Статистический анализ линейных систем, основанный на описании векторно-матричным дифференциальным уравнением во временной области в пространстве состояний

Рассмотрим линейную систему, описанную уравнениями в пространстве состояний.

                                         (1.4.1)

Здесь  – вектор входа,  – вектор состояния системы.

Возьмём входные вектор математического ожидания и корреляционную матрицу:

. (1.4.2)

.                       (1.4.3)

Далее, как правило, будем считать начальное условие  и входной сигнал  некоррелированными (что часто допустимо во многих задачах)

Теперь получаем на выходе, пользуясь, как обычно, линейностью системы и математического ожидания (интеграла):

                                     (1.4.4)

Выражение для дисперсии выходного сигнала равно по определению

.                                                     (1.4.5)

Продифференцируем это равенство:

.                             (1.4.6)

Теперь используем уравнения в пространстве состояний и транспонированное уравнение для получения производной корреляционной функции, получая уравнение для центрированных величин вычитанием из основного уравнения (1.4.1) уравнения для математических ожидания (1.4.4):

,                                     (1.4.7)

.                               (1.4.8)

Теперь подставим эти выражения для производных в продифференцированное равенство для дисперсии (1.4.6)

.                (1.4.9)

Вычислим математические ожидания в этой формуле, используя выражение для решения дифференциального уравнения (1.4.1) в пространстве состояний с помощью матрицы перехода (фундаментальной матрицы решений)

                                       (1.4.10)

и пользуясь некоррелированностью :

(1.4.11)

Аналогичное соотношение имеет место и для транспонированного выражения:

                               (1.4.12)

Окончательно имеем:

   (1.4.13 )

Чтобы получить классическое дисперсионное уравнение необходимо сделать ещё одно упрощение: входной процесс векторный белый шум, с белой связью между компонентами:

,                                                                   (1.4.14)

.                                                 (1.4.15)

Тогда уравнения (1.4.11)-(1.4.12) переходят в

(1.4.16)

Здесь учтено, что дельта-функция сосредоточена на границе интеграла, а не в его центре – что даёт коэффициент 1/2, вместо 1, а также равенство матрицы перехода единичной в начальный момент, т.е. .

В итоге уравнение (1.4.13) переходит в классическое дисперсионное уравнение:

.                  (1.4.17)

Вычислим теперь выражение для корреляционной матрицы  через дисперсионную матрицу  (которая определяется уравнением (1.4.17), т.е. входом также является белый шум). Начнём с формулы (1.4.10) для решения дифференциального уравнения (1.4.1) в пространстве состояний для двух моментов времени t и τ. При этом, чтобы устранить зависимость вычислений от взаимного расположения этих времён (t > τ или t < τ) введём вспомогательную диагональную матричную функцию , где

.                (1.4.18 )

Тогда имеем (одно из двух основных слагаемых равно 0, в зависимости от соотношения между t и τ)

(1.4.19)

 Теперь заметим, что здесь первый и третий члены содержат дисперсию, и покажем, что второй и четвёртый члены равны 0. Вычислим

(1.4.20)

Последнее равенство имеет место так как аргумент -функции .

Окончательно (1.4.19) преобразуется в формулу для корреляционной функции

.      (1.4.21)

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: