Формула Бернулли, Пуассона, Лапласа

Схема повторных испытаний служит базовой моделью для решения большого числа практических задач и формально выглядит так: производится серия n независимых однотипных испытаний, в каждом из которых интересующее нас событие A может появиться с одной и той же вероятностью p. Требуется определить вероятность того, что в n испытаниях событие A  появится ровно m раз. Задача решается с помощью формулы Бернулли:

 ,

где q = 1 - p - вероятность появления противоположного события

Вероятность того, что событие А появится в n испытаниях не менее m раз, вычисляется по формуле                                                   

или по формуле                                                  

Вероятность появления события А хотя бы один раз в n испытаниях равна

Совокупность событий, состоящих в появлении события А от 0 до n раз в n испытаниях, составляет полную группу событий. Для вычисления вероятностей P_n(m) можно использовать так называемую  производящую функцию   j_n(x):

Коэффициент при x^m  разложения этого бинома равен вероятности P_n(m).

В том случае, когда вероятности появлений события A в каждом испытании неодинаковы и равны p_i  (i = 1, 2,..., n), производящая функция имеет вид

               j_n(x) = ( q₁+ p₁ x ) ( q₂+ p₂ x )... ( q_n+ p_n x ).      

Число m_o появлений события А, вероятность которого в данной серии n испытаний максимальна, называется  наивероятнейшим числом наступлений события А  и определяется из неравенств

 Если число испытаний n велико, а вероятность появления события А в каждом испытании очень мала (близка к нулю), то используют формулу Пуассона, согласно которой

 , где .

Равенство тем точнее, чем больше число испытаний n.

Формула используется и тогда, когда известна продолжительность испытаний t и среднее число наступлений события в единицу времени - l (интенсивность потока событий). В этом случае вероятность того, что за время t событие появится ровно m раз, вычисляется по формуле

Если вероятность p появления события в одном испытании не столь близка к нулю или к единице, используют локальную теорему Муавра-Лапласа:

При достаточно больших значениях npq  

 где

   Для функции  составлены таблицы ее значений при .

На практике больший интерес представляет вопрос о вероятности того, что событие А появится в серии n испытаний от  до  раз. В этом случае используется интегральная теорема Муавра-Лапласа, согласно которой             

где   а  - так называемый интеграл вероятностей, или интегральная функция Лапласа, значения которой определяются из таблицы.

Пример 1. Производится 5 независимых выстрелов по цели, вероятность попадания в которую при каждом выстреле равна 0, 2. Для разрушения цели достаточно трех попаданий. Найти вероятность того, что цель будет разрушена.

Решение. Пусть - событие, состоящее в m попаданиях в цель, а событие В означает разрушение цели после пяти выстрелов. Очевидно, что . Так как события  попарно несовместны, то по теореме сложения

 Вероятности найдем по формуле Бернулли:

 тогда согласно  где

 Вычисляя, получим:

 

Пример 2. Случайное событие А может появиться в каждом испытании с вероятностью p. Сколько испытаний следует произвести, чтобы с вероятностью, не меньшей Р, событие А произошло хотя бы один раз?

 

Решение. Пусть n – наименьшее количество необходимых испытаний, при которых событие А произойдет хотя бы один раз. Согласно

 где  и по условию или

Логарифмируя, получим:  а так как  то                                                           

Пример 3. При транспортировке изделие может быть повреждено с вероятностью 0, 002. Найти вероятность того, что в партии из 2000 изделий в пути окажутся поврежденными три изделия.

Решение. Имеем: n = 2000; p = 0, 002; l = np = 4;      m = 3. Вероятность появления события в одном испытании очень мала, поэтому используем формулу Пуассона. Находим, что P₂₀₀₀(3) = 0, 195367.

Пример 4. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 мин, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 мин. поступит: а) четыре вызова; б) менее четырех вызовов; в) не менее четырех вызовов.

Решение. По условию интенсивность потока вызовов  l = 2, значит,

Находим по таблице 3:

а) P₄ (m = 4) = 0, 0573;                                 

б) P₄ (m < 4) = 0, 0003 + +0, 0027 + 0, 0107 + 0, 0286 = 0, 0423;                                      

в) P₄ (m ³ 4) = 1 - P₄ (m < 4) = 1 - 0, 0423 = 0, 9577. 

Пример 5. Известно, что в партии из 2000 изделий в среднем 20% всех изделий являются второсортными. Найти вероятность того, что в результате проверки качества изделий в партии второсортными окажутся от 360 до 480 изделий.

Решение. По условию n = 2000, p = 0, 2, q = 0, 8,     m₁ = 360, m₂ = 480.  где             

По таблице 2 находим: F(-2, 24) = - 0, 4874;          F(4, 47) = 0, 5. Отсюда искомая вероятность равна = 0, 5 + 0, 4874 = 0, 9874.

 8.1. Для группы юридических лиц вероятность своевременного погашения кредита равна 0, 8. Какова вероятность того, что из 10 случайно выбранных лиц по крайней мере 7 погасят кредит своевременно?

8.2. Процентная ставка потребительского кредита может измениться в течение месяца с вероятностью 0, 25. Какова вероятность того, что за год ставка изменится 3 раза?

8.3. В семье 5 детей. Какова вероятность того, что двое родились в понедельник?

8.4. Производится 5 выстрелов по цели, вероятность попадания в которую равна 0, 4. Для разрушения цели достаточно трех попаданий. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий; б) вероятность того, что цель будет разрушена.

8.5. Игральную кость подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что шестерка выпадет: а) 2 раза; б) не более 8 раз; в) хотя бы один раз?

8.6. Пусть вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна 0, 08. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 96 студентов.

8.7. Вероятность приема радиосигнала при каждой передаче равна 0, 86. Какова вероятность того, что при пятикратной передаче сигнал будет принят: а) 4 раза; б) не менее 4 раз?

8.8. Считая, что в среднем 15% открывающихся малых предприятий становятся в течение года банкротами, найти вероятность того, что из 10 новых малых предприятий за это время банкротами станут: а) одно предприятие; б) более трех предприятий.

8.9. Вероятность успешной сдачи студентом каждого из пяти экзаменов равна 0, 7. Найти вероятность успешной сдачи: а) трех экзаменов; б) двух экзаменов; в) не менее двух экзаменов.

8.10. Всхожесть семян лимона составляет 80%. Какова вероятность того, что из 9 посеянных семян взойдут: а) семь; б) более семи; в) не более семи?

8.11. Вероятность допустить ошибку при наборе некоторого текста, состоящего из 1200 знаков, равна 0, 005. Какова вероятность того, что при наборе будет допущено:  а) 6 ошибок; б) хотя бы одна ошибка?

8.12. Некачественные изделия составляют 2% всей продукции цеха. Какова вероятность того, что из 200 наудачу взятых изделий окажется: а) не более 5 некачественных изделий; б) два или три некачественных изделия?

8.13. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0, 005. Какова вероятность попадания в цель не менее 3 раз, если число выстрелов равно 800?

8.14. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0, 01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 4 абонента?

8.15. Завод отправил на базу 12000 доброкачественных изделий. Число изделий поврежденных при транспортировке, составляет в среднем 0, 05%. Какова вероятность того, что на базу поступит: а) не более 3 поврежденных изделий; б) хотя бы 2 поврежденных?

8.16. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в течение часа, равно 120. Какова вероятность того, что за 2 минуты на АТС: а) не поступит ни одного вызова;                  б) поступит менее двух вызовов; в) поступит ровно три вызова?

8.17. Аэропорт в течение часа принимает в среднем 4 самолета. Какова вероятность того, что в течение двух часов в аэропорт прибудут: а) ровно 6 самолетов; б) не более 6 самолетов?

8.18. Среднее число заказов такси за одну минуту равно трем. Какова вероятность того, что за две минуты поступит: а) 4 вызова; б) менее 4-х вызовов; в) не менее 4-х вызовов?

8.19. Среднее число машин, прибывающих в автопарк за 1 минуту, равно двум. Какова вероятность того, что за 5 минут прибудет не менее 2 машин?

8.20. Средняя плотность бактерий в 1м³ воздуха равна 100. Берется на пробу 2дм³ воздуха. Какова вероятность того, что в нем будет обнаружена хотя бы одна бактерия?

8.21. Найти вероятность того, что среди 80 выловленных из пруда рыб карпа окажется от 55 до 70 штук, если известно, что численность карпа в водоеме составляет 75%.

8.22. Всхожесть семян данного сорта растений составляет 70%. Какова вероятность того, что из 700 посаженных семян будет 500 проросших?

8.23. Вероятность попадания в цель из орудия при отдельном выстреле равна 0, 75. Какова вероятность того, что при 300 выстрелах число попаданий будет не менее 210, но не более 230 раз?

8.24. Вероятность рождения девочки равна 0, 485. Какова вероятность того, что из 600 родившихся детей девочек будет 300?

8.25. Контрольную работу по теории вероятностей успешно выполняют в среднем 70% студентов. Какова вероятность того, что из 200 студентов работу успешно выполняет: а) 150 студентов; б) не менее 100 студентов; в) не более 150 студентов?

8.26. Вероятность выхода из строя одного конденсатора равна 0, 2. Какова вероятность того, что из 100 конденсаторов выйдет из строя: а) ровно 20 конденсаторов; б) от 15 до 35 конденсаторов?

8.27. На склад поступает продукция трех фабрик. Прием изделия первой фабрики на складе составляют 30%, второй – 32% и третьей 38%. В продукции первой фабрики 60% изделия высшего сорта, второй – 25%, третьей -50%. Какова вероятность того, что среди 300 наудачу взятых со склада изделий число изделий высшего сорта заключено между 130 и 170?

8.28. Вероятность рождения мальчика равна 0, 515. Какова вероятность того, что из 1000 детей мальчиков будет не менее 500, но не более 550?

8.29. Найти вероятность поражения мишени 75 раз при 100 выстрелах, если вероятность поражения при одном выстреле равна 0, 8.

8.30. Какова вероятность того, что из 2450 ламп, освещающих улицу, к концу года будет гореть от 1500 до 1600 ламп. Считать, что каждая лампа будет гореть в течение года с вероятностью 0, 64.

ОТВЕТЫ: 8.1. 0, 879. 8.2. 0, 258. 8.3. 0, 1285. 8.4. а) 2;     б) 0, 317. 8.5. а) 0, 291; б) 1 – 51/6¹⁰. 8.6. 7. 8.7. а) 0, 383;            б) 0, 853. 8.8. а) 0, 35; б) 0, 05. 8.9. а) 0, 3087; б) 0, 1323;             в) 0, 9692. 8.10. а) 0, 302; б) 0, 4362; в) 0, 5638. 8.11. а) 0, 162;     б) 0, 998. 8.12. а) 0, 784; б) 0, 342. 8.13. 0, 762. 8.14. 0, 168.   8.15. а) 0, 151; б) 0, 9826. 8.16. а) 0, 0183; б) 0, 0916; в) 0, 1954. 8.17. а) 0, 1221; б) 0, 3134. 8.18. а) 0, 135; б) 0, 1525; в) 0, 8475. 8.19. 0, 999505. 8.20. 0, 1813. 8.21. 0, 8965. 8.22. 0, 023.         8.23. 0, 7258. 8.24. 0, 025. 8.25. а) 0, 019; б) 1; в) 0, 938.             8.26. а) 0, 0997; б) 0, 8944. 8.27. 0, 719. 8.28. 0, 8157. 8.29. 0, 456. 8.30. 0, 91.

 

Приложения

Таблица 1. Значения функции

z	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0, 0	0, 3989	3989	3989	3988	3986	3984	3982	3980	3977	3973
0, 1	3970	3965	3961	3956	3951	3945	3939	3932	3925	3918
0, 2	3910	3902	3894	3885	3876	3867	3857	3847	3836	3825
0, 3	3814	3802	3790	3778	3765	3752	3739	3726	3712	3697
0, 4	3683	3668	3653	3637	3621	3605	3589	3572	3555	3538
0, 5	3521	3503	3485	3467	3448	3429	3410	3391	3372	3352
0, 6	3332	3312	3292	3271	3251	3230	3209	3188	3166	3144
0, 7	3123	3101	3079	3056	3034	3011	2989	2966	2943	2920
0, 8	2897	2874	2850	2827	2803	2780	2756	2732	2709	2685
0, 9	2661	2637	2613	2589	2565	2541	2516	2492	2468	2444
1, 0	0, 2420	2396	2371	2347	2323	2299	2275	2251	2227	2203
1, 1	2179	2155	2131	2107	2083	2059	2036	2012	1989	1965
1, 2	1942	1919	1895	1872	1849	1826	1804	1781	1758	1736
1, 3	1714	1691	1669	1647	1626	1604	1582	1561	1539	1518
1, 4	1497	1476	1456	1435	1415	1394	1374	1354	1334	1315
1, 5	1295	1276	1257	1238	1219	1200	1182	1163	1145	1127
1, 6	1109	1092	1074	1057	1040	1023	1006	0989	0973	0957
1, 7	0940	0925	0909	0893	0878	0863	0848	0833	0818	0804
1, 8	0790	0775	0761	0748	0734	0721	0707	0694	0681	0669
1, 9	0656	0644	0632	0620	0608	0596	0584	0573	0562	0551
2, 0	0, 0540	0529	0519	0508	0498	0488	0478	0468	0459	0449
2, 1	0440	0431	0422	0413	0404	0396	0387	0379	0371	0363
2, 2	0355	0347	0339	0332	0325	0317	0310	0303	0297	0290
2, 3	0283	0277	0270	0264	0258	0252	0246	0241	0235	0229
2, 4	0224	0219	0213	0208	0203	0198	0194	0189	0184	0180
2, 5	0175	0171	0167	0163	0158	0154	0151	0147	0143	0139
2, 6	0136	0132	0129	0126	0122	0119	0116	0113	0110	0107
2, 7	0104	0101	0099	0096	0093	0091	0088	0086	0084	0081
2, 8	0079	0077	0075	0073	0071	0069	0067	0065	0063	0061
2, 9	0060	0058	0056	0055	0053	0051	0050	0048	0047	0046
3, 0	0, 0044	0043	0042	0040	0039	0038	0037	0036	0035	0034
3, 1	0033	0032	0031	0030	0029	0028	0027	0026	0025	0025
3, 2	0024	0023	0022	0022	0021	0020	0020	0019	0018	0018
3, 3	0017	0017	0016	0016	0015	0015	0014	0014	0013	0013
3, 4	0012	0012	0012	0012	0011	0010	0010	0010	0009	0009
3, 5	0009	0008	0008	0008	0008	0007	0007	0007	0007	0006
3, 6	0006	0006	0006	0005	0005	0005	0005	0005	0005	0004
3, 7	0004	0004	0004	0004	0004	0004	0003	0003	0003	0003
3, 8	0003	0003	0003	0003	0003	0002	0002	0002	0002	0002
3, 9	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0001	0001

Таблица 2. Значения функции

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0, 0	0, 0000	0040	0080	0120	0160	0199	0239	0279	0319	0359
0, 1 1	0398    0398	0438	0478	0517	0557	0596	0636	0675	0714	0753
0, 2	0793	0832	0871	0910	0948	0987	1026	1064	1103	1141
0, 3	1179	1217	1255	1293	1331	1368	1406	1443	1480	1517
0, 4	1554	1591	1628	1664	1700	1736	1772	1808	1844	1879
0, 5	0, 1915	1950	1985	2019	2054	2088	2123	2157	2190	2224
0, 6	2257	2291	2324	2357	2389	2422	2454	2486	2517	2549
0, 7	2580	2611	2642	2673	2703	2734	2764	2794	2923	2852
0, 8	2881	2910	2939	2967	2995	3023	3051	3078	3106	3133
0, 9	3159	3186	3212	3238	3264	3289	3315	3340	3365	3389
1, 0	0, 3413	3437	3461	3485	3508	3531	3554	3577	3599	3621
1, 1	3643	3665	3686	3708	3729	3749	3770	3790	3810	3830
1, 2	3849	3869	3888	3907	3925	3944	3962	3980	3997	3015
1, 3	4032	4049	4066	4082	4099	4115	4131	4147	4162	4177
1, 4	4192	4207	4222	4236	4251	4265	4279	4292	4306	4319
1, 5	0, 4332	4345	4357	4370	4382	4394	4406	4418	4429	4441
1, 6	4452	4463	4474	4484	4495	4505	4515	4525	4535	4545
1, 7	4554	4564	4573	4582	4591	4599	4608	4616	4625	4633
1, 8	4641	4649	4656	4664	4671	4678	4686	4693	4699	4706
1, 9	4713	4719	4726	4732	4738	4744	4750	4756	4761	4767
2, 0	0, 4772	4778	4783	4788	4793	4798	4803	4808	4812	4817
2, 1	4821	4826	4830	4834	4838	4842	4846	4850	4854	4857
2, 2	4860	4864	4867	4871	4874	4877	4880	4883	4886	4889
2, 3	4892	4895	4898	4900	4903	4906	4908	4911	4913	4915
2, 4	4918	4920	4922	4924	4926	4928	4930	4932	4934	4936
2, 5	0, 4937	4939	4941	4942	4944	4946	4947	4949	4950	4952
2, 6	4953	4954	4956	4957	4958	4959	4960	4962	4963	4964
2, 7	4965	4966	4967	4968	4969	4970	4971	4971	4972	4973
2, 8	4974	4975	4075	4976	4977	4978	4978	4979	4950	4980
2, 9	4981	4981	4983	4983	4983	4984	4984	4985	4985	4986
3, 0	0, 4986	4986	4987	4987	4988	4988	4988	4989	4989	4989
3, 1	4990	4990	4990	4991	4991	4991	4992	4992	4992	4992
3, 2	4993	4993	4993	4993	4994	4994	4994	4994	4994	4994
3, 3	4995	4995	4995	4995	4995	4995	4996	4996	4996	4996
3, 4	4996	4996	4996	4996	4997	4997	4997	4997	4997	4997
3, 5	0, 4997	4997	4997	4997	4998	4998	4998	4998	4998	4998
3, 6	4998	4998	4998	4998	4998	4998	4998	4998	4998	4998
3, 7	4998	4998	4999	4999	4999	4999	4999	4999	4999	4999
3, 8	4999	4999	4999	4999	4999	4999	4999	4999	4999	4999
3, 9	4999	4999	4999	4999	4999	4999	4999	4999	4999	4999

Таблица 3. Значения функции Пуассона

					l
m	0, 1	0, 2	0, 3	0, 4	0, 5	0, 6	0, 7	0, 8	0, 9
0	0, 904837	0, 818731	0, 740818	0, 670320	0, 606531	0, 548812	0, 496585	0, 449329	0, 406570
1	0, 090484	0, 163746	0, 222245	0, 268128	0, 303265	0, 329287	0, 347610	0, 359463	0, 365913
2	0, 004524	0, 016375	0, 033337	0, 053626	0, 075816	0, 098786	0, 121663	0, 143785	0, 164661
3	0, 000151	0, 001092	0, 003334	0, 007150	0, 012636	0, 019757	0, 028388	0, 038343	0, 049398
4	0, 000004	0, 000055	0, 000250	0, 000715	0, 001580	0, 002964	0, 004968	0, 007669	0, 011115
5		0, 000002	0, 000015	0, 000057	0, 000158	0, 000356	0, 000696	0, 001227	0, 002001
6			0, 000001	0, 000004	0, 000013	0, 000036	0, 000081	0, 000164	0, 000300
7					0, 000001	0, 000003	0, 000008	0, 000019	0, 000039
8							0, 000001	0, 000002	0, 000004

 

 

					l
m	1, 0	2, 0	3, 0	4, 0	5, 0	6, 0	7, 0	8, 0	9, 0
0	0, 367879	0, 135335	0, 049787	0, 018316	0, 006738	0, 002479	0, 000912	0, 000335	0, 000123
1	0, 367879	0, 270671	0, 149361	0, 073263	0, 033690	0, 014873	0, 006383	0, 002684	0, 001111
2	0, 183940	0, 270671	0, 224042	0, 146525	0, 084224	0, 044618	0, 022341	0, 010735	0, 004998
3	0, 061313	0, 180447	0, 224042	0, 195367	0, 140374	0, 089235	0, 052129	0, 028626	0, 014994
4	0, 015328	0, 090224	0, 168031	0, 195367	0, 175467	0, 133853	0, 091226	0, 057252	0, 033737
5	0, 003066	0, 036089	0, 100819	0, 156293	0, 175467	0, 160623	0, 127717	0, 091604	0, 060727
6	0, 000511	0, 012030	0, 050409	0, 104196	0, 146223	0, 160623	0, 149003	0, 122138	0, 091090
7	0, 000073	0, 003437	0, 021604	0, 059540	0, 104445	0, 137677	0, 149003	0, 139587	0, 117116
8	0, 000009	0, 000859	0, 008102	0, 029770	0, 065278	0, 103258	0, 130377	0, 139587	0, 131756
9	0, 000001	0, 000191	0, 002701	0, 013231	0, 036266	0, 068838	0, 101405	0, 124077	0, 131756

 

					l
m	2, 0	3, 0	4, 0	5, 0	6, 0	7, 0	8, 0	9, 0	10, 0
10	0, 000038	0, 000810	0, 005292	0, 018133	0, 041303	0, 070983	0, 099262	0, 118580	0, 125110
11	0, 000007	0, 000221	0, 001925	0, 008242	0, 022529	0, 045171	0, 072190	0, 097020	0, 113740
12	0, 000001	0, 000055	0, 000642	0, 003434	0, 011264	0, 026350	0, 048127	0, 072765	0, 094780
13		0, 000013	0, 000197	0, 001321	0, 005199	0, 014188	0, 029616	0, 050376	0, 072908
14		0, 000003	0, 000056	0, 000472	0, 002228	0, 007094	0, 016924	0, 032384	0, 052077
15		0, 000001	0, 000015	0, 000157	0, 000891	0, 003311	0, 009026	0, 019431	0, 034718
16			0, 000004	0, 000049	0, 000334	0, 001448	0, 004513	0, 010930	0, 021699
17			0, 000001	0, 000014	0, 000118	0, 000596	0, 002124	0, 005786	0, 012764
18				0, 000004	0, 000039	0, 000232	0, 000944	0, 002893	0, 007091
19				0, 000001	0, 000012	0, 000085	0, 000397	0, 001370	0, 003732
20					0, 000004	0, 000030	0, 000159	0, 000617	0, 001866
21					0, 000001	0, 000010	0, 000061	0, 000264	0, 000889
22						0, 000003	0, 000022	0, 000108	0, 000404
23						0, 000001	0, 000008	0, 000042	0, 000176
24							0, 000003	0, 000016	0, 000073
25							0, 000001	0, 000006	0, 000029
26								0, 000002	0, 000011
27								0, 000001	0, 000004
28									0, 000001

 

 

Список литературы

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей – М.: Наука, 1964 – 576с.

2. Гмурман В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1972 – 345с.

3. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1971 – 400с.

4. Белько И.В., Свирид Г.П. Теория вероятностей и математическая статистика. – Мн.: Новое знание, 2004 – 251с.

5. Юсупов Р.А. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике. – Астрахань: Издательство «Хазар», 2002 – 180с.

6. Рябушко А.П. Индивидуальные задания по высшей математике. – Мн.: Высшая школа, 2006 – 336с.

7. Гусак А.А. Теория вероятностей. – Мн.: ТетраСистемс, 2002 – 288с.

8. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. – М.: Айрис-пресс, 2007 – 576с.

 

Содержание

Предисловие ……………………………………….	3
§1 Операции над случайными событиями……….	4
§2 Элементы комбинаторики……………………...	10
§3 Классическое определение вероятности………	19
§4 Задачи с элементами комбинаторики. Задача о выборке……………………………………………........	26
§5 Геометрическая вероятность…………………..	33
§6 Теорема сложения и умножения………………	41
§7 Формула полной вероятности. Формула Байеса…	54
§8 Формула Бернулли, Пуассона, Лапласа………	64
Приложения…………………………………..…….	75
Список литературы………………………………..	80

 

 

⇐ Предыдущая123456789

Поделиться: