ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

 

Основные понятия и свойства

Пусть функция у = f ( x ) определена на отрезке [a, b] и на этом отрезке произвольно выбраны точки x₀, x₁, …, x_n, так что a = x₀ < x₁ < … < x_n = b, т.е. выбрано произвольное разбиение отрезка [a, b] на n частей. В каждом интервале

(x_{i – 1}; x_i ] опять же произвольно выбрана точка с_i , i = 1, 2, …, n. Сумма вида , где Δ x_i = x_i – x_{i – 1}, называется интегральной суммой функции

f ( x ) на отрезке [a, b].

Определенным интегралом отфункцииf ( x ) на отрезке [a, b] называется предел интегральных сумм S_n при условии, что длина наибольшего частичного отрезка Δ x_i стремится к нулю: = (1)

Теорема существования определенного интеграла. Еслифункция f ( x ) непрерывнана отрезке [a, b], то предел (1) существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка [a, b], ни от выбора точекс_i .

Функция f ( x ) в этом случае называется интегрируемой на отрезке [a, b].

Более того, если функция f ( x ) ограничена отрезке [a, b] и непрерывна в нем, кроме конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.

 

Основные свойства определенного интеграла

1. = – ; 2. = 0;

3. = α ± β ;

4. = + , a < c < b;

5. ≥ 0, еслиf ( x ) ≥ 0на [a, b], ≤ 0, еслиf ( x ) ≤ 0на [a, b];

6. Еслиf ( x ) ≤ g ( x )на [a, b], то ≤ ;

7. ЕслиМ – наибольшее, m – наименьшее значение f ( x )на [a, b], то

m (b – a) ≤ ≤ M (b – a);

8. теорема о среднем: = f ( c )(b – a), c [a, b];

9. ≤ ; 10. = f ( x ).

1.2. Формула Ньютона – Лейбница

= = F(b) – F(a)

При интегрировании четных и нечетных функций в симметричных пределах интегрирования полезно использовать формулу

=

 

Примеры.

1. = = – = 21.

2. = = = = arcsin 0 – = .

 

 

 

Примеры.

3. = = + =

= + = – 0 – = – = .

 

 

Примеры.

 

4. = || = || + + + => x⁴ + 1 = (C + D) x⁴ + (B + E) x³ + (A + C) x² + B x + A =>

=> => => = || – + || = =

= = – + – ln2 + ln5 – ln2 = ln + .

 

Примеры.

5. Найти значение интеграла , если f(x) =

= + = + = e – 1 + 4 – 2 = e + 1.

 

Замена переменной в определенном интеграле

Пусть для вычисления интеграла сделана подстановка x = j ( t ). Если функция j ( t )и ее производная j ′ ( t )непрерывны на отрезке [α ; β ], причем

 

а = j (α ) и b = j (β ), (1)

то справедлива формула: = . (2)

 

Формула (2) называется формулой замены переменной интегрирования в определенном интеграле.

Отметим:

1) функцию x = j ( t )следует подбирать так, чтобы, подставив ее вместо х в подынтегральное выражение, получился более простой интеграл;

2) новые пределы интегрирования находить из соотношений (1);

3) в отличие от неопределенного интеграла при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;

4) иногда удобнее делать подстановку не x = j ( t ), а t = y ( x ).

 

Не существует общего «рецепта», следуя которому можно всегда понять, какую подстановку надо применить к данному интегралу. Однако следует иметь в виду следующие полезные подсказки:

1) если под знаком интеграла стоит сложная функция f (j (x)), то, как правило, используется подстановка t = j ( x ). Например, если в подынтегральном выражении встречается функция sin (1/x), то стоит попробовать подстановку t = 1/x, а если - то t = x² и т.д.

2) если в подынтегральном выражении есть готовый дифференциал функции j (x), т.е. выражение j¢ (x) dx, то имеет смысл попробовать подстановку t = j ( x ). Поэтому целесообразно запомнить следующие формулы для наиболее часто встречающихся дифференциалов:.

Примеры.

6. = || || = = = =

= – 5∙ ln| 2 = 3 – 1 – ( ln11 – ln7 ) = 2 – ln .

 

Примеры.

7. = || || = =

= dt = = arctg .

8. = || || = = =

= = – + = .

 

Задание для самостоятельного решения

9. = || || = = – =

= = ln = ln .

 

10. = || || = = =

= = = = = .

 

Задание для самостоятельного решения

 

Интегрирование по частям

Пусть производные функций u(x) и v(x) существуют и непрерывны на заданном интервале. Тогда имеет место формула

 

= - . (1)

 

Эта формула называется формулой интегрирования по частям определенного интеграла.

 

 

Некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:

Примеры.

11. = || || = – = + е – 0 – =

= + е – – е + + 1 = .

Задание для самостоятельного решения

 

12. = || || = – = – ln = – ln2 = .

Задание для самостоятельного решения

 

 

13. = || || = – + = 0 + =

= | || = – = + = – .

Задание для самостоятельного решения

 

 

 

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

 

2.1. Интегралы с конечными пределами (I рода)

Несобственные интегралы с бесконечными пределами (или I рода), т.е. интегралы, у которых хотя бы одним из пределов интегрирования является бесконечность, определяются следующим образом:

, ,

+ ,

где с – произвольное число (обычно с = 0 ).

 

Несобственные интегралы I рода называются сходящимися, если существуют конечные пределы, стоящие в правых частях представленных выше равенств. Если же указанные пределы не существуют или бесконечны, то эти интегралы называются расходящимися.

 

ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛа

 

Вычисление объемов тел

3.3.1. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений

Пусть в пространстве задано тело. Пусть построены

его сечения плоскостями, перпендикулярными оси Ох.

Площадь фигуры, образующейся в сечении, зависит от

точки х, определяющей плоскость сечения. Пусть эта

зависимость известна и задана непрерывной на [a, b]

функцией S (x). Тогда объем части тела, находя-

щейся между плоскостями х = а и х = b вычисляется

по формуле

3.3.2. Объемы тела вращения,

образованного вращением вокруг оси

Ох (или оси Оу) криволинейной трапеции,

ограниченной кривой y = f (x) (f (x) ≥ 0)
и

прямыми y = 0, x = a, x = b, вычисляются

соответственно по формулам: , .

Если тело образуется при вращении вокруг оси Оу криволинейной

трапеции, ограниченной кривой х = j (у) (j (у) ³ 0) и прямыми

х = 0, у = с, y = d, то объем тела вращения равен .

Пример 1. Найти объем V пирамиды с площадью основания Q и высотой H.

Направим ось Ох перпендикулярно основанию пирамиды, а начало координат совместим

с вершиной О данной пирамиды. На расстоянии х от точки О проведем поперечное сечение

пирамиды. Его площадь обозначим через S, она является функцией от х: S = S (х).

Площади поперечного сечения (параллельного основанию) и основания относятся как

квадраты их расстояний от вершины, т.е. . Отсюда S (х) = х².

Следовательно, V = Q ∙ H.

Пример 2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями x² + 4y² = 1, z = x (x ³ 0), z = 0.

В результате пересечения эллиптического цилиндра x² + 4y² = 1 плоскостями z = x и

z = 0 получим тело, изображенное на рисунке. Сечение тела, перпендикулярное оси Ох,

проведенное на расстоянии х от начала координат представляет собой прямоугольник ABCD.

Найдем его площадь S = S (х). Высота (ширина) MN прямоугольника равна х, т.е. | MN | = х

(в прямоугольном треугольнике NMO угол Ð NOM равен 45°). Точка D (x; y) лежит на эллипсе

x² + 4y² = 1. Значит, MD = y = , т.е. | MD | = => S(x) = AD ∙ MN =

2 MD ∙ MN = 2 ∙ ∙ x = x ∙ .

Следовательно, V = = – =

Пример 3. Найти объем тела, ограниченного двумя цилиндрами x² + y² = R² иx² + z² = R².

 

Изобразим на рисунке восьмую часть тела, расположенную в I октанте. В поперечном

сечении (перпендикулярном оси Ох) тела получится квадрат. Его сторона а равна ординате

точки М (х; у), лежащей на окружности x² + y² = R², т.е. S(x)= = R² – x².

Следовательно,

Задание для самостоятельного решения

1. Найти объем шара радиуса R.

2. Найти объем конуса с радиусом основания R и высотой Н.

3. Найти объем тела, ограниченного параболическим цилиндром z = x², плоскостями у = 0,

у = 6, z = 1.

4. Найти объем тела, ограниченного параболическим цилиндром z = 1 – y², плоскостями у = 0,

z = 0, x = 0, x = 12.

5. Найти объем тела, ограниченного параболоидом z = x² + y² и плоскостью z = 4.

6. Найти объем эллипсоида x² + y² + 4z² £ 4.

7. Найти объем шарового слоя, вырезанного из шара x² + y² + z² = 25 плоскостями у = 1 и у = 4.

8. Найти объем тела, ограниченного однополостным гиперболоидом x² + y² / 4 – z² = 1 и плоскостями z = 0, z = 3.

9. Найти объем тела, ограниченного эллиптическим параболоидом x² / 9 + y² / 3 = z и плоскостью z = 4.

10. Найти объем обелиска, параллельные основания которого квадраты со сторонами a и b (a < b), высота равна h.

11. Найти объем тела, ограниченного конической поверхностью (у – 3)² = x²/ 2 + z ² / 3 = z и плоскостью у = 1.

12. Цилиндр, основанием которого служит эллипс 4x² + 25y² = 400, пересечен наклонной плоскостью, проходящей через малую ось эллипса. Высота полученного “цилиндрического клина” равна 5. Найти его объем.

13. Найти объем шарового сегмента высотой 2, отсеченного от шара радиуса 4.

14. Найти объем тела, ограниченного плоскостями z = 1, z = 4, если площадь его поперечного сечения обратно пропорциональна квадрату расстояния сечения от начала координат, а при z = 3 площадь сечения S(z) = 20.

Пример 4. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями ху = 6, х = 1, х = 4, у = 0, вокруг оси Ох и вокруг оси Оу.

Пример 5. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями y = e^–x, x = 0,

y = 0 (x ³ 0).

y = e^–x => x = –ln y => V_y = π = π = =

= = = = –2π (0 – 1) = 2π.

Пример 6. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оx арки циклоиды , 0 ≤ t ≤ 2π .

V_x = π = π = π a³ =

= π a³ = π a³ =

= π a³ = π a³ =

= π a³ π a³∙ 5 π = 5π ²a³.

 

Пример 7. Найти объем тела, образованного вращением вокруг прямой х = – 2 области, ограниченной линиями

у = x³, х = –1, х = 0, y = 4 .

Перенесем начало координат в точку О₁(–2; 1), сохранив направления осей (рис.) . В новой

123Следующая ⇒

Поделиться: