Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Понятие расстояния. Функциональные пространства
Задумайтесь над вопросом «Что такое пространство?» Попробуйте дать определение не с позиции его физической сути (пустота ли это, особый ли вид материи, называемой эфиром), а в сугубо обыденном смысле как универсального вместилища (контейнера без границ) для всего существующего. Кстати, любой материальный объект, существуя в пространстве, и сам имеет пространственные свойства. Так какой же смысл стоит за нашим интуитивным понятием пространства, пространства, в котором мы живем? Математика с исключительной изящностью отвечает на этот вопрос: пространство Х – это множество* точек {х}, каждой паре из которых сопоставляется число, называемое расстоянием ρ(xi , xj) или метрикой пространства. Расстояние, точнее правило его определения, должно удовлетворять следующим аксиомам: для произвольных точек xi , xj , xk из Х · расстояние – положительная вещественная величина, т.е. ρ(xi , xj) ≥ 0; · если xi = xj, то ρ(xi , xj) = 0, и наоборот(!) (аксиома тождества); · ρ(xi , xj) = ρ(xj , xi) (аксиома симметрии); · ρ(xi , xj) ≤ ρ(xi , xk) + ρ(xk , xj) (аксиома/неравенство треугольника). Первое свойство (о неотрицательности расстояния) математики опускают [10], так как оно вытекает из остальных аксиом. Действительно, записывая аксиому треугольника при xi = xj и учитывая, что в этой ситуации ρ(xi , xj) = 0, а расстояние от xi до xk такое же, как и от xk до xi, получаем 0 ≤ 2ρ(xi, xk), т.е. ρ(xi, xk) ≥ 0. Но для нас, инженеров, это важное свойство полезно упомянуть в явном виде, поскольку оно составляет важный фрагмент интуитивных человеческих представлений о расстоянии между точками в пространстве. Совершенно очевидно, что эти аксиомы – не изобретение математиков. Это формализация нашего интуитивного восприятия пространства и расстояния в нем. В частности, неравенство треугольника соответствует тому факту, что путь от xi до xj короче или хотя бы не длиннее, чем путь, пройденный сначала от xi до xk, а потом от xk до xj. После того, как интуитивное трансформировано в четкие математические соотношения, открываются колоссальные возможности использовать понятие расстояния в качестве количественной меры близости элементов любой природы, в частности, функций. Рассмотрим множество F функций f ( x ), называя и относясь к конкретной функции fi ( x ) как к абстрактной точке fi. Если определить какое-то правило, по которому для каждой пары элементов множества F сопоставляется (вычисляется) величина ρ( fi , fj ), удовлетворяющая перечисленным аксиомам, то тем самым будет введено понятие расстояния между точками множества F (расстояние между функциями!), превращающее это множество в пространство функций – функциональное пространство. Тогда открывается возможность формулировать и решать задачи о наилучшем приближении к требуемой функции (в смысле выбранной меры близости-расстояния). Поскольку лингвистически словосочетание «расстояние между двумя функциями» звучит странно, то применительно к функциональному пространству принято пользоваться более абстрактным термином «метрика». Среди большого числа возможных вариантов метрик и порождаемых ими функциональных пространств чаще других используются две метрики. Во-первых, это метрика, определяемая равенством: , (2.7) имеющая смысл среднеквадратичного отклонения функций. Во-вторых, это метрика, определяемая равенством: , (2.8) имеющая смысл максимального отклонения функций. Эта метрика называется линейной. Ортогональность функций Другим, пожалуй, даже более впечатляющим примером исключительно плодотворного заимствования характеристик нашего евклидова пространства в интересах абстрактных математических пространств служит понятие ортогональности, в частности, ортогональности функций. В евклидовом пространстве каждая точка х может быть определена радиус-вектором х − направленным отрезком из начала системы координат к этой точке. Свойство перпендикулярности векторов играет очень важную роль. Для того чтобы произвольный вектор х представить суммой базисных векторов {xn}: х = ∑а n xn – чрезвычайно удобно использовать систему взаимно перпендикулярных единичных векторов {xn}, образующих так называемый ортонормированный базис. Дело в том, что в этом случае каждый из коэффициентов разложения а n определяется независимо от других, как проекция вектора х на базисный вектор xn: а n = (x, xn) = ∑а k xnk. Если же базисные векторы не перпендикулярны друг другу, то процедура поиска коэффициентов а n значительно усложняется и сводится к составлению и решению системы алгебраических уравнений. Естественно, и в функциональном пространстве процедура разложения произвольной функции f(x) по системе базисных функций f(x) = ∑а n fn(x) играет такую же важную роль, как и в векторном пространстве. Заманчиво, чтобы базисные функции обладали таким же свойством взаимной «перпендикулярности». Но как это свойство определить? Можно ли ввести понятия «угол» между функциями и их «перпендикулярность»? Этот вопрос, пожалуй, посложнее вопроса о расстоянии между функциями. Воспринимая расстояние как количественную меру отклонения функций друг от друга, не так уж и трудно догадаться использовать среднеквадратичное отклонение в качестве этой меры. Чтобы ввести понятие перпендикулярности функций требует существенно более изощренная идея. В математике эта проблема решена через обобщение понятия скалярного произведения. Для векторов евклидова пространства скалярное произведение вводится следующим образом: (x1, x2) = |x1| |x2| cos(α), где x1 и x2 – произвольные векторы, а α – угол между ними. Из геометрического смысла скалярного произведения вытекает ряд свойств, главные из которых сводятся к следующему. Если один из векторов образован суммой векторов, то скалярное произведение равно сумме скалярных произведений (свойство линейности). Если векторы x1 и x2 одинаковы (x1 = x2 = x), то скалярное произведение – не отрицательная величина, равная квадрату модуля вектора: (x, x) = |x|2 (свойство положительной определенности), и равенство (x, x) = 0 выполняется только в случае нулевого вектора x ≡ Ø. Кроме того, ясно, что |(x1, x2)| ≤ |x1| |x2|, т.к. cos(α) ≤ 1. Перпендикулярность не нулевых векторов x1 и x2 проявляется в том, что их скалярное произведение обращается в нуль, поскольку cos(α) = 0 при α = 90°. Перенося эти смысловые свойства в понятие скалярного произведения для пространства из элементов произвольной природы, в частности для пространства F комплексно-значных функций, математики определяют его так: комплексное число, сопоставляемое любой паре функций f1 = f1(x) и f2 = f1(x) и обозначаемое (f1, f2), является их скалярным произведением, если выполняются следующие условия: · для любых трех элементов f1, f2 и f пространства F и любых чисел α и β справедливо равенство (α f1 + β f2, f) = α(f1, f) + β (f2, f) (линейность скалярного произведения по первому аргументу); · для любых элементов f1 и f2 справедливо равенство (f1, f2) = = (f2, f1)*, где знак * обозначает комплексное сопряжение; · для любого элемента f имеем (f, f) ≥ 0, причем (f, f) = 0 только для нулевого элемента f ≡ 0 (положительная определенность скалярного произведения). Величина || f || = (f, f)1/2 называется нормой элемента f (в частности, функции) и играет роль, аналогичную модулю вектора. Норма разности элементов удовлетворяет всем аксиомам метрики и тем самым порождает соответствующее пространство, в котором расстояние определено как ρ(f1, f2) = || f1 − f2|| = (f1 − f2, f1 − f2)1/2. Ненулевые функции f1 и f2, скалярное произведение которых равно нулю |(f1, f2)| = 0, по лингвистическим соображениям называют не перпендикулярными, а ортогональными. Причем ясно: эти термины являются синонимами настолько абсолютными, что и применительно к векторам термин «ортогональность» широко используется, например, о системе взаимно перпендикулярных ортов говорят не иначе, как ортогональная система координат. Для функций f(x), интегрируемых в квадрате на интервале (a, b), скалярное произведение может быть определено (и чаще всего определяется) следующим образом: (f1(x), f2(x)) = . (2.9) Убедитесь в том, что метрика ρ(f1(x), f2(x)) = (f1(x) − f2(x), f1(x) − f2(x))1/2, порождаемая скалярным произведением (2.9), совпадает с метрикой (2.7). Сделать это легко, если понимать, что f(x) f *(x) = |f(x)|2. В случае векторного пространства исключительный интерес представляют ортогональные системы координат, порождающие совокупность взаимно ортогональных ортов* {ξj} (j = 1,...,N), т.е. векторов, удовлетворяющих условию (ξj, ξi) = δji, где δji = − так называемый символ Кронекера. В этом случае для произвольного вектора А коэффициенты αj его разложения А = ∑αj ξj по базисным ортам {ξj} вычисляются очень просто: αj = (А, ξj). Аналогичную роль в N-мерном функциональном пространстве играют ортонормированные базисы, образованные совокупностью N взаимно ортогональных нормированных функций {fj(x)}, т.е. функций, удовлетворяющих аналогичному условию (fj(x), fi(x)) = δji. Если скалярное произведение определено равенством (2.9), то функции {fj(x)} должны удовлетворять условию = δji. При этом произвольная функция f(x) этого пространства представляется разложением f(x) = ∑αj fj(x), где αj = (f(x), fj(x)) = .
|
Последнее изменение этой страницы: 2019-03-22; Просмотров: 420; Нарушение авторского права страницы