Вычисление площадей плоских фигур

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной

сверху графиком функции у = f ( x ) (f ( x ) ≥ 0), слева и

справа соответственно прямыми x = a и x = b, снизу –

отрезком [a; b] оси Ох, вычисляется по формуле

S = .

Если f ( x ) ≤ 0 при х [a; b], то S = .

Площадь фигуры, ограниченной кривыми у = f ( x ) и

у = g( x ), причем f ( x ) ≥ g( x ), прямыми x = a и x = b

вычисляется по формуле

S = .

 

Пусть криволинейная трапеция ограничена кривой х = f ( у ),

прямыми у = с, у = d и отрезком [с; d] оси Оу. Тогда площадь

этой трапеции вычисляется по формуле

S = .

Если криволинейная трапеция ограничена сверху кривой, заданной параметрическими уравнениями , y(t) ≥ 0, t [t₁; t₂], прямыми x = a и x = b и отрезком [a; b] оси Ох, то ее площадь вычисляется по формуле

S = ,

где t₁ и t₂ определяются из равенств a = x(t₁), b = x(t₂).

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой

заданной в полярных координатах уравнением r = r ( φ ) идвумя

лучами φ = α и φ = β , вычисляется по формуле

S = .

Замечание. Площадь всякой плоской фигуры может быть составлена из

площадей криволинейных трапеций (секторов).

 

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y = sin x, прямыми х = – π , х = , у = 0.

S = – + = –cos + cos –

– cos = 1 – + 1 + 1 – + 1 = ( 8 – – ).

Задание для самостоятельного решения

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

1) у = х², у = – 9х.

2) y = arccos x, x = – 1, x = 0, y = 0.

3) y = tg ² x, x = π /4, y = 0.

 

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = –x² + 5х – 6 и y = x² – 6.

 

Найдем абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для этого

решим систему уравнений . Находим: х₁ = 0, х₂ = 2, 5. Т.о.

S = = = = .

 

Задание для самостоятельного решения

 

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

1) у = sin x, у = 2sin х, x = 0, у = 7/4 π .

2) y = x², x = 1/ x², y = 0, x = 0, x = 3.

3) y ² = 2x + 1, y = x – 1.

4) y = – x² + 3x + 6, y = x² – x + 1.

5) y = x², y = 2x, y = x.

6) y = x² – 2x + 3, y = 3x – 1.

7) y = x³ – 3x, y = x.

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y²= x³, y = 8, х = 0.

S = = = = .

Искомую площадь можно найти как разность прямоугольника ОАВС и трапеции ОВС:

S = 4 ∙ 8 – = 32 – = 32 – = .

Задание для самостоятельного решения

 

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

1) у = arcsin x, π x = 2y.

2) xy = 8, y = 8x³, y = 27.

3) y ² = (4 – x) ³, x = 0.

4) (y – x) ² = x³, x = 1.

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой x = a cos³t, y = a sin³t.

 

Найдем сначала четвертую часть искомой площади:

S = = = =

= –a² = 3a² = 3a² = 3a² =

= a² = a² =

= a² = a² = a² ∙ = .

Значит, S = .

Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной «трехлепестковой розой» r = a sin3φ.

S = = a² = =

= = = . Значит, S = .

 

Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r = a (1 – cosφ ) и

окружностью r = a.

 

Найдем точки пересечения кардиоиды с окружностью. Для этого решим сис-

тему уравнений и получим две точки: А₁ и А₂ .

Половина искомой площади равна сумме площадей криволинейных секторов

Om А₁O и OА₁n O. В первом секторе полярный угол изменяется от 0 до π /2, а

во втором – от π /2 до π. Т.о.

S = S₁ + S₂ = + = a² + a² =

= + = + = .

 

 

 

Вычисление длины дуги кривой

Пусть кривая на плоскости задана уравнением у = f ( x ) или х = j ( у ). На кривой выбраны точки А и В с координатами: А(а; с), В(b; d). Длина l дуги от точки А до точки В вычисляется по формуле:

 

l = или l = .

Если кривая задана параметрическими уравнениями , t [t₁; t₂], то

длина дуги вычисляется по формуле l = .

Если кривая задана уравнениями в полярных координатах r = r ( φ ), α ≤ φ ≤ β ,

то длина дуги кривой вычисляется по формуле l = .

 

Пример 1. Вычислить длину дуги кривой y = ln sin x от х = до х = π .

Предварительно вычислим : y = ln sin x, y′ = ,

= = , т.к. ≤ х ≤ π . Следовательно, l = = ln = ln – ln = 2ln .

 

Пример 2. Вычислить длину дуги астроиды x = a cos³t, y = a sin³t (см. рис. к задаче 27)

Найдем сначала ¼, т.е. длину дуги кривой, лежащей в I четверти:

= = =

= = = 3a =

= 3a = 3a = a. Следовательно, l = 6a.

Пример 3. Найти длину кардиоиды r = a (1 + cosφ ).

Найдем сначала половину длины кривой: = =

= = a = a =

= a = –4a cos = –4a (0 – 1) = 4a. Значит, l = 8a.

 

 

Вычисление объемов тел

3.3.1. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений

Пусть в пространстве задано тело. Пусть построены

его сечения плоскостями, перпендикулярными оси Ох.

Площадь фигуры, образующейся в сечении, зависит от

точки х, определяющей плоскость сечения. Пусть эта

зависимость известна и задана непрерывной на [a, b]

функцией S (x). Тогда объем части тела, находя-

щейся между плоскостями х = а и х = b вычисляется

по формуле

3.3.2. Объемы тела вращения,

образованного вращением вокруг оси

Ох (или оси Оу) криволинейной трапеции,

ограниченной кривой y = f (x) (f (x) ≥ 0)
и

прямыми y = 0, x = a, x = b, вычисляются

соответственно по формулам: , .

Если тело образуется при вращении вокруг оси Оу криволинейной

трапеции, ограниченной кривой х = j (у) (j (у) ³ 0) и прямыми

х = 0, у = с, y = d, то объем тела вращения равен .

Пример 1. Найти объем V пирамиды с площадью основания Q и высотой H.

Направим ось Ох перпендикулярно основанию пирамиды, а начало координат совместим

с вершиной О данной пирамиды. На расстоянии х от точки О проведем поперечное сечение

пирамиды. Его площадь обозначим через S, она является функцией от х: S = S (х).

Площади поперечного сечения (параллельного основанию) и основания относятся как

квадраты их расстояний от вершины, т.е. . Отсюда S (х) = х².

Следовательно, V = Q ∙ H.

Пример 2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями x² + 4y² = 1, z = x (x ³ 0), z = 0.

В результате пересечения эллиптического цилиндра x² + 4y² = 1 плоскостями z = x и

z = 0 получим тело, изображенное на рисунке. Сечение тела, перпендикулярное оси Ох,

проведенное на расстоянии х от начала координат представляет собой прямоугольник ABCD.

Найдем его площадь S = S (х). Высота (ширина) MN прямоугольника равна х, т.е. | MN | = х

(в прямоугольном треугольнике NMO угол Ð NOM равен 45°). Точка D (x; y) лежит на эллипсе

x² + 4y² = 1. Значит, MD = y = , т.е. | MD | = => S(x) = AD ∙ MN =

2 MD ∙ MN = 2 ∙ ∙ x = x ∙ .

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: