Классическое определение вероятности

Вероятность события численно характеризует степень возможности его появления в рассматриваемом опыте.

Пусть производится опыт с п равновозможными исходами, образующими полную группу несовместных событий. Такие исходы называются элементарными исходами (событиями), случаями, шансами. Случай, который приводит к наступлению события А, называется благоприятным (или благоприятствующим) ему.

Вероятностью события А называется отношение числа т случаев, благоприятствующих этому событию, к общему числу п случаев.

Такое определение вероятности называется классическим.

Из классического определения следуют свойства вероятности: (Ø ) = 0;  Р(Ω ) = 1; Р(А + В) = Р(А) + Р(В), если А · В = Ø.

Пример 1. В урне содержится 5 белых и 4 черных шара, различающихся только цветом.

1) Вынимается наудачу один шар. Найти вероятность того, что он белый.

2) Вынимается наудачу два шара. Найти вероятность того, что: а) оба шара белые; б) хотя бы один из них черный.

Решение.

1) Переименуем шары. Пространство элементарных событий можно записать в виде                                       Ω = {Б₁, Б_2, Б_3, Б_4, Б_5, Ч₁, Ч_2, Ч_3, Ч₄}. Пусть событие              А = {появление белого шара}, тогда А = {Б₁, Б_2, Б_3, Б_4, Б₅}.

Так как все элементарные исходы равновозможны, то по классическому определению вероятности

2) При вынимании двух шаров возможны такие исходы: (Б₁, Ч₁), (Б₂, Б₃), (Б₃, Б₂), (Ч₄, Б₅) и т.д. число всех случаев равно

а) Исходами, благоприятствующими наступлению события В = {появление двух белых шаров}, являются    (Б₁, Б₂), (Б₁, Б₃), (Б₃, Б₅), (Б₃, Б₁) и т.д. Число таких случаев равно  Поэтому

б) Исходами, благоприятствующими наступлению события С = {появление хотя бы одного черного шара}, являются (Б₁, Ч₁), (Б₁, Ч₂), (Б₁, Ч₃), (Ч₃, Б₁), (Ч₁, Ч₂), (Ч₃, Ч₄) и т.д. Число таких случаев равно (в 20 случаях из 72 появятся два белых шара), поэтому в остальных случаях хотя бы один из пары шаров будет черным. Отсюда Этот же результат можно получить иначе, т.к.

Пример 2. В магазин поступили плащи разных расцветок: 5 синих, 5 желтых и 10 красных. Продавец извлекает наугад один из этих плащей. Какова вероятность того, что плащ окажется желтым?

Решение. Множество элементарных исходов состоит из 20 элементов, так как в магазин поступило 20 плащей; поэтому  Если обозначить А = {выбранный продавцом плащ оказался желтым}, то по условию m = 5. Отсюда следует:

Пример 3. В урне 7 белых, 8 красных и 10 синих шаров. Найти вероятность того, что извлеченный наугад шар – цветной.

Решение. Пусть событие А означает появление красного шара, а В – появление синего шара. Тогда событие С = А + В означает появление цветного шара. Так как А и В – несовместные события, то Р(С) = Р(А) + Р(В). Имеем Р(А) = 8/25, Р(В) = 10/25. Тогда                                 Р(С) = 8/25 + 10/25 = 0, 72.

3.1.  В урне 10 одинаковых шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. Из урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что этот шар является голубым?

3.2. Натуральные числа от 1 до 30 записаны на карточках. Карточки перемешивают и извлекают одну карточку. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5?

3.3. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что число является простым?

3.4. Подбрасываются две монеты. Чему равна вероятность того, что на верхних сторонах обеих монет оказались цифры?

3.5. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?

3.6. Из букв слова дифференциал наугад выбирается одна из букв. Какова вероятность того, что эта буква будет: а) гласной; б) согласной; в) буквой ч?

3.7. Подбрасываются два игральных кубика, отмечается число очков на верхней грани каждого кубика. Какова вероятность того, что: а) сумма выпавших очков равна 7; б) сумма очков четна; в) сумма очков кратна 3; г) выпало одинаковое число очков на обоих кубиках?

3.8. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 50. Какова вероятность того, что это число кратно 3?

3.9. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 30. Какова вероятность того, что это число является делителем 30?

3.10. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 50. Какова вероятность того, что это число является простым?

3.11. На полке случайным образом расставляются 10 книг. Какова вероятность того, что при этом три определенные книги окажутся стоящими рядом?

3.12. На шахматную доску случайным образом ставят две ладьи – белую и черную. Какова вероятность того, что ладьи не побьют друг друга?

3.13. На шести одинаковых карточках написаны числа 3, 4, 7, 8, 12, 14. Последовательно выбирают 2 карточки. Какова вероятность того, что из двух полученных чисел можно составить сократимую дробь?

3.14. Из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5 наудачу выбирают три различных цифры и составляют трехзначное число. Какова вероятность того, что это число окажется четным?

3.15. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что набраны нужные цифры?

3.16. А и В и еще 8 человек стоят в очереди. Какова вероятность того, что между А и В в очереди стоят 3 человека?

3.17. Код домофона состоит из 8 цифр, которые могут повторяться. Какова вероятность того, что случайно набирая цифры, можно угадать нужный код?

3.18. Восемь друзей распределяют места за круглым столом по жребию. Какова вероятность того, что два из них, а именно А и В, будут сидеть рядом?

3.19. Три человека произвольно размещаются в 8 вагонах электрички. Какова вероятность того, что все они: а) зайдут в один вагон; б) зайдут в вагон №3;                         в) разместятся в разных вагонах?

3.20. В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают три карандаша. Какова вероятность того, что: а) все они одного цвета; б) все они разных цветов; в) среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш?

3.21. В урне 5 белых и 4 черных шара. Вынимаются наудачу два шара. Какова вероятность того, что: а) оба шара белые; б) хотя бы один из них черный?

3.22. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что: а) сумма выпавших очков не превосходит 7; б) произведение выпавших очков делится на 4; в) хотя бы на одной кости выпадет 6 очков?

3.23. В «Словаре русского языка» С.И.Ожегова 900 страниц. Какова вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 13?

3.24. 10 яблок, 3 груши и 8 лимонов раскладывают наудачу в 3 пакета с равным количеством фруктов. Какова вероятность того, что: а) в каждом пакете по 1 груше;           б) в случайно выбранном пакете нет груш?

3.25. Первые семь букв русского алфавита написаны на карточках. Случайным образом последовательно извлекаются четыре карточки. Какова вероятность того, что полученное слово будет оканчиваться буквой а?

3.26. В старинной индейской игре «Тонг» два игрока одновременно показывают дуг другу либо один, либо два, либо три пальца на правой руке. Если для каждого игрока равновозможно показать 1, 2, 3 пальца, то чему равна вероятность того, что общее число показанных пальцев четно?

3.27. В лифт 6-этажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выйдет на любом из этажей, начиная со второго. Какова вероятность того, что все пассажиры выйдут на четвертом этаже?

3.28. В магазин поступило 25 новых телевизоров, среди которых 5 имеют скрытые дефекты. Для проверки наудачу выбирается один из телевизоров. Какова вероятность того, что он не имеет скрытых дефектов?

3.29. В садке содержатся 15 сазанов, 9 карпов 6 карасей. Какова вероятность того, что случайно выловленная рыба оказалась не карасем?

3.30. Подлежат контролю 250 деталей, из которых 5 нестандартных. Какова вероятность того, что наудачу взятая для контроля деталь окажется: а) нестандартной;   б) стандартной?

ОТВЕТЫ: 3.1. 0, 6. 3.2. 0, 2. 3.3. 0, 4. 3.4. 0, 25. 3.5. 0, 1. 3.6. а) 0, 417; б) 0, 583; в) 0. 3.7. . 3.8. 1/3. 3.9. 0, 2. 3.10. 0, 3. 3.11. . 3.12. 7/9.   3.13. . 3.14. . 3.15. . 3.16. . 3.17. 1/10⁸. 3.18. 2/7. 3.19. .                             3.20. .   3.21. . 3.22. а) 7/12; б) 5/12;             в) 11/36. 3.23. ≈ 0, 077. 3.24. а) 49/1140; б) 26/95.                   3.25. . 3.26. 5/9. 3.27. 0, 008. 3.28. 0, 8. 3.29. 0, 8.            3.30. а) 5/250; б) 245/250.

 

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: