Признаки равенства треугольников

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то треугольники равны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

1. По двум катетам.

2. По катету и гипотенузе.

3. По гипотенузе и острому углу.

4. По катету и острому углу.

Теорема о сумме углов треугольника и следствия из нее.

1. Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусов.

2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов.

3. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180(n-2).

4. Сумма внешних углов n-угольника равна 360 градусов.

5. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90.

6. Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны.

Неравенство треугольника и следствия из него.

1. Сумма двух сторон треугольника больше его третьей стороны.

2. Сумма звеньев ломаной больше отрезка, соединяющего начало первого звена с концом последнего.

3. Против большего угла треугольника лежит большая сторона.

4. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.

5. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.

6. Если из одной точки проведены к прямой перпендикуляр м наклонные, то

1)перпендикуляр короче наклонных

2) большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.

Средняя линия треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна ее половине.

Теоремы о медианах треугольника

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2: 1, считая от вершины.

2. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

3. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.

Теорема о высотах треугольника

Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Теорема о биссектрисах треугольника

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки пропорциональные двум другим сторонам.

Признаки подобия треугольников

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то треугольники подобны.

Площади подобных треугольников

1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

2. Если два треугольника имеют равные углы, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы.

В прямоугольном треугольнике

1. Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус противолежащего или косинус прилежащего к этому катету острого угла.

2. Катет прямоугольного треугольника равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего или котангенс прилежащего к этому катету острого угла.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы.

4. R=c: 2; r=(a+b-c): 2=p-с, где a, b-катеты, а с-гипотенуза; R-радиус описанной окружности, r- радиус вписанной окружности, p- полупериметр.

 

 

Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на гипотенузу.

 

Метрические соотношения в треугольнике

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Следствие из теоремы косинусов

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Обобщенная теорема синусов

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около треугольника.

 

Четырехугольник

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого параллельны.

Свойства и признаки параллелограмма

1. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.

2. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.

3. Противоположные углы параллелограмма попарно равны.

4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

5. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

6. Если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

7. Если диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Свойство середин сторон четырехугольника

Середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади четырехугольника.

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм с прямым углом.

Свойства и признаки прямоугольника

1. Диагонали прямоугольника равны.

2. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.

Квадрат

Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны.

Ромб

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства и признаки ромба

1. Диагонали ромба перпендикулярны.

2. Диагонали ромба делят его углы пополам.

3. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это параллелограмм-ромб.

4. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм-ромб.

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противоположные стороны ( основания) параллельны. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины непараллельных сторон (боковых сторон).

Теорема о средней линии трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

Замечательное свойство трапеции

Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Равнобедренная трапеция

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

2. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3. Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.

4. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

5. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали - полусумме оснований.

⇐ Предыдущая12

Поделиться: