Раздел I. Функции, их свойства. Графики функций

Домашней контрольной работы

по дисциплине «Математика»

для студентов

заочной формы обучения

 

 

Сыктывкар 2016 г.

 

Методические рекомендации по выполнению домашней контрольной работы по дисциплине «Математика» разработаны на основе Федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования для студентов заочной формы обучения

Разработчики

	ФИО	Квалификационная категория	Должность
	Пташка Наталья Игоревна	без категории	Преподаватель математики

 

 

Рассмотрена на заседании предметно-цикловой комиссии

Протокол № _____от «____».____.______

Председатель ПЦК_____________Главатских Г.В.

 

 

Рекомендована Методическим советом ГПОУ «СТЭК»

Протокол № _____от «____».____.______

Председатель совета_______________Дорошенко В.Н.

 

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Изучение математики и ее методов позволит будущему специалисту приобрести необходимые базовые навыки, расширить кругозор, повысить уровень мышления и общую культуру. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках. В процессе математической деятельности в арсенал приемов и методов человеческого мышления естественным образом включается классификация и систематизация, обобщение и конкретизация, абстрагирование и аналогия. Объекты математических умозаключений вскрывают механизм логических построений, вырабатывают умения формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают логическое мышление. Все это понадобится для ориентации в профессиональной деятельности и успешной работы.

 

Целями учебной дисциплины являются:

1. Овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования.

2. Интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе.

3. Выработка у учащихся приёмов и навыков решения математических задач.

 

 

В результате изучения дисциплины студент должен:

· знать: о роли и месте математики в современном мире, общности ее понятий и представлений; традиционные методы математики, используемые в экономике и решении прикладных задач.

· уметь: применять математический аппарат для исследования прикладных вопросов, пользоваться электронно-вычислительной техникой при решении задач; самостоятельно изучать материал по учебной литературе; пользоваться справочной литературой.

 

В содержании учебной дисциплины по каждой теме приведены требования к формированию представлений, к знаниям и умениям.

Содержание курса, наименование тем

Введение

Студент должен иметь представление о:

Роли математики в современном мире.

Раздел I. Функции, их свойства. Графики функций

Функции, их свойства и графики

Студент должен:

знать:

функция: основные понятия и свойства.

уметь:

строить графики функций; устанавливать важнейшие свойства функций; применять геометрические преобразования функций.

Понятие предела

Студент должен:

знать:

предел функции; первый и второй замечательные пределы; теоремы о пределах; правила раскрытия неопределенностей.

уметь:

вычислять пределы, применять первый и второй замечательные пределы для раскрытия неопределенностей.

 

Раздел II. Производная и её приложения

Производная и ее геометрический смысл

Студент должен:

знать:

определение производной, ее геометрический смысл, таблицу производных, правила вычисления производных, производную сложной функции, производную обратных тригонометрических функций.

уметь:

вычислять производные элементарных функции, производную сложной функции, производную обратных тригонометрических функций; производные высших порядков

Применение производной к исследованию функций

Студент должен:

знать:

возрастание и убывание функций; экстремумы функций; наибольшее и наименьшее значение функции; вогнутость кривой, точки перегиба; общую схему исследования функций.

уметь:

исследовать функцию с помощью производной; находить экстремум функции; находить наибольшее и наименьшее значение функции, вогнутость кривой, точки перегиба

Раздел III. Интеграл и его приложения

Неопределенный интеграл и методы его вычисления

Студент должен:

знать:

понятие первообразной и неопределенного интеграла; свойства интеграла, основные методы интегрирования, таблицу интегралов.

уметь:

интегрировать простейшие неопределенные интегралы различными методами.

Определенный интеграл и методы его вычисления

Студент должен:

знать:

формулу Ньютона-Лейбница, основные методы интегрирования; приближенные методы вычисления определенных интегралов; формулы вычисления площадей и объемов, длины дуги.

уметь:

вычислять определенные интегралы с помощью основных свойств и формулы Ньютона-Лейбница; использовать методы для приближенных вычислений определенных интегралов; находить площади плоских фигур, объемы тел, длину дуги.

 

Пределы функций. Примеры решений

 

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Рассмотрим основные типы пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Попытаемся сначала сделать две вещи:

1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.

Итак, что же такое предел?

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела .
2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ( ).
3) Функции под знаком предела, в данном случае .

Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала , затем , , …, , ….
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Готово.

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью:

Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией ?
, , , …

Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности:

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ.

Еще один пример с бесконечностью:

Опять начинаем увеличивать до бесконечности и смотрим на поведение функции:

Вывод: при функция неограниченно возрастает:

И еще серия примеров:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

, , , , , , , , ,
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если , попробуйте построить последовательность , , . Если , то , , .

! Примечание : строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» начнёт принимать такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

Производная сложной функции

На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции. Урок является логическим продолжением занятия Как найти производную?, на котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком.

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.

Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:

Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию я буду называть внешней функцией, а функцию – внутренней (или вложенной) функцией.

! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.

Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:

Пример 1

Найти производную функции

Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:

В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.

В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.

Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).

Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией :

Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией:

После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .

Начинаем решать. Из урока Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:

Сначала находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае:

Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем.

Ну и совершенно очевидно, что

Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:

Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Готово

Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.

Пример 2

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Пример 3

Найти производную функции

Как всегда записываем:

Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен – и есть внутренняя функция:

И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:

Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется:

Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:

Готово.

Пример 4

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце теоретического материала).

Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?

Пример 5

а) Найти производную функции

б) Найти производную функции

Пример 6

Найти производную функции

Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :

Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать

Пример 7

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного , но такое решение будет выглядеть как извращение необычно. Вот характерный пример:

Пример 8

Найти производную функции

Здесь можно использовать правило дифференцирования частного , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:

Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.
Используем наше правило :

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:

Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила , ответы должны совпасть.

Пример 9

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.

Пример 10

Найти производную функции

Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе?

Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение:

Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :

И, наконец, семерку возводим в степень :

То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

Начинаем решать

Согласно правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Под штрихом у нас снова сложная функция! Но она уже проще. Легко убедиться, что внутренняя функция – арксинус, внешняя функция – степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции сначала нужно взять производную от степени:

Теперь все просто, находим по таблице производную арксинуса и немного преобразовываем выражение:

Готово.

Пример 11

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

На практике правило дифференцирования сложной функции почти всегда применяется в комбинации с остальными правилами дифференцирования.

Пример 12

Найти производную функции

Сначала используем правило дифференцирования суммы , заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу :

В обоих слагаемых под штрихами у нас находится произведение функций, следовательно, нужно дважды применить правило :

Замечаем, что под некоторыми штрихами у нас находятся сложные функции , . Каламбур, но это простейшие из сложных функций, и при определенном опыте решения производных Вы будете легко находить их устно.
А пока запишем подробно, согласно правилу , получаем:

Готово.

! Обратите внимание на приоритет (порядок) применения правил: правило дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь.

Пример 13

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце теоретического матерниала).

Пожалуй, хватит на сегодня. Хочется еще привести пример с дробью и сложной функцией, но такой пример принципиально ничем не отличается от двух последних заданий, единственное отличие – вместо правила применяем правило .

Для закрепления темы рекомендую статью Сложные производные. Логарифмическая производная. Помимо рассмотрения дополнительных примеров, есть и новый материал! Если задания покажутся слишком трудными (у всех разный уровень подготовки), то сначала посетите страницу Простейшие типовые задачи с производной, там рассмотрено ещё порядка 15-ти производных.

 

 

Ответы:

Пример 2:

Пример 4: Указание: перед дифференцированием необходимо перенести степень наверх, сменив у показателя знак .

Пример 7:

Пример 9:

Пример 11:

Пример 13:

 

ПОЛЕЗНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ ПРИЁМ

Каждый этап задания приносит новую информацию о графике функции, поэтому в ходе решения удобно использовать своеобразный МАКЕТ. Изобразим на черновике декартову систему координат. Что уже точно известно? Во-первых, у графика нет асимптот, следовательно, прямые чертить не нужно. Во-вторых, мы знаем, как функция ведёт себя на бесконечности. Согласно проведённому анализу, нарисуем первое приближение:

Заметьте, что в силу непрерывности функции на и того факта, что , график должен, по меньшей мере, один раз пересечь ось . А может быть точек пересечения несколько?

3) Нули функции и интервалы знакопостоянства.

Сначала найдём точку пересечения графика с осью ординат. Это просто. Необходимо вычислить значение функции при :

Полтора над уровнем моря.

Чтобы найти точки пересечения с осью (нули функции) требуется решить уравнение , и тут нас поджидает неприятный сюрприз:

Такое уравнение имеет, как минимум, один действительный корень, и чаще всего этот корень иррационален. Уравнение разрешимо с помощью так называемых формул Кардано. В этой связи разумнее устно либо на черновике попытаться подобрать хотя бы один целый корень. Проверим, не являются ли оными числа :
– не подходит;
– есть!

В случае неудачи можно протестировать ещё и

Однако у нас есть красивый корень , поэтому делим многочлен на без остатка:

Алгоритм деления многочлена на многочлен детально разобран в первом примере урока Сложные пределы.

В итоге левая часть исходного уравнения раскладывается в произведение:

А теперь немного о здоровом образе жизни. Я, конечно же, понимаю, что квадратные уравнения нужно решать каждый день, но сегодня сделаем исключение: уравнение имеет два действительных корня .

На числовой прямой отложим найденные значения и методом интервалов определим знаки функции:

Таким образом, на интервалах график расположен
ниже оси абсцисс , а на интервалах – выше данной оси .

Полученные выводы позволяют детализировать наш макет, и второе приближение графика выглядит следующим образом:

Обратите внимание, что на интервале функция обязательно должна иметь хотя бы один максимум, а на интервале – хотя бы один минимум. Но сколько раз, где и когда будет «петлять» график, мы пока не знаем. К слову, функция может иметь и бесконечно много экстремумов.

4) Возрастание, убывание и экстремумы функции.

Найдём критические точки:

Данное уравнение имеет два действительных корня . Отложим их на числовой прямой и определим знаки производной:

Следовательно, функция возрастает на и убывает на .
В точке функция достигает максимума: .
В точке функция достигает минимума: .

Установленные факты загоняют наш шаблон в довольно жёсткие рамки:

Давайте окончательно разберёмся с формой графика:

5) Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Найдём критические точки второй производной:

Определим знаки :

График функции является выпуклым на и вогнутым на . Вычислим ординату точки перегиба: .

Практически всё прояснилось.

6) Осталось найти дополнительные точки, которые помогут точнее построить график и выполнить самопроверку. В данном случае их мало, но пренебрегать не будем:

Выполним чертёж:

Зелёным цветом отмечена точка перегиба, крестиками – дополнительные точки. График кубической функции симметричен относительно своей точки перегиба, которая всегда расположена строго посередине между максимумом и минимумом.

По ходу выполнения задания я привела три гипотетических промежуточных чертежа. На практике же достаточно нарисовать систему координат, отмечать найденные точки и после каждого пункта исследования мысленно прикидывать, как может выглядеть график функции. Студентам с хорошим уровнем подготовки не составит труда провести такой анализ исключительно в уме без привлечения черновика.

Для самостоятельного решения:

Пример 2

Исследовать функцию и построить график.

Тут всё быстрее и веселее, примерный образец чистового оформления в конце урока.

Немало секретов раскрывает исследование дробно-рациональных функций:

Пример 3

Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и на основании результатов исследования построить её график.

Решение: первый этап исследования не отличается чем-то примечательным, за исключением дырки в области определения:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , область определения: .

, значит, данная функция не является четной или нечетной.

Очевидно, что функция непериодическая.

График функции представляет собой две непрерывные ветви, расположенные в левой и правой полуплоскости – это, пожалуй, самый важный вывод 1-го пункта.

2) Асимптоты, поведение функции на бесконечности.

а) С помощью односторонних пределов исследуем поведение функции вблизи подозрительной точки, где явно должна быть вертикальная асимптота:

12345Следующая ⇒

Поделиться: