Теорема умножения вероятностей двух независимых событий.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

Теорема умножения вероятностей п событий.

Вероятность произведения п событий равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предложении, что все предыдущие события наступили:

В частности, для трех событий А, В, С формула принимает вид

События А₁, А₂, …, А_п называются независимыми в совокупности, или независимыми, если они попарно-независимы, а также независимы каждое из них и произведение k остальных (k = 2, 3, …, п – 1).

Замечание. Из попарной независимости событий не следует их независимость в совокупности.

Замечание. Если события А₁, А₂, …А_п независимы, то противоположные им события также независимы.

 

Теорема умножения вероятностей п независимых событий.

Если событие А₁, А₂, …А_п независимы, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий:

Замечание. Это равенство выражает необходимое и достаточное условие независимости событий А₁, А₂, …А_п.

Для трех независимых событий А, В, С формула принимает вид

Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения противоположных событий по формуле

В частности, если события А₁, А₂, …А_п независимы, то

или

    

Если независимые события А₁, А₂, …А_п имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий выражается формулой

где А = А₁+ А₂+ …+ А_п.

В обратной задаче вероятность Р(А) известна и нужно определить, при каком числе п независимых событий А _i достигается заданное значение Р(А). Точнее говоря, задается некоторое число Q такое, что

из этого неравенства определяется значение п.

Пример 1. Подбрасывается игральный кубик. Чему равна вероятность того, что выпадет четное число очков?

Решение. Введем обозначения: А – выпало четное число очков; В _k – выпало k очков (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6). Событие А означает, что наступило хотя бы одно из событий: В₂, В₄, В₆, т.е. А = В₂ + В₄ + В₆. Поскольку события В₂, В₄, В₆ несовместны, то можно воспользоваться формулой при п = 3, учитывая, что Р(В _k­) = 1/6 (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6):

Замечание. Тот же результат получается и непосредственно по формуле

Пример 2. В урне 40 шариков: 15 голубых, 5 зеленых и 20 белых. Какова вероятность того, что из урны будет извлечен цветной шарик?

Решение. Извлечение цветного шарика означает появление либо голубого, либо зеленого шарика. Вероятность извлечения голубого шарика (событие А): Р(А) = 15/40 = 3/8. Вероятность извлечения зеленого шарика (событие В): Р(В) = 5/40 = 1/8. Так как события А и В несовместны, то получаем

Замечание. Тот же результат получается и непосредственно по формуле где                     С – «появление цветного шара»; этому событию благоприятствуют 20 элементарных исходов.

Пример 3. Подбрасываются два игральных кубика. Найти вероятность события А – «сумма выпавших очков не превосходит четырех».

Решение. Событие А есть сумма трех несовместных событий В₂, В₃, В₄, заключается в том, что сумма очков равна соответственно 2, 3, 4. Поскольку

То по теореме сложения вероятностей несовместных событий получим

Замечание. Тот же результат можно получить непосредственно. Действительно, событию А благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 2). Всего же элементарных исходов, образующих полную группу событий, п = 36, поэтому

Пример 4. Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на три сектора. Вероятность попадания в первый сектор равна 0, 4, во второй – 0, 3. Какова вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор?

Решение. События А – «попадание в первый сектор» и В – «попадание во второй сектор» несовместны (попадание в первый сектор исключает попадание во второй), поэтому применима теорема сложения вероятностей несовместных событий. В соответствии с этой теоремой находим искомую вероятность:

Пример 5.  Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 0, 85, а для второго – 0, 8. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен?

Решение.  Введем обозначения: события А – «попадание первого спортсмена», В – «попадание второго спортсмена», С – «попадание хотя бы одного из спортсменов». Очевидно, А + В = С, причем события А и В совместны. Получаем

А и В – независимые события. Подставив данные значения Р(А) = 0, 85, Р(В) = 0, 8 в формулу для Р(С), найдем искомую вероятность

Пример 6.  Вероятности попадания в цель каждого из трех стрелков соответственно равны 0, 8; 0, 7; 0, 9. Стрелки произвели один залп. Найти вероятность: а) только одного попадания; б) хотя бы одного попадания.

Решение. а) Пусть - события, означающие попадание в цель каждого из трех стрелков. Тогда ,  Событие А, означающее только одно попадание в мишень, записывается в виде

Так как - несовместные события (стрелки производят выстрелы независимо друг от друга), то из теорем сложения и умножения вероятностей следует

б) Так как попадания в цель каждого стрелка – независимые в совокупности события, то следует, что

Пример 7. На складе 30 изделий первого сорта и             20 – второго сорта. Найти вероятность того, что три взятых наугад изделия – первого сорта.

Решение. Пусть А₁, А₂, А₃ – события, состоящие в появлении изделия первого сорта соответственно при первом, втором и третьем взятии изделия со склада. Тогда событие А = А₁, А₂, А₃ означает появление трех изделий первого сорта. Следует, что Р(А) = Р(А₁)Р(А₂/А₁)Р(А₃/А₁А₂). Так как Р(А₁) = 30/50, Р(А₂/А₁) = 29/49, Р(А₃/А₁А₂) = 28/48, то

6.1. В урне имеется 10 красных, 15 синих, 5 белых шаров. Из урны наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что этот шар – красный или белый?

6.2. Охотник выстрелил три раза по цели. Вероятность попадания в нее при первом выстреле равна 0, 8, а после каждого выстрела уменьшается на 0, 1. Какова вероятность того, что охотник: а) промахнется все три раза; б) попадет хотя бы один раз; в) попадет два раза?

6.3. Вероятности того, что каждый из трех друзей придет в условленное место, соответственно равны 0, 8, 0, 4 и 0, 7. Какова вероятность того, что встреча состоится, если для этого достаточно явиться двум из трех друзей?

6.4. Студент изучает математику, химию и биологию. Он оценивает вероятности получить пятерку по этим курсам как 1/4, 1/3 и 1/2 соответственно. Какова вероятность того, что студент получит: а) только одну пятерку; б) хотя бы одну пятерку; в) пятерку только по химии?

6.5. Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0, 3. Стрелки стреляют по очереди, делая по два выстрела. Попавший в мишень первым получает приз. Какова вероятность того, что один из них получит приз?

6.6. Какова вероятность того, что при одновременном случайном извлечении двух карт из колоды в 52 карты обе окажутся бубновой масти?

6.7. Измерительный прибор может проработать безотказно 800 часов с вероятностью 0, 7, а 1200 часов с вероятностью 0, 5. Прибор проработал 800 часов. Какова вероятность того, что он проработает еще 400 часов?

6.8. Вероятность попасть в самолет при одном выстреле равна 0, 4, а вероятность сбить его равна 0, 1. Какова вероятность того, что при попадании в самолет он будет сбит?

6.9. Вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера, равна 0, 2. Какова вероятность того, что пять первых покупателей потребуют обувь 41-го размера?

6.10. Среди 60 лампочек 3 - нестандартные. Какова вероятность того, что две взятые одновременно лампочки окажутся нестандартными?

6.11. В мешке смешаны нити, среди которых 30% белых, остальные – красные. Какова вероятность того, что вынутые наудачу две нити окажутся: а) одного цвета;         б) разных цветов?

6.12. В связке имеется пять различных ключей, из которых только одним можно открыть дверь. Наудачу выбирается ключ и делается попытка открыть им дверь. Ключ, оказавшийся неподходящим, больше не используется. Какова вероятность того, что: а) дверь будет открыта первым ключом; б) для открывания двери будет использованы не более двух ключей?

6.13. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0, 2, второй – 0, 3, третий – 0, 4. События, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Какова вероятность того, что корреспондент услышит вызов радиста?

6.14. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 1/7. Какова вероятность того, что обладатель пяти билетов выиграет: а) по всем пяти; б) ни по одному; в) хотя бы по одному билету?

6.15. Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 0, 85, а для второго – 0, 8. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен?

6.16. Монета подброшена три раза. Какова вероятность того, что цифра выпадет ровно два раза?

6.17. В урне находится 8 красных и 6 голубых шаров. Из урны последовательно без возвращения извлекают 3 шара. Какова вероятность того, что все три шара голубые?

6.18. Найти вероятность совместного появления цифры при одновременном подбрасывании двух монет.

6.19. В урне 6 голубых, 5 красных и 4 белых шара. Из урны поочередно извлекают шар, не возвращая его обратно. Какова вероятность того, что при первом извлечении появится голубой шар, при втором – красный, при третьем – белый?

6.20. В каждом из трех ящиков находится по 30 деталей. В первом ящике – 27, во втором 28, в третьем 25 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу извлекают по одной детали. Какова вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными?

6.21. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что любой станок в течение часа потребует внимания  рабочего, равна 0, 6. Какова вероятность того, что в течение часа потребуют внимания рабочего: а) все четыре станка; б) ни один станок; в) по крайней мере один станок?

6.22. Какова вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным или 2, или 7, или тому и другому одновременно?

6.23. В ящике 15 шаров, из которых 5 голубых и 10 красных. Из ящика последовательно вынимают 2 шара, первый шар в ящик не возвращают. Какова вероятность того, что первый вынутый шар окажется голубым, а второй – красным?

6.24. Вероятность попадания в цель равна 0, 3, а вероятность ее уничтожения равна 0, 05. Какова вероятность того, что при попадании в цель она будет уничтожена?

6.25. Только один из 9 ключей подходит к данному замку. Какова вероятность того, что придется опробовать 5 ключей для открывания замка?

6.26. В ящике 9 белых, 6 черных и 5 зеленых шаров. Наудачу вынимается один шар. Какова вероятность того, что он окажется либо черным, либо зеленым?

6.27. Один студент выучил 20 из 25 вопросов программы, а второй – только 15. Каждому из них задают по одному вопросу. Какова вероятность того, что правильно ответят: а) оба студента; б) только первый студент; в) только один из них; г) хотя бы один из студентов?

6.28. В одной комнате находятся 4 девушки и 7 юношей, в другой 10 девушек и 5 юношей. Наудачу выбирают по одному человеку из каждой комнаты. Какова вероятность того, что оба они окажутся юношами, или обе девушками?

6.29. Студент знает 30 из 40 вопросов программы. Экзаменатор задает ему вопросы до тех пор, пока не обнаруживает пробела в знаниях студента. Какова вероятность того, что будут заданы: а) два вопроса;          б) более двух вопросов?

6.30. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0, 9, второй – 0, 7, третий – 0, 6. Какова вероятность того, что студент сдаст: а) два экзамена; б) не менее двух экзаменов; в) не более двух экзаменов?

ОТВЕТЫ: 6.1. 1/2. 6.2. а) 0, 24; б) 0, 976; в) 0, 452.         6.3. 0, 712. 6.4. а) 11/24; б) 3/4; в) 1/8. 6.5. 0, 447. 6.6. 1/17. 6.7. 5/7. 6.8. 0, 25. 6.9. 0, 2⁵. 6.10. 0, 0017. 6.11. а) 0, 58;          б) 0, 42. 6.12. а) 1/5; б) 2/5. 6.13. 0, 5072. 6.14. а) 1/75;          б) (6/7)⁵; в) 1 – (6/7)⁵. 6.15. 0, 97. 6.16. 3/8. 6.17. 0, 055.          6.18. 1/4. 6.19. 0, 044. 6.20. 0, 7. 6.21. а) 0, 1296; б) 0, 0256;    в) 0, 9744. 6.22. 51/90. 6.23. 0, 238. 6.24. 1/6. 6.25. 0, 11.   6.26. 0, 55. 6.27. а) 0, 48; б) 0, 32; в) 0, 44; г) 0, 92. 6.28. 5/11. 6.29. а) 0, 19; б) 0, 56. 6.30. а) 0, 456; б) 0, 834; в) 0, 622.

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: