Универсальной газовой постоянной.

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 7Следующая ⇒

Объем газа массы т: Отсюда

Уравнение Менделеева-Клапейрона — уравнение состояния для

массы т идеального газа:

Если использовать постоянную Больцмана: ,

то уравнение состояния примет вид:

где — концентрация молекул — число молекул в единице

объема.

Таким образом:

1) давление идеального газа при данной температуре прямо пропорционально концентрации его молекул,

2) при одинаковых температуре и давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул.

Число молекул, содержащихся в 1м³ газа при нормальных условиях, называется числом Лошмидта:

10.Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов.

Пусть в сосуде объемом V находится идеальный газ массой m, состоящий из N молекул массой m₀, движущихся с одинаковыми скоростями . Концентрация молекул в газе по определению n = N/V.

Если при соударениях со стенками за время элементарной площадке S стенки сосуда передается импульс Р, то давление газа, оказываемое им

на стенку сосуда .

При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно стенке, передает ей импульс 2m₀. В среднем по направлению к стенке движется часть всех молекул. (Если рассмотреть три взаимно перпендикулярные оси, то в среднем только молекул движется вдоль одной из осей и только половина из них ( ) вдоль данного направления.) Поэтому, за время t площадки

S достигнут n S t молекул и передадут ей импульс .

Давление, оказываемое газом на стенку сосуда: .

Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями ₁, ₂,..., _N, то целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость, которая определяется как

и характеризует всю совокупность молекул газа.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов:


Другие варианты записи этого уравнения с учетом соотношений и m=Nm₀ Здесь Е — суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа, V - молярный объем, — молярная масса.
Используя уравнение Клапейрона-Менделеева, получим откуда

11.Средняя квадратичная скорость молекул идеального газа:

где использовано =m₀N_A и k = R/N_A.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа:

Отсюда следует, что = 0 при Т = 0 К — прекращается движение молекул газа.

Молекулярно-кинетическое толкование температуры: термодинамическая температура — есть мера средней кинетической энергии поступательного движения молекул газа.

12.3акон Максвелла о распределении молекул идеального газа по скоростям.

В газе, находящемся в состоянии равновесия при данной температуре, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям. Это распределение описывается функцией , называемой функцией распределения молекул по скоростям, которая определяет относительное число молекул, скорости

которых лежат в интервале от до , т.е.

Закон Максвелла:

Эта функция удовлетворяет условию нормировки:

Молекулярная физика и термодинамика

13.Наиболее вероятная скорость молекул идеального газа.

Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью v_e.

Приравняв нулю, получаем:

С повышением температуры растет.

14.Средняя скорость молекулы газа (средняя арифметическая скорость)

15.Скорости, характеризующие состояние газа.

Наиболее вероятная скорость Средняя скорость Средняя квадратичная скорость

16. Барометрическая формула.

В однородном поле тяготения Земли тепловое движение молекул приводит к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает. Давление на высоте h газа с молярной массой /J.

относительно уровня моря, где давление р₀ считается нормальным, равно

17. Распределение Больцмана.

Используя соотношения p = nkT, µ= m₀N_A, R = kN_A, получаем:

Так как m₀gh= W — потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, следовательно:

Такое распределение называют распределением Больцмана (распределение частиц по значениям потенциальнойэнергии) для внешнего потенциального поля.

Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа оолыие там, где меньше потенциальная энергия его молекул. Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

18.Средняя длина свободного пробега молекул.

Путь, который в среднем проходят молекулы между двумя последовательными столкновениями называется средней длиной свободного пробега молекул.

Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d.

Так как за 1с молекула проходит путь, равный средней арифметической скорости , и если — среднее число столкновений, испытываемых одной молекулой газа за 1с, то средняя длина свободного пробега

Можно показать, что: , откуда

19.Эксперименты, подтверждающие молекулярно-кинетическую теорию.

1. Броуновское движение. Любые частицы малых размеров, взвешенные в газе или жидкости, совершают сложное зигзагообразное движение. Броуновское движение взвешенных частиц вызывается ударами молекул среды, в которой частицы взвешены. Подтверждение гипотезы о хаотическом тепловом движении молекул.

2. Опыт Штерна. Два коаксиальных цилиндра синхронно вращаются в вакууме. Атомы серебра, испарясь с проволоки, расположенной вдоль оси внутреннего цилиндра, вылетают через щель и оседают на внутренней стенке наружного цилиндра. Исследуя толщину осажденного слоя, можно оценить распределение молекул по скоростям, которое соответствует максвелловскому распределению.

3. Опыт Ламмерта. Между источником молекулярного пучка и приемником

синхронно вращаются два диска с радиальными щелями. Из числа молекул, пролетевших через первую щель, пролетят через второй диск только те, которые подлетят к нему в тот момент, когда на пути пучка встанет прорезь во втором диске. Изменяя

угловую скорость вращения, можно исследовать распределение молекул по скоростям.

20.Явления переноса.

Явлениями переноса называются необратимые процессы в термодинамически неравновесных системах, в которых происходит пространственный перенос энергии (теплопроводность), массы (диффузия),

импульса (внутреннее трение).

Для простоты ограничимся одномерными случаями, выбрав ось х так, чтобы она была направлена в направлении переноса. Будем рассматривать потоки энергии, вещества и импульса упорядоченного движения частиц через единичную площадку (5 = 1), перпендикулярную оси х, для идеального газа плотностью ρ, у которого

— средняя скорость теплового движения молекул,

— средняя длина свободного пробега.

21.Теплопроводность.

Если в одной области газа средняя кинетическая энергия молекул больше, чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул — выравнивание температур.

Перенос энергии (в форме теплоты) описывается законом Фурье:

Здесь j_E— плотность теплового потока — тепловая энергия, переносимая в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х, λ — коэффициент теплопроводности,

^dT/_dx— градиент температуры — скорость изменения

температуры на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке,

с_v— удельная теплоемкость газа при постоянном объеме (количество теплоты, необходимое для нагревания 1кг газа на 1К).

22. Диффузия.

Явление диффузии заключается в том, что происходит самопроизвольное проникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и даже твердых тел; диффузия сводится к обмену частицами (перенос масс) между этими телами, возникает и продолжается, пока существует градиент плотности.

Перенос массы (диффузия) для химически однородного газа подчиняется закону Фика:

Здесь j_т— плотность потока массы— масса вещества, диффундирующего в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х, D — коэффициент диффузии,

— градиент плотности, равный скорости изменения

плотности на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке.

23.Внутреннее трение (вязкость).

Вследствие хаотического теплового движения молекул происходит обмен молекулами между слоями газа движущимися с различными скоростями, в результате чего импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, а движущегося медленнее — увеличивается (происходит перенос импульса от одного слоя к другому). Это приводит к торможению слоя, движущегося

быстрее, и ускорению слоя, движущегося медленнее.

Внутреннее трение описывается законом Ньютона: Здесь j— плотность потока импульса — полный

импульс, переносимый в единицу времени в положительном направлении оси х через единичную площадку, перпендикулярную оси х, η —динамическая вязкость,

— градиент скорости, показывающий быстроту изменения скорости в направлении х, перпендикулярном направлению движения слоев газа.

Внешнее сходство математических выражений, описывающих явления переноса, обусловлено общностью лежащего в основе явлений

теплопроводности, диффузии и внутреннего трения молекулярного

механизма перемешивания молекул в процессе их хаотического движения.

Формулы для коэффициентов λ , D и η связывают коэффициенты

переноса и характеристики теплового движения молекул.

Зависимости между λ , D и η :

Основы термодинамики.

24.Внутренняя энергия термодинамической системы.

Внутренняя энергия U — это энергия хаотического (теплового) движения микрочастиц системы (молекул, атомов, электронов, ядер и т.д.) и энергия взаимодействия этих частиц.

К внутренней энергии не относятся кинетическая энергия движения системы как целого и потенциальная энергия системы во внешних полях.

Внутренняя энергия — однозначная функция термодинамического состояния системы — в каждом состоянии система обладает вполне определенной внутренней энергией.

Поэтому, внутренняя энергия не зависит от того, каким образом система пришла в данное состояние.

При переходе системы из одного состояния в другое изменение внутренней энергии определяется только разностью значений внутренней энергии этих состояний и не зависит от пути перехода.

25. Число степеней свободы.

Число степеней свободы — это число независимых переменных, полностью определяющих положение системы в пространстве.

Число степеней свободы для идеального газа жестких молекул.

Число степеней свободы Одноатомный газ Двухатомный газ Многоатомный газ

Поступательных

Вращательных —

Всего

В реальных молекулах нет жесткой связи между атомами в молекуле, поэтому необходимо учитывать также степени свободы колебательного движения атомов внутри молекулы.

Независимо от общего числа степеней свободы молекулы, три степени свободы всегда поступательные. На каждую из них приходится треть кинетической энергии поступательного движения молекулы (ε ₀):

26.3акон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы (закон равнораспределения).

Для системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия на каждую поступательную и вращательную степень свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная ^k^Т/₂, а на каждую , колебательную степень свободы — в среднем энергия, равная kТ.

Энергия колебательных степеней свободы вдвое больше, поскольку колебательная система обладает равными по величине средними значениями как кинетической, так и потенциальной энергии.

Таким образом, средняя энергия молекулы, ,

где i— сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы: i = i_пост + i_вращ + 2 • i_колеб. В классической теории рассматривают молекулы с жесткой связью между атомами; для них i совпадает с числом степеней свободы молекулы.

В идеальном газе молекулы между собой не взаимодействуют и их потенциальная энергия равна нулю. Поэтому внутренняя энергия одного моля идеального газа и произвольной массы т газа U будут соответственно:

27. Первое начало термодинамики.

Первое начало термодинамики - это закон сохранения и превращения энергии в термодинамических процессах.

Изменить внутреннюю энергию системы можно двумя способами: совершая над системой работу (например, сжимая газ в цилиндре с помощью поршня) или сообщая системе теплоту (например, нагревая газ в герметичном сосуде).

Рассмотрим замкнутую, макроскопически неподвижную систему, не находящуюся во внешних силовых полях и проанализируем с энергетической точки зрения равновесный процесс перехода системы из какого-либо начального состояния 1 в другое состояние 2.

Изменение внутренней энергии системы , в таком процессе равно разности между количеством теплоты Q, полученным системой, и работой А, совершенной системой против внешних сил

Δ U = Q-A или Q = Δ U + A

Первое начало термодинамики: теплота, сообщаемая системе, расходуется на изменение ее внутренней энергии и на совершение ею работы против внешних сил.

В дифференциальной форме: δ Q = dU + δ А,

где dU (полный дифференциал) — бесконечно малое изменение внутренней энергии системы, δ A— элементарная работа, δ Q— бесконечно малое количество теплоты. δ А и δ Q не являются полными дифференциалами.

Дело в том, что внутренняя энергия системы является однозначной функцией состояния системы. Отсюда следует, что при совершении системой произвольного процесса, в результате которого она вновь возвращается в исходное состояние, полное изменение внутренней энергии системы равно нулю . Ни работа, ни теплота не являются функциями состояния системы.

Все величины входящие в первое начало термодинамики могут быть как положительными, так и отрицательными.

Если к системе подводится теплота, то δ Q> 0; если от системы отводится теплота, то δ Q < О.

Если система совершает работу над внешними телами, то δ А > О, если же над системой внешние силы совершают работу, то δ А < О.

Другая формулировка первого начала термодинамики связана с тем, что если система периодически возвращается в первоначальное состояние, и следовательно Δ U = 0, то A = Q, т.e. вечный двигатель первого рода — периодически действующий двигатель, который совершал бы большую работу, чем сообщенная ему извне энергия, — невозможен.

28.Работа газа при его расширении.

Если находящийся под поршнем в цилиндрическом сосуде, газ, расширяясь, передвигает поршень на расстояние dl, то производит над ним работу δ А = Fdl = pSdl = pdV , где S— площадь поршня.

Полная работа А, совершаемая газом при изменении его объема от V₁ до V₂:

Равновесные процессы — это процессы, состоящие из последовательности равновесных состояний. Они протекают так, что

изменение термодинамических параметров за конечный промежуток времени бесконечно мало. Все реальные процессы неравновесны, но в ряде случаев (достаточно медленные процессы) неравновесностью реальных процессов можно пренебречь.

Равновесные процессы можно изображать графически в координатах (р, V). Так работа δ А = pdV определяется площадью заштрихованной полоски, а полная работа — площадью под кривой между V₁ и V₂.

При неравновесных процессах значения параметров в разных частях системы различны и не существует (p, V)-точек, характеризующих состояние всей системы. Поэтому графическое изображение неравновесного процесса невозможно.

29. Теплоемкость.

Удельная теплоемкость вещества с — величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1кг вещества на 1 К. Единица удельной теплоемкости — Дж/(кг К)

Молярная теплоемкость С_µ — величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1моль вещества на 1К. Единица молярной теплоемкости — Дж/(моль К).

Связь между С_µ и с:

Различают теплоемкости (удельную и молярную) при постоянном объеме (c_v и С_у) и при постоянном давлении (с_p и С_Р), если в процессе нагревания вещества его объем или давление поддерживаются постоянными.

30.Молярная теплоемкость при постоянном объеме.

Из первого начала термодинамики δ Q = dU + δ A, с учетом δ A = pdV и

С_μ = , для 1 моль газа получим: .

При V = const работа внешних сил δ А равна нулю и сообщаемая газу извне теплота идет только на увеличение его внутренней энергии.

C_v равна изменению внутренней энергии 1моль газа при повышении его

температуры на 1К.

Поскольку dU_μ = ⁱ/₂RdT , то

31.Молярная теплоемкость при постоянном давлении. Уравнение Майера.

Если газ нагревается при р = const, то

— не зависит от вида процесса (внутренняя энергия идеального газа

не зависит ни от р, ни от V, а определяется только Т) и всегда равна C_v.

Дифференцируя уравнение Клапейрона-Менделеева pV_μ = RT по Т при

р = const, получим

С_p = С_V + R — уравнение Майера

С_p всегда больше С_V- на величину универсальной газовой постоянной.

Это объясняется тем, что при нагревании газа при постоянном давлении требуется еще дополнительное количество теплоты на совершение работы расширения газа, так как постоянство давления обеспечивается увеличением объема газа.

При рассмотрении термодинамических процессов важную роль играет величина

,

которая называется коэффициентом Пуассона.

ИЗОПРОЦЕССЫ. Рассмотрим равновесные процессы, происходящие с термодинамическими системами, при которых один из основных параметров состояния сохраняется постоянным.

32.Изохорный процесс (V — const).

Диаграмма этого процесса — изохора — в координатах (p, V) изображается прямой, параллельной оси ординат (ось р). Процесс 2-1 — изохорный нагрев, процесс 2-3 — изохорное охлаждение.

При изохорном процессе газ не совершает работу над внешними телами (δ А = pdV = 0) и вся теплота, сообщаемая газу, идет на увеличение его внутренней энергии (δ Q = dU). Поскольку dU_μ = C_vdT , то для произвольной массы газа:

33.Изобарный процесс (р = const).

Диаграмма этого процесса — изобара — в координатах (p, V) изображается прямой параллельной оси абсцисс (ось V). При изобарном процессе работа газа при увеличении объема от V₁ до V₂ равна:

и определяется площадью заштрихованного прямоугольника. Используя уравнение Клапейрона pV = RT, получаем V₂-V₁= ^mR/_pμ (T₂ – T₁ ), отсюда

Физический смысл универсальной газовой постоянной: R численно равна работе изобарного расширения 1моля идеального газа при нагревании его на 1 К.

34.Изотермический процесс (Т = const).

Диаграмма этого процесса — изотерма — в координатах (p, V) представляет собой гиперболу. Изотермический процесс описывается законом Бойля-Мариотта (pV = const).

Работа изотермического расширения газа

Так как при Т = const внутренняя энергия идеального газа не изменяется, то из первого начала термодинамики следует, что δ Q =δ A, то есть все количество теплоты, сообщаемое газу, расходуется на совершение им работы против внешних сил.

Поэтому, для того, чтобы при расширении газа температура не понижалась, к газу в течение изотермического процесса необходимо подводить количество теплоты, эквивалентное внешней работе расширения.

35.Адиабатический процесс (δ Q = 0).

Адиабатическим называется процесс, при котором отсутствует теплообмен между системой и окружающей средой ( δ Q = 0).

К адиабатическим процессам можно отнести все быстропротекающие процессы (теплообмен не успевает совершиться), например, распространение звука в среде, циклы расширения и сжатия в двигателях внутреннего сгорания, в холодильных установках и т. д.

Из первого начала термодинамики следует, что при адиабатическом процессе δ A = -dU. Используя δ А = pdV и dU=^m/_μ C_VdT, получим

pdV =^m/_μ C_VdT (1). С другой стороны, из pV = ^m/_μRT следует

pdV + Vdp = ^m/_μRdT (2). Разделив (2) на (1) получим:

или где

коэффициент Пуассона. Интегрирование этого уравнения дает ln V^γ+ ln p = In const, откуда следует уравнение Пуассона— уравнение адиабатического процесса.

Используя уравнение Менделеева-Клапейрона pV = RT, получаем:

Диаграмма адиабатического процесса — адиабата — в

координатах (p, V) изображается гиперболой. Адиабата ( ) более крута, чем изотерма (pV = const). Это объясняется тем, что при адиабатическом сжатии 1-3 увеличение давления газа обусловлено не только уменьшением его объема, но и повышением температуры.

36. Работа газа в адиабатическом процессе.

В адиабатическом процессе δ A = -dU, поэтому δ А =- C_vdT. Если газ

адиабатически расширяется от объема V₁ до V₂, то его температура уменьшается от T₁ до Т₂ и работа расширения идеального газа

Откуда получаем , используя уравнение Менделеева-Клапейрона pV = RT.

Работа адиабатического расширения 1-2 (заштрихованная площадь) меньше, чем при изотермическом процессе. Это объясняется тем, что при адиабатическом расширении происходит охлаждение газа, тогда как при изотермическом расширении температура поддерживается постоянной за счет притока извне эквивалентного количества теплоты.

37. Политропические процессы (С = const).

Процесс, в котором теплоемкость остается постоянной (С = const) называется политропическим.

Рассмотренные выше изохорный, изотермический, изобарный и адиабатический процессы — это частные случаи политропного процесса.

Уравнение политропы

pVⁿ = const

где коэффициент называется показателем политропы.

Значения теплоемкости и показателя политропы для разных процессов приведены в таблице.

Процесс С n

Адиабатический С = 0 n = у

Изотермический С =∞ n = 1

Изобарический C=C_p n = 0

Изохорный C=C_V n =±∞

Теплоемкость при изотермическом процессе бесконечно велика, поскольку dT = 0, в то время как δ Q≠ 0.

Теплоемкость при адиабатическом процессе равна нулю, поскольку δ Q=0, в то время как dT ≠ 0

Круговым процессом (или циклом) называется процесс, при котором система, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное состояние. На (р, V)-диаграмме цикл изображается замкнутой кривой, где участок 1-2 соответствует расширению, а 2-1 — сжатию газа.

Работа расширения А₁ (площадь фигуры 1a2V₂V₁1) положительна: А₁ > 0. Работа сжатия А₂ (площадь фигуры 2b1V₁V₂2) отрицательна: А₂ < 0.

Работа зацикл А определяется площадью, охватываемой замкнутой кривой:

А = А₁ + А₂

Таким образом, работа — это функция не только состояния термодинамической системы, но и вида процесса, который происходит. Поэтому работа не является однозначной функцией состояния (такой, как внутренняя энергия). Из первого начала термодинамики следует, что теплота Q, так же как и работа А, является функцией процесса, который происходит с системой.

Цикл называется прямым, если за цикл совершается положительная работа A = pdV > О (цикл протекает по часовой стрелке — рисунок (А)).

Цикл называется обратным, если за цикл совершается отрицательная

работа А = pdV < О (цикл протекает против часовой стрелки — рисунок (Б)).

Прямой цикл используется в тепловых двигателях (совершают работу за счет полученной извне теплоты). Обратный цикл используется в холодильных машинах (за счет работы внешних сил теплота переносится к телу с более высокой температурой).

39. КПД кругового процесса.

В результате кругового процесса система возвращается в исходное состояние, следовательно, полное изменение внутренней энергии равно нулю. Поэтому Q = Δ U + А = А, т.е. работа, совершаемая за цикл, равна количеству полученной извне теплоты. Если в ходе кругового процесса система не только получает количество теплоты Q₁, но и теряет (отдает) количество теплоты Q₂, то Q= Q_1- Q₂.

Термический коэффициент полезного действия для кругового процесса — это величина, равная отношению работы, совершенной системой, к количеству теплоты, полученному в этом цикле системой:

40. Обратимый и необратимый процессы.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 Следующая ⇒
Поделиться:

Последнее изменение этой страницы: 2017-05-05; Просмотров: 408; Нарушение авторского права страницы