Фильтр низких частот и переходные процессы в нем

Рис. 2.2. Фильтр низкой частоты

Для анализа переходных процессов в адаптивных антенных решетках (ААР) потребуются четкие представления о свойствах и способах описания одного из самых простых и распространенных элементов радиоэлектронных цепей − RC-фильтра низких частот (ФНЧ) [6, 7]. На мой взгляд, чтобы не перегружать память, по поводу ФНЧ достаточно помнить графический образ, представленный на рис. 2.2, и уметь на этой основе записывать временные соотношения. Минимум необходимых знаний приводится мелким шрифтом.

Зависимость между входным x(t) и выходным y(t) сигналами RC-фильтра ФНЧ, полностью определяющая его свойства, проще всего описывается уравнением в операторной форме [6]:

или (1 + T_фp) y(p) = K_ф x(p),                             (2.1)

где p =  − оператор дифференцирования; К_ф, Т_ф – параметры ФНЧ: коэффициент передачи (или усиления в активном варианте фильтра) и постоянная времени, соответственно; x(p), y(p) – изображения (по Лапласу) входного и выходного сигналов. Для пассивного RC-фильтра К_ф = R_н / (R + R_н),  Т_ф = R C. Уравнение ФНЧ во временной области получается из формулы (2.1) заменой р на d/dt:

y(t) + T_ф dy(t)/dt = K_ф x(t).                                   (2.2)

Если на входе ФНЧ действует ступенчатая функция  то, как это видно из формулы (2.2) , при dy(t)/dt = 0 установившееся состояние на выходе ФНЧ у_∞ = y(t =∞) соответствует значению К_ф А, где А – это амплитуда ступеньки. Наконец, помня, что переходный процесс на выходе ФНЧ определяется экспонентой с постоянной времени Т_ф, легко (не по памяти, а по смыслу!) с учетом нулевого начального y | _t=0= 0 и конечного y_∞ = К_ф А значений записать формулу:

.                                          (2.3)

Кроме того, если в момент подачи ступенчатой функции на выходе ФНЧ было значение у₀, то понятно, что выходной процесс складывается из экспоненциального угасания начального значения и отклика ФНЧ на ступеньку

.                                   (2.4)

Обратите внимание на то, что уравнение (2.2) высвечивает и другую роль постоянной времени T_ф – уравнивать размерности слагаемых в правой части этого уравнения и, как следствие этого, превращать показатель временной экспоненты  в безразмерное отношение. Не упущу возможности высказать парадоксальную мысль, что эта никогда не упоминаемая формальная роль постоянной времени T_ф важнее ее смысловой роли – отвечать за скорость протекания процессов на выходе ФНЧ. Потому, что терялся бы сам смысл* уравнений (2.1) и (2.2), а вместе с этим обесценивались бы все формальные решения. Действительно, как вычислить значение , и отличается ли оно от значения ?

Рис. 2.3. Интегратор, охваченный отрицательной обратной связью

Также необходимо знать (или убедиться в том), что идеальный интегратор с отрицательной обратной связью (рис. 2.3) эквивалентен ФНЧ.

Быть может, было бы даже чуть-чуть проще анализировать схему рис. 2.3 с использованием ее операторного описания, когда идеальному интегратору соответствует передаточная функция , но ради разнообразия и расширения арсенала приемов выполним анализ во временной области без перехода к изображениям сигналов. Итак, в путь! Идеальному интегратору* соответствует уравнение

.

С учетом очевидной взаимосвязи = x(t) – К_И y(t) оно преобразуется к виду

.

После дифференцирования и умножения обеих частей равенства на величину Т_И/К_И получаем дифференциальное уравнение

,                              (2.5)

которое совпадает с уравнением (2.2) для ФНЧ при постоянной времени Т_ф = Т_И/К_И и коэффициентом передачи К_ф = 1/К_И.

 

Простенькие упражнения для тренировки навыков и сообразительности

1. Поразмышляйте, что будет, если уравнение идеального интегратора записать в виде ? Учтите, что, с одной стороны, в формулах могут фигурировать размерные коэффициенты, которые, имея значение, равное единице, в формулах не пишутся, но присутствуют(!). А с другой – размерности входа и выхода любого функционального элемента, интегратора в частности, могут быть разными. Итог размышлений обсуждаемой формы описания интегратора, на мой взгляд, сводится к следующему. Упрощенная запись исходного уравнения возможна, но затрудняет не только понимание результатов, но и сами вычисления. Дело в том, что приходится учитывать, в каких единицах (секундах, минутах, микросекундах и т.д.) исчисляется время для подынтегральной функции, и вычислять e^{- t}, пользуясь безразмерным временем, нормированным к этой единице.

2. Используя описания в рамках преобразования Лапласа, докажите утверждение о том, что отрицательная обратная связь превращает интегратор в ФНЧ.

3. Без вывода формулы (2.5) из элементарных физических рассуждений по поводу функционирования схемы рис. 2.3, как говорят, «на пальцах» докажите, что если на ее входе действует постоянный сигнал x(t) = A, то на выходе установится* постоянное значение y(t) = A/К_И. Тем самым формула К_ф = 1/К_И будет обоснована в обход математическим выкладкам.

4. Как и в предыдущем пункте, без аналитических выкладок покажите, что если на вход схемы подана ступенчатая функция с амплитудой А и в начальный момент времени на выходе интегратора значение равно нулю, то сигнал y(t) непрерывно нарастает со снижающейся скоростью роста** и устремляется к значению A/К_И. В поисках доводов полезно «стать компьютером», моделирующим уравнение идеального интегратора дискретными разностями для моментов времени t_k = k ∆t:

 y(t_{k +1}) = y(t_k) +  = y(t_k) + [x(t_k) – K_И y(t_k)] ∆t/T_И .                 (2.6)

Для этого примите, например, К_И = 2. Если хотите*, назначьте значение Т_И. Его придется выбирать наугад. Сообразительным студенткам или студентам не надо объяснять, что в рассматриваемом случае важно не само по себе значение постоянной Т_И, а безразмерная величина: отношение ∆t/Т_И. При реальном компьютерном моделировании ∆t/Т_И лежит в диапазоне 10^-6 ÷ 10^-3 (естественно, чем меньше это отношение, тем выше точность моделирования). Для того чтобы, исполняя роль компьютера, вам не «перегреться» и не «зависнуть», можно положить ∆t/Т_И = 0,1 (умножать проще). Амплитуду А не только можно, но и целесообразно принять за единицу потому, что при этом результат для y(t) получится универсальным: в долях А. Наконец, учтите, что начальные значения (при k = 0) равны y(t₀) = 0, .

Выполните рекурсии (2.6) для четырех − шести шагов, занося результаты в табл. 2.1.

Таблица 2.1

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: