным нулю объёмом. Пример глобальной физической величины – это масса вещества. В каждой точке пространства масса вещества равна нулю, но для заданного объекта или для заданной области пространства объёмом V массу можно определить, сложив массы Dm, содержащиеся во всех элементарных объёмах DV, входящих в V, то есть вычислив интеграл:

. (1.2)

Замечание. Материальная точка – по определению, объект, объём которого равен нулю, но масса не равна нулю. Однако надо понимать, что материальных точек в природе не существует, это – всего лишь удобная физическая модель, поэтому не удивительно, что некоторые её свойства – парадоксальны. Например, применение к материальной точке формулы (1.1) приводит к тому, что плотность вещества, из которого состоит материальная точка, равна бесконечности.

Если локальная величина во всех точках некоторого объекта имеет одно и то же значение, то она становится характеристикой объекта как целого, то есть становится фактически тоже глобальной величиной. Это характерно для так называемых однородных объектов. Однородным называют объект, свойства которого в каждой его области (в том числе, и в каждой его точке) одинаковы. Однородный объект – это идеализация, модель. Любой реальный объект хоть немного, но неоднороден. Однако модели для того и существуют, чтобы упростить описание реальных объектов окружающего мира. В данной работе как раз и предлагается считать измеряемый объект (в дальнейшем он называется изделием) однородным.

1.2. Способ измерения плотности однородного тела

Все способы измерений принято делить на два класса: прямые измерения и косвенные. Результат прямого измерения – это отсчёт по шкале измерительного прибора. Результат косвенного измерения получается в два этапа: на первом из них производится одно или несколько прямых измерений, на втором этапе проделывается некоторый расчёт, использующий результаты прямых измерений первого этапа.

В данной лабораторной работе предлагается измерить плотность однородного изделия косвенным способом. Как следует из формулы (1.2), при вычислении массы однородного объекта его плотность r (постоянную во всех точках объекта) можно вынести из-под интеграла.

. (1.3)

Из этой формулы и вытекает способ измерения плотности однородного изделия:

. (1.4)

Итак, необходимо измерить массу изделия m и его объём V, а затем произвести расчёт значения r по формуле (1.4).

Измерение массы – прямое, с помощью весов, а измерение объёма – косвенное: прямым способом измеряются размеры изделия, а затем эти замеры используются для расчёта значения V.

1.3. Оценка случайной погрешности

Погрешность измерения плотности изделия D(r)можно разделить на сумму двух составляющих – приборную погрешность D_п(r) и случайную D_с(r):

. (1.5)

Приборная погрешность определяется классом точности приборов, применяемых для измерения размеров изделия и его массы (весов и штангенциркуля) – об этом подробнее написано в пункте 1.4.

Случайная погрешность определяется неточностью действий человека, производящего измерения, и неточностью изготовления изделия. Случайную погрешность можно оценить, только проведя многократные измерения. В данной лабораторной работе предлагается процедуру измерения плотности проделать пять раз.

Если бы никакие случайные факторы не влияли на результаты измерений, то сколько бы раз не повторялись измерения, все результаты были бы совершенно идентичными. Наличие случайных факторов приводит к тому, что серия из n измерений даёт n разных значений плотности r:
(r₁, r₂, ..., r_n)[1]. То, насколько велик разброс в этих n числах, и определяет случайную погрешность. Формула, по которой оценивают случайную погрешность D_с(r), имеет вид:

. (1.6)

Здесь число s(r) называется среднеквадратичным (или стандартным) отклонением и определяется выражением

, (1.7)

где – средний результат измерения, то есть среднее арифметическое из n чисел r₁, r₂, ..., r_n:

, (1.8)

а число D(r) называется дисперсией.

Число t называется коэффициентом Стьюдента. Этот коэффициент определяет так называемую надёжность измерений p (другое её название – доверительная вероятность). Надёжность измерений – это вероятность того, что разница между средним результатом измерения и истинным значением плотности изделия r меньше, чем погрешность D_с(r). Значения коэффициента Стьюдента в зависимости от заданной надёжности измерений p и от количества проведённых измерений n (объёма серии) приведены в таблице 1.1. В учебном лабораторном практикуме рекомендуется принимать значение p равным 0, 9.

Таблица 1.1. Значения коэффициента Стьюдента t

Объём серии n	Надёжность измерений p
0, 5	0, 6	0, 7	0, 8	0, 9	0, 95	0, 98	0, 99
	0, 77	0, 98	1, 2	1, 6	2, 4	3, 2	4, 5	5, 8
	0, 74	0, 94	1, 2	1, 5	2, 1	2, 8	3, 7	4, 6
	0, 73	0, 92	1, 2	1, 5	2, 0	2, 6	3, 4	4, 0
	0, 72	0, 90	1, 1	1, 4	1, 9	2, 4	3, 1	3, 7
	0, 71	0, 90	1, 1	1, 4	1, 9	2, 4	3, 0	3, 5
	0, 71	0, 89	1, 1	1, 4	1, 8	2, 3	2, 9	3, 4
	0, 70	0, 88	1, 1	1, 4	1, 8	2, 3	2, 8	3, 3
	0, 69	0, 87	1, 1	1, 3	1, 8	2, 1	2, 6	3, 0
	0, 69	0, 86	1, 1	1, 3	1, 7	2, 1	2, 5	2, 9

Описанная процедура оценки случайной погрешности реализована в некоторых известных компьютерных программах. Например, в EXCEL есть две следующие функции.

· Первая из них СТАНДОТКЛОН.В вычисляет стандартное отклонение s, её аргументы – столбец результатов измерений
(x₁, x₂, ..., x_n).

· Вторая функция – ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ. Она вычисляет случайную погрешность D_с. Аргументы функции: уровень значимости a, который равен (1 – p), стандартное отклонение s и объём серии измерений n.

1.4. Оценка приборной погрешности

В пункте 1.2 отмечалось, что плотность изделия в данной лабораторной работе измеряется косвенным способом, в основе которого лежат измерения массы и объёма изделия и формула (1.4). Следовательно, приборная погрешность плотности D_п(r) зависит от приборных погрешностей массы D_п(m) и объёма D_п(V). Универсальная формула, связывающая D_п(r) с D_п(m) и D_п(V), имеет вид:

. (1.9)

Здесь и далее значок «п» для краткости опущен, а D_m(r) и D_V(r) – это частные погрешности плотности, которые определяются формулами

. (1.10)

Можно обойтись и без вычисления производных, если воспользоваться правилом, указанным в [7]: если физическая величина x связана с двумя другими величинами a и b формулами или , то относительная погрешность[2] d(x) равна сумме относительных погрешностей d(a) и d(b).

Итак, указанное правило даёт следующую процедуру оценки относительной и абсолютной приборных погрешностей плотности:

1) . (1.12)

2) . (1.13)

3) . (1.14)

Масса изделия измеряется прямым способом – с помощью весов, поэтому приборная погрешность массы D(m) определяется классом точности весов.

Объём изделия V измеряется косвенно: сначала с помощью штангенциркуля измеряются размеры изделия, а затем по формуле объёма определяется значение V. Формула объёма для каждого изделия своя, и от этой формулы зависит правило оценки приборной погрешности D(V). Рассмотрим пример: изделие – это шайба, показанная на рисунке 1.1.

Объём шайбы – это разность объёмов двух цилиндров. Первый цилиндр имеет высоту H и диаметр D, второй (отверстие) имеет ту же высоту H, но меньший диаметр d. Поэтому формула объёма следующая:

. (1.15)

Приборная погрешность объёма D(V) вызвана погрешностями прямых измерений трёх величин: высоты H и двух диаметров D и d, поэтому

, (1.16)

где – частные погрешности, равные

, (1.17)

, (1.18)

. (1.19)

d

H

D

Рис. 1.1. Чертёж изделия

Все прямые измерения производятся одним и тем же прибором – штангенциркулем. На нём указан класс точности 0, 1 mm. Это означает, что абсолютная приборная погрешность любого измерения, сделанного этим штангенциркулем, равна 0, 1 мм. Таким образом, .

Порядок выполнения работы

2.1. Получите у лаборанта изделие и штангенциркуль.

Сделайте чертёж изделия и проставьте на нём размеры – буквами, не числами. Пример показан на рисунке 1.1.

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: