Математическое описание динамических систем. Определение 3.1.1. Общей динамической системой называется уравнение. Под системой в математике и технике обычно понимают любую физически реализуемую

Под системой в математике и технике обычно понимают любую физически реализуемую систему. Общая теория систем является обобщением математической теории динамических систем. Основы этой общей теории заложил Калман в 1940 году, который ввёл следующее общее определение.

Определение 3.1.1. Общей динамической системой называется уравнение, связывающее вход, состояние и выход  с помощью отображений :

.                                                (3.1.1)

Содержательно система определяется отображением , которое называется моделью системы.

Важным свойством динамической системы является условие согласованности перехода:

.                               (3.1.2)

Типовым примером динамической системы является обыкновенное дифференциальное уравнение

,                                                                      (3.1.3)

дискретным аналогом которого является разностное уравнение

.                                                                  (3.1.4)

Линейные системы являются важнейшими, так как для них имеется мощная математическая теория, с одной стороны, и они являются основой и для нелинейных систем, с другой стороны. Линейные системы разбиваются на два основных класса: стационарные и нестационарные. Теория стационарных систем достаточно проста, полна и компактна, в то же время теория линейных нестационарных систем значительно сложнее и продолжает развиваться. Существуют несколько способов описания линейных систем, почти совпадающих для стационарного и нестационарного случая, которые используются при описании разных методов исследования детерминированных и случайных сигналов. Рассмотрим их:

– формализм общей динамической системы;

– скалярное обыкновенное дифференциальное уравнение;

– система дифференциальных уравнений в пространстве состояний;

– интегральное уравнение.

Прежде всего, будем исходить из определения 3.1.1 общей динамической системы, которое в линейном случае имеет вид:

                                        (3.1.5)

Если система конечномерна, то  являются матрицами. А по теореме о представлении функционалов в пространствах функций  будет интегралом от матрицы:

                                               (3.1.6)

Последние уравнения можно записать в виде одного равенства для выхода y( t):

.               (3.1.7)

Здесь

                                                                              (3.1.8)

– весовая (или импульсная переходная) матрица, представляющая собой реакцию на - функцию.

В случае преобразования случайного входного процесса  имеем интегральный оператор и выходной процесс :

.                                              (3.1.9)

В случае стационарной системы, когда импульсная переходная функция зависит только от разности аргументов, формула (3.1.9) переходит в интеграл Дюамеля (свёртку) для выражения выхода (отклика)   линейной динамической системы на входное воздействие  с помощью импульсной переходной функции  (переходной функции, ИПФ) и имеет вид:

.                                            (3.1.10)

Ещё одним важнейшим способом является векторно-матричное описание линейной системы в пространстве состояний (в виде системы дифференциальных уравнений для вектора состояния системы):

                                         (3.1.11)

Здесь Y( t) – входной сигнал. В более-менее подробных стандартных курсах теории автоматического управления показывается, что если пренебречь некоторыми нюансами, такое описание эквивалентно описанию с помощью скалярного обыкновенного дифференциального уравнения высокого порядка или даже передаточных функций для стационарных динамических систем (т.е. с постоянными коэффициентами).

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: