Что можно сделать, чтобы легче и успешнее учиться

1. Полезно знать, что даже если преподаватель не формулирует требований, предъявляемых на экзамене, то почти наверняка применительно к любой технической дисциплине реализуется универсальный подход, который сводится к следующему. Чтобы получить оценку «удовлетворительно» (от 51 до 70 баллов) необходимо продемонстрировать ясное понимание смысла, значения всех терминов дисциплины, т.е. толково отвечать на вопросы «Что такое…?» Кроме того, необходимо знать (произносить соответствующие формулировки или записывать выражения) основные закономерности, принципы, теоремы, и комментировать их физическое содержание. Для хорошей оценки (от 71 до 85 баллов) надо в дополнение к предыдущему уметь доказывать теоремы, т.е. осмысленно воспроизводить соответствующие математические выкладки, уметь пояснять основные закономерности и взаимосвязи в пределах материала, изложенного в лекционном курсе, и решать несложные задачи. «Отлично» (от 86 до 100 баллов) получают те, кто могут все предыдущее, плюс способны обсуждать вопросы, не затронутые напрямую в лекциях и учебниках (лежащие, как я говорю, между строк), и решать задачи, требующие догадки, творческого подхода.

2. Полезно как можно скорее избавиться от вредных, парализующих волю комплексов, свойственных в основном слабым студентам. В этой среде прочно бытует представление о том, что «учи, не учи, а преподаватель может “завалить” любого студента». Быть может, такие настроения неизбежны, но поле для них резко сокращается, если студент информирован о том, что необходимо знать, чтобы гарантированно получить «тройку» (см. п.1), и, кроме того, представляет себе следующее.

С одной стороны, термины, определения, физические или функциональные характеристики в любой технической дисциплине играют ту же фундаментальную роль, что и строительные элементы (кирпичи, балки, бревна и т.д.) для сооружения, и их действительно важно знать. Именно поэтому на экзамене так часто звучит вопрос «А что такое…?».

С другой стороны, приятное и вдохновляющее обстоятельство состоит в том, что каждый термин, каждое определение содержит малое, легко исчерпаемое количество информации. Как ни парадоксально это звучит, но любой студент, способен и должен знать, что такое спектр сигнала, полосовой фильтр, вектор напряженности электрического поля, коэффициент направленного действия антенны и т.д., и т.п. ничуть не хуже, чем доценты, профессора или академики. А это уже половина «тройки».

3. Хороший студент имеет правильное суждение о том, знает ли он то, о чем его спрашивают. Поэтому иногда он отвечает: «Я этого не знаю». У слабого же студента по этому поводу полная неопределенность. Как правило, это следствие бессистемных занятий: попыток усвоить текущий материал без знания предыдущего, зачастую, более простого материала. Хороший совет таким студентам – выработать привычку, столкнувшись с трудностями, спросить себя: 1) понятны ли термины штудируемого текста; 2) ясно ли о чем идет речь (не в деталях, а в общем). При необходимости полистать учебник назад, а в критической ситуации искать чьей-то помощи. Ну и, конечно, тренировать свой внутренний голос: «Я это знаю. Я этого не понимаю». Такая стратегия учебы позволит не только успешнее, но и с меньшими временными затратами осваивать предметы и, как следствие, получать положительные экзаменационные оценки.

4. Рассмотрим соотношение между реальностью и ее описанием. Коллизия инженерии как детища прикладной физики и прикладной математики состоит в том, что ей приходится иметь дело с чем-то не до конца изученным. Например, электродинамика, исходя из постулатов макроскопичности, изучает проявления электромагнитного поля (ЭМП) и тем самым создает надежные основы развития техники высоких частот и антенн, не дожидаясь ответа на вопрос: «Как устроен этот особый вид материи, называемый ЭМП?». Вся радиотехника, включая мобильную радиосвязь, ставшую атрибутом современного быта, эксплуатирует это нечто, чему есть название «электромагнитное поле», но нет полной ясности, что же это такое. Философия инженерного мышления состоит в восприятии реального сложного и многообразного явления на уровне его проявлений. Закономерности этих проявлений, установленные достоверно, т.е. научно, открывают дорогу технике, использующей давно обнаруженные или только что открытые физические явления.

Переход от реальности к количественному описанию ее проявлений и соответствующих закономерностей начинается с введения сущностных измеримых характеристик того или иного явления. Инженеру полезно отдавать себе отчет в том, что выбор этих характеристик – дело человеческих договоренностей. Например, объективно, вне нашего восприятия вектор напряженности электрического поля, знаменитый вектор Е, не существует*. Есть свойство ЭМП оказывать силовое воздействие F на частицу вещества, расположенную в данной точке пространства и обладающую неким зарядом q. С учетом закономерностей, экспериментально обнаруженных Кулоном, оказалось целесообразным характеризовать это проявление ЭМП вектором E = F/q. Аналогично закон Ампера о силовом взаимодействии электрических токов привел к договоренности людей магнитное поле, связанное с токами, характеризовать вектором Н. Вектора Е и Н настолько полно характеризуют проявления ЭМП, что специалистами совокупность этих векторов воспринимается не только терминологически, но и по существу как собственно само ЭМП.

Такое отождествление используется сплошь и рядом. Мы говорим «передавать энергию», хотя самой по себе энергии нет и быть не может. Ведь она есть свойство вещества, тела или поля и в отрыве от своего носителя не существует. Подобно тому, как ваш рост, как ваш вес сами по себе, без вас не существуют. Или об информации часто говорят так, как если бы она была чем-то материальным и существовала сама по себе**. Надо понимать условность подобных выражений, используемых ради лаконичности речи, текста и мысли.

5. Строгость, точность и изобретательность. Для тренировки этих качеств, свойственных инженерному мышлению, полезны любые задачи, но более всего простенькие задачки с хитринкой. Ради конкретности и чтобы доставить удовольствие любознательным читателям, приведу пример такой задачи, не требующей знаний, выходящих за рамки школьной физики.

Рис. 1.3. Граница волны

Пусть слабенький передатчик мобильного телефона, имеющий мощность Р = 4 мВт, излучает изотропно* на частоте n = 1 ГГц. Оцените ту дальность R, на которой его поле представляет собой не сплошную электромагнитную волну, а дискретный поток фотонов (рис. 1.3). Учтите следующее: 1) ЭМП можно воспринимать как что-то сплошное, называемое волной, лишь при большой (если не огромной) плотности частиц поля – фотонов; 2) энергия фотона определяется формулой Э = hn, где h = 6,626 10^-34 Дж с – постоянная Планка, а n – частота фотона; 3) ЭМП распространяется в свободном пространстве в виде сферической волны. Конечно, эта задача не имеет однозначного ответа, поскольку понятию «дискретный поток фотонов» не дано количественного определения. В том и состоит ее ценность: надо самостоятельно принять решение, основываясь на здравом смысле и смекалке**.

Не удержусь от соблазна обратить внимание читателей на фантастически интересный Российский астрономический проект «MILLIMETRON» [5], среди уникальных по технической сложности составных частей которого ведущую роль играет 12-метровое охлаждаемое жидким гелием параболическое зеркало (рис. 1.4). Допуск на его точность и стабильность формы поверхности не превышает 10 мкм(!). Одна из целей проекта – обнаружить реликтовое излучение***. Уровень подобных излучений настолько мал, что в качестве приемников применяются счетчики фотонов.

Рис. 1.4. Эскизы антенны «Millimetron»

 

Именно это обстоятельство побудило меня задаться вопросом: «А на каком расстоянии от мобильного телефона невозможно принять его сигнал (и услышать речь) даже с помощью предельно чувствительного приемника, и следует обратиться к счетчикам фотонов, чтобы хотя бы зарегистрировать сам факт его работы?». Отсюда и возникла задача (см. рис. 1.3).

Другой пример − задача из электродинамики, которую трудно «расколоть» стандартными приемами, но легко открыть ключиком, добытым эвристически, в результате «догадки/озарения». Известно, что сумма двух произвольно ориентированных в пространстве и гармонически изменяющихся во времени векторов Е₁(t) и Е₂(t) при произвольных соотношениях их амплитуд и фаз есть вектор Е_∑(t), кончик которого описывает в пространстве эллипс (плоскую кривую). Спрашивается, что за кривая описывается вектором Е_∑(t) = Е₁(t) + Е₂(t) + Е₃(t), образованным суммой трех гармонически изменяющихся и произвольно ориентированных векторов? Намек: перейти к комплексным амплитудам векторов и помнить, что два произвольно ориентированных вектора с произвольным соотношением комплексных амплитуд порождают плоский эллипс в качестве временнóго годографа. Сильный намек найдёте на сайте www.choni.moy.su/ Примечание: конечно же, можно обойтись без комплексных амплитуд. Например, проверить, не является ли годограф плоской кривой, т.е. существует ли вектор N такой, что вектор Е_∑(t) перпендикулярен ему в любой момент времени. Если да, то до ответа «рукой подать». Но путь этот, на мой взгляд, хотя и годится, но менее изящен.

6. Для большинства студентов формула – это фетиш: ее нельзя вывести, можно только разыскать в учебнике. Во-первых, это неверно. Не существует учебников с ответами на все случаи жизни. А, во-вторых, не только возможно, но и практичнее понять общие принципы и закономерности дисциплины, запомнить небольшое число соответствующих им формул и соотношений. Это позволит вывести формулу для конкретного случая, не затрачивая время на обременительные, иногда бесполезные, поиски.

7. Зачастую студенты не умеют контролировать расчеты, находить ошибки и оценивать приемлемость результата. Существуют стандартные приемы, помогающие с этим справиться. Во-первых, это проверка размерностей. Она элементарно проста и очень эффективна.

Чтобы студенты прочувствовали важность уважительного отношения к размерностям, задаю вопрос: «Мне 70 лет, мой вес 100 кг. Можно ли утверждать, что мой вес больше моего возраста?» На робкий ответ многих из них: «Можно» − формулирую ситуацию иначе: «А что больше 70 лет или 0,1 тонны?» Подытожим. Сопоставлять, вычитать или складывать разноразмерные величины нельзя(!). С сообразительными студентами обсуждаем вопросы типа: «Почему можно умножать и делить разноразмерные величины?», «Почему безразмерная величина не есть число, т.е. имеет “безразмерную” размерность?»*

Если получилась формула, требующая вычислить синус от 3 кг, или логарифм от 1 мм, сложить векторы Е и Н или что-то еще в таком же роде – ничего не вычисляйте, проверьте выкладки, найдите ошибку. Если эта формула выписана из учебника, то, скорее всего, вы неправильно воспринимаете обозначения величин. Кроме того, хоть и мало вероятно, но и в учебниках случаются опечатки. Выполняя проект, рассчитывая параметры или характеристики каких-то устройств, записывайте окончательный результат с указанием размерности. Иначе получаются нелепости, и, скорее всего, руководитель ехидно спросит: «Дальность радиосвязи R = 50 – это в пределах дома, города или околоземного пространства? Мощность передатчика Р = 10 – это много или мало?» Ответ решающим образом определяется размерностью: м, км, тыс. км, мВт, Вт, кВт, МВт.

Во-вторых, полезна проверка формул для особых или предельных значений входящих в нее параметров, при которых известно, что должно получиться. Например, для случая короткого замыкания или разрыва, при нулевом значении параметра или при бесконечно большом, и т.д.

Выводы

Естественно, что инженерный стиль мышления формируется, воспитывается и тренируется в процессе изучения любой технической дисциплины, на любых учебных занятиях: на лекциях, в лабораториях, на практических занятиях и даже на экзаменах. Однако в наиболее концентрированном виде это происходит при выполнении курсовых проектов, если проектирование не сводится к действиям по шаблону, подробно изложенному в методическом пособии. Цель достигается, если преподаватель намеренно ставит студента в условия неоднозначного выбора и на всех этапах проекта играет активную роль то заказчика проекта, то опытного сослуживца, то вредного конкурента. Цель достигается с еще большим успехом, если сам преподаватель с азартом генерирует спонтанные идеи.

2. Полезные фрагменты базовых знаний

Чтобы с пониманием разобраться в предстоящих темах, нужны некоторые знания и умения, часть из которых лежит на периферии таких дисциплин, как математика, радиотехнические цепи и сигналы, и, как свидетельствует преподавательский опыт, у многих студентов недостаточны. Подготовленный читатель может пропустить эту часть. Однако раздел 2.3, на мой взгляд, всем стóит проработать или как минимум прочесть. В нем излагаются идеология и эффективные алгоритмы аппроксимации функций, служащие основой анализа, синтеза и проектирования не только антенн, но и многих других радиотехнических устройств. Минимум-миниморум, ориентированный на восполнение типичных изъянов студенческих знаний, сводится к следующему.

Комплексная алгебра

Комплексные числа (КЧ) или величины играют фундаментальную роль во множестве дисциплин, хотя бы потому, что открывают путь чрезвычайно удобному способу анализа гармонических процессов. Абсолютно необходимые базовые представления здесь просты, их мало и сводятся они к следующему:

· алгебраическая и показательная (тригонометрическая) формы записи КЧ, графическое изображение КЧ на комплексной плоскости (КП);

· формула Эйлера e^{j φ} = cos ( φ ) + j sin ( φ );

· комплексная арифметика – сложение, перемножение, деление;

· наконец, возведение в степень и извлечение корня*.

Если вы затрудняетесь представить в алгебраической форме следующие числа  вычислить 1/(3 – j4) =.., e^(ln(e)+j) =.., упростить выражение (e^jx − e ^{− jx})/(e^jx + e ^{− jx}) =…, то вам полезно внимательно прочесть текст, набранный мелким шрифтом, или зайти на сайт [4] в меню «Общее: / Комплексная алгебра» и выполнить простенькие упражнения и проверочные тесты Комплекс_1 и/или Комплекс_2.

Комплексное число

o Все начинается с понятия мнимая единица j – это абстрактное нечто, квадрат которого есть –1: j² = –1. По-другому, . Из этого определения непосредственно следуют равенства:  j^2k = (j²)^k = (−1)^k; j^2k+1 = j^2k j = j(−1)^k .

o Комплексным называют число, содержащее реальную (вещественную) и мнимую части a = a΄ + ja˝. В пределах текущего подраздела для обозначения КЧ используется подчеркивание. Ради компактности записей вместо обозначений Re( a), Im( a) будут использоваться символы «΄» и «΄΄» соответственно для реальной и мнимой частей КЧ.

o Два КЧ называют комплексно сопряженными, если они отличаются лишь знаком мнимой части: a = a΄ + ja˝ , a^* = a΄ − ja˝ . Звездочка ^* – это символ комплексного сопряжения.

Операции с КЧ в алгебраической форме

§ Суммирование КЧ осуществляется по правилу: a = ∑a _n = ∑a_n΄ + j∑a_n˝ , т.е. реальные и мнимые части КЧ складываются порознь (!). Вопросы для самопроверки: Может ли сумма двух КЧ с ненулевыми мнимыми частями быть числом вещественным? Может ли при суммировании двух КЧ с ненулевыми реальными частями получиться мнимое число? Чему равна сумма двух КЧ: a₁ = 35 – j 15 и a₂ = − 25+ j 5?

§ Умножение или деление КЧ а на вещественное число b означает соответственно умножение или деление и реальной, и мнимой частей КЧ на вещественный сомножитель: b a = b a΄+ j b a˝;  a / b = a΄/ b + j a˝/ b.

§ При вычитании двух комплексных чисел их реальные и мнимые части вычитаются порознь. Задание. Вычислите a₁ − a₂ , где a₁ = 35 – j15  и  a₂ = –25 + j 5. 

§ Произведение двух КЧ соответствует обычному правилу раскрытия скобок, причем с мнимой единицей  j  обращаются  как  с коэффициентом и учитывают, что j² = –1: a = a₁ a₂ = (a₁΄+ j a₁˝) (a₂΄+ j a₂˝) = (a₁΄a₂΄- a₁˝a₂˝) + j (a₁΄a₂˝ + a₁˝a₂΄). Это легкое правило следует усвоить крепко-накрепко и лучше не запоминать последнюю формулу, а всякий раз раскрывать скобки, не забывая про j² = –1(!). Задания для самоконтроля. Запишите в алгебраической форме результат возведения КЧ в квадрат: a² = aa = (a΄+ ja˝) (a΄+ ja˝) = ? . Вычислите (1 + j) (2 − j) =? . Вычислите значение (−3 − j) (2 + j2) =? . Вычислите (1 + j) (1 – j) =? . Убедитесь в том, что произведение КЧ на комплексно сопряженное – есть число вещественное. Для этого продолжите запись в алгебраической форме произведения aa^* = (a΄+ ja˝) (a΄− ja˝) =?

Найдите КЧ а = j^1/2. Конечно, возводить КЧ в любую степень (в том числе извлекать корень квадратный) проще, если перейти к показательной форме КЧ. Но сформулированную задачу несложно и интересно решить в алгебраической форме. Для этого переформулируйте задачу как а² = j, после чего приравняйте вещественную часть квадрата (a΄+ ja˝) (a΄+ ja˝) нулю, а его мнимую часть приравняйте 1. Получается система двух уравнений настолько простая, что ее и решать-то не приходится: «невооруженным  глазом» видно,  что   a΄ = a˝ и (a΄)² = (a˝)² = 1/2, таким образом, j^1/2 = 0,7071 + j 0,7071. Еще умнее записать j^1/2 = ± (0,7071 + j 0,7071).

§ Деление двух КЧ выполняют так: и числитель, и знаменатель умножают на комплексно сопряженный знаменатель, сводя дело к делению на вещественное число: 

a = a₁ / a₂ = (a₁ a₂^*) / (a₂ a₂^*) = (a₁΄+ ja₁˝) (a₂΄− ja₂˝) / ((a₂΄+ ja₂˝) (a₂΄− ja₂˝)) =

= (a₁΄a₂΄ + a₁˝a₂˝) / (a₂΄²+a₂˝²) + j(a₁΄a₂˝ − a₁˝a₂΄) / (a₂΄²+a₂˝²).

Это правило следует усвоить, и вновь-таки едва ли стоит запоминать последнюю формулу. Лучше (и надежней!) всякий раз повторять процедуру, умножая числитель и знаменатель на комплексно сопряженный знаменатель и т.д. Задания для самоконтроля: Найдите результат (1+ j) / (1– j) =? Вычислите (1 + j) / (2 – j) =? Вычислите (–3 – j) / (2 + j2) =?

Операции с КЧ в показательной форме

§ Формула Эйлера e ^jα = cos(α) + j sin(α) не только привносит красоту и порядок в комплексную алгебру, но чрезвычайно полезна в практическом отношении, так как существенно облегчает многие вычислительные операции. Поэтому ее надо помнить. Задания для тренировки. Запишите в алгебраической форме КЧ exp(j30^°) = ? , exp(jπ/2) = exp(j90^°) = ? , exp(–j45^°) = exp(–jπ/4) =? , exp(jπ ) = exp(j180^°) = ? Информация для любопытных и сообразительных. Формула Эйлера – это всего лишь обобщение экспоненциальной функции на случай чисто мнимого аргумента. В самом деле, воспользуемся разложением exp(x) = S xⁿ/n!  и заменим x на jx. Учтем, что для четных n = 2k имеем  jⁿ = (–1)^k и соответственно jⁿ = j (–1)^k для нечетных n = 2k+1. Тогда exp(x) = S (–1)^k x^{2 k}/(2k)! + j S (–1)^k x^2k+1/(2k+1)!. А теперь вспомним разложения cos(x) = S (−1)^k x^2k/(2k)! и sin(x) = S (–1)^k x^2k+1/(2k+1)!  Формула Эйлера доказана!

§ Показательная форма записи КЧ: a = М e ^jα – непосредственно следует из формулы Эйлера. М называют модулем КЧ, а α – аргументом КЧ.

Действительно, любое КЧ a = a΄ + ja˝ можно, умножив и разделив на модуль М = , представить в виде a = М e ^jα, где

α = arctg(a˝/a΄) = arccos(a΄/M) = arcsin(a˝/M).

Причем, учитывая знаки реальной (косинус) и мнимой (синус) частей, необходимо восстанавливать полное значение α (в интервале 0° ÷ 360° или ±180°), исходя из главного значения обратных тригонометрических функций, вычисляемого калькулятором. Задания для самопроверки. Запишите  в показательной  форме следующие  КЧ:  (1 – j) =?, (−3 + j4) =?, (–3 – j4) =?, (3 + j4) =?, (3 – j4) =?.

Комплексная плоскость

Комплексная плоскость (КП) вводится для наглядного графического представления КЧ и операций с ними.

§ По горизонтальной оси декартовой системы координат откладывают вещественную часть КЧ, а по вертикальной – мнимую. Причем масштабы по обеим осям одинаковы, это принципиально! Тогда каждому КЧ соответствует определенная точка (или вектор) на КП (рис. 2.1). Показательной форме записи КЧ соответствуют полярные координаты соответствующей точки: М – это длина радиус-вектора точки, а α – его угол.

Рис. 2.1.  Комплексная плоскость

§ Сложение КЧ соответствует обычному правилу сложения векторов: конец первого вектора служит начальной точкой второго и т.д. Это дает наглядную интерпретацию процесса суммирования и служит способом графического построения суммы КЧ.

§ Произведение двух КЧ образует вектор под углом, равным сумме углов сомножителей α = α₁ + α₂, а его модуль равен произведению их модулей М = М₁М₂. Здесь графические образы тоже полезны, хотя не столь наглядны, как при сложении.

§ Возведение КЧ в квадрат дает вектор под удвоенным углом с модулем, равным квадрату исходного модуля (результирующий модуль увеличится, если исходный модуль больше 1, и уменьшится в противном случае). Извлечение квадратного корня из КЧ, как обратная процедура, приводит к вектору по биссектрисе исходного угла с модулем, равным .

§ КЧ e^jα – есть точка под углом α на окружности единичного радиуса.

§ КЧ (e^jα)^1/2 имеет два значения: или e^jα/2, или e^{j (α/2+π)}, так как при возведении в квадрат оба ответа дают одно и то же КЧ e^jα (формально, их аргументы отличаются на 2π = 360°). В частности КЧ  = (e^j90°)^1/2 соответствует двум точкам на единичной окружности: под углом 45 и 225 , а потому их декартовы координаты (алгебраическая форма двух КЧ) есть  ± (0,7071 + j 0,7071).

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: