Одномерные законы распределения, математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Случайная величина (СВ) имеет следующее «наивное» или «инженерное» определение: это такая величина, которая при проведении опыта принимает некоторые заранее неизвестные значения из определённого диапазона. В теории вероятности даётся аксиоматическое строгое определение случайной величины: это измеримая функция на вероятностном пространстве. Основным в этом определении является построение соответствующего вероятностного пространства. Иначе вероятностное пространство можно назвать пространством реализаций исходов некоторого эксперимента.

Дополнительно определяется множество подмножеств вероятностного пространства, для которых определены вероятности принадлежности исходов испытаний к ним. Это множество согласно естественному интуитивному пониманию вероятности обладает свойствами аддитивности и дополнительности, и они же составляют математическую основу теории. Формально это множество подмножеств называется -алгеброй, вероятности на этой -алгебре определяются мерой, которая называется распределением вероятностей, а определённые на нём измеримые функции (для которых определёно суммарное значение или интеграл) – случайными величинами. Мера сначала определяется на элементарных множествах (событиях), затем расширяется до всех счётных объединений и пересечений (то, что получается, называется борелевскими множествами), наконец доопределяется мерой 0 для всех подмножеств измеримого (для которого определена мера) множества A, меры 0.

Простым примером дискретного вероятностного пространства даёт схема Бернулли – последовательность из n бросков монеты. Элементом пространства является последовательность из n исходов бросаний. Примерами непрерывного вероятностного пространства являются значения силы, направления и вектора ветра, рассеяние на плоскости снаряда при стрельбе.

Случайной функцией (СФ) называется функция, которая при каждом значении аргумента является случайной величиной (СВ). СФ для аргумента время t называется случайным или стохастическим процессом (СП).

Случайная функция, зарегистрированная по результатам опыта, называется реализацией случайной функции:  – реализация случайного процесса .

Для СВ и СФ определены следующие основные понятия: функция распределения, плотность функции распределения, математическое ожидание, дисперсия (среднеквадратичное отклонение), начальные и центральные моменты, независимые случайные величины, нормальное распределение и нормальный процесс, «правило 3 » [1].

Функцией распределения (или интегральным законом распределения – ИЗР) называется функция

,                                                                 (2.1.1)

т.е. вероятность того, что возможные значения случайной величины X будут меньше некоторого текущего значения x.

Очевидны следующие свойства функции распределения:

1.  – неубывающая функция;                                                   (2.1.2)

2. ;                                                              (2.1.3)

3.                                                               (2.1.4) – вероятность нахождения случайной величины X в интервале .

Плотностью функции распределения (или дифференциальным законом распределения – ДЗР) называется функция

.                                                                   (2.1.5)

Отсюда

.                                                               (2.1.6)

Математическим ожиданием неслучайной функции  СВ X называется

.                                                             (2.1.7)

Начальным моментом k-го порядка СВ X называется МО неслучайной функции

.                                                   (2.1.8)

Математическим ожиданием (МО) СВ X называется МО неслучайной функции

.                                                       (2.1.9)

Центральным моментом k-го порядка СВ X называется

. (2.1.10)

Дисперсией называется второй центральный момент СВ X

.                               (2.1.11)

Дисперсию обычно вычисляют по основной формуле:

(2.1.12)

Средним квадратичным отклонением (СКО) называется

.                                                                       (2.1.13)

Физический смысл математического ожидания хорошо виден на эксперименте с дискретными значениями. Пусть СВ  приняла значение  раз. Тогда среднее значение СВ  и есть математическое ожидание (МО):

,                                  (2.1.14)

где  – относительная частота принятия СВ  значения .

Свойства математического ожидания СВ  (  – неслучайная величина):

1. ;                                                                               (2.1.15)

2. ;                                                                     (2.1.16)

3.  – для независимых СВ;                         (2.1.17)

4. .                                                          (2.1.18)

Одним из наиболее важных законов распределения СВ является нормальный (или Гауссовский) закон распределения с плотностью

.                                                       (2.1.19)

При этом,  – его математическое распределение и дисперсия. Он является основным, унифицирующим, вероятностным законом природы, так как доказывается, что сумма независимых случайных величин с произвольными законами распределениями в пределе даёт нормальный закон.

Вероятности нахождения СВ в полосе  составляют 68%, 95%, 99.7%, соответственно.

Докажем, что функция (2.1.19) есть плотность распределения, т.е. интеграл от неё равен 1 (остальные свойства плотности – тривиальны).

Для этого, сначала вычислим

.                                                                        (2.1.20)

Рассмотрим два таких интеграла для переменных x и y, рассмотрим также плоскость этих переменных, введём на ней полярные координаты и подсчитаем двойной интеграл на этой плоскости.

                                                   (2.1.21)

. (2.1.22)

Отсюда,

.                                                                (2.1.23)

Теперь вычислим интеграл плотности

               (2.1.24)

(Здесь .)

Все вышеприведённые понятия, очевидно, имеют место и для случайных процессов (функций), но не в виде постоянных величин, а как функции времени или другого параметра. Кроме того, необходимой основной характеристикой случайного процесса является корреляционная функция, характеризующая связь случайных величин при разных моментах времени:

.                    (2.1.25)

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: