Формулы площади треугольника

Формулы площади треугольника

 

Правильный многоугольник

Пусть а- сторона правильного n-угольника, а r и R - радиусы вписанной и описанной окружностей, тогда

 

Формула Герона

, где a, b, c, d –стороны этого четырехугольника, p-полупериметр, S-площадь

 

Треугольник

Признаки равенства треугольников

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то треугольники равны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

1. По двум катетам.

2. По катету и гипотенузе.

3. По гипотенузе и острому углу.

4. По катету и острому углу.

Теорема о сумме углов треугольника и следствия из нее.

1. Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусов.

2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов.

3. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180(n-2).

4. Сумма внешних углов n-угольника равна 360 градусов.

5. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90.

6. Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны.

Неравенство треугольника и следствия из него.

1. Сумма двух сторон треугольника больше его третьей стороны.

2. Сумма звеньев ломаной больше отрезка, соединяющего начало первого звена с концом последнего.

3. Против большего угла треугольника лежит большая сторона.

4. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.

5. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.

6. Если из одной точки проведены к прямой перпендикуляр м наклонные, то

1)перпендикуляр короче наклонных

2) большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.

Средняя линия треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна ее половине.

Теоремы о медианах треугольника

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2: 1, считая от вершины.

2. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

3. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.

Теорема о высотах треугольника

Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Теорема о биссектрисах треугольника

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки пропорциональные двум другим сторонам.

Признаки подобия треугольников

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то треугольники подобны.

Площади подобных треугольников

1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

2. Если два треугольника имеют равные углы, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы.

Метрические соотношения в треугольнике

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Обобщенная теорема синусов

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около треугольника.

 

Четырехугольник

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого параллельны.

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм с прямым углом.

Квадрат

Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны.

Ромб

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства и признаки ромба

1. Диагонали ромба перпендикулярны.

2. Диагонали ромба делят его углы пополам.

3. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это параллелограмм-ромб.

4. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм-ромб.

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противоположные стороны ( основания) параллельны. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины непараллельных сторон (боковых сторон).

Равнобедренная трапеция

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Подобные фигуры

1. Отношение соответствующих линейных размеров подобных фигур равно коэффициенту подобия.

2. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Правильный многоугольник

 

Окружность

Окружностью называется множество точек плоскости, удаленных от данной точки, называемой центром окружности, на одно и то же расстояние.

Касательная к окружности

Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности.

1. Касательная перепндикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Если прямая а, проходящая через точку на окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то прямая а-касательная к окружности.

3. Если прямые, проходящие через точку М, касаются окружности в точках А и В, то МА=МВ, и угол АМО равен углу ВМО, где О-центр окружности.

4. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Касающиеся окружности

Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку (точку касания).

1. Точка касания двух окружностей лежит на их линии центров.

2. Окружности радиусов r и R с центрами А и В касаются внешним образом тогда и только тогда, когда r+R=AB.

3. Окружности радиусов r и R (r< R) с центрами А и В касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда R-r=AB.

4. Окружности с центрами M и N касаютя внешним образом в точке К. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках А и В и пересекается с общей касательной, проходящей через точку К, в точке С. Тогда углы АКВ и MCN равны по 90 градусов.

Свойства хорд окружности

1. Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде.

2. Произведения длин отрезков хорд АВ и CD окружности, пересекающихся в точке Е, равны, то есть АЕ*ЕВ=СЕ*ЕD.

Формулы площади треугольника

 

Правильный многоугольник

Пусть а- сторона правильного n-угольника, а r и R - радиусы вписанной и описанной окружностей, тогда

 

Формула Герона

, где a, b, c, d –стороны этого четырехугольника, p-полупериметр, S-площадь

 

Треугольник

12Следующая ⇒

Поделиться: