Геометрическая вероятность

Пусть W - множество точек отрезка или ограниченной плоской фигуры, А – заданное подмножество множества W. Будем считать, что испытание состоит в случайном выборе точки этого множества, событие А – выбор точки из подмножества А, причем «попадание» точки в каждую элементарную часть DW одной и той же длины или площади равновозможно. Тогда вероятность случайного события А будет определена по формуле

или                                   

где L(A) – длина отрезка А, L(W) – длина отрезка W,

    S(A) – площадь плоской фигуры А, S(W) – площадь фигуры W.

Пример 1. Внутри квадрата с вершинами (0; 0), (1; 0), (1; 1), (0; 1) наудачу выбирается точка М (х, у). Найти вероятность события

Решение. Пусть М(х, у) - случайная точка, попавшая внутрь квадрата со стороной 1 и круга с центром в начале координат радиуса а (рис. 5.1). Так как , а то и

Рис.5.1

Пример 2. Найти вероятность того, что корни квадратного уравнения  действительны, если все значения   равновероятны и единственно возможны.

Решение. Областью всех возможных пар значений (p, q) является квадрат ABCD с центром в начале координат и стороной, равной 2 (рис. 5.2). Значит,  Интересующему нас событию соответствуют те точки, координаты которых удовлетворяют условию существования корней квадратного уравнения: . Эти точки принадлежат криволинейной фигуре AKOLD,

ограниченной сверху кривой . Площадь фигуры равна     Отсюда  

Пример 3. Наугад взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает 2. Найти вероятность того, что их произведение не меньше 2, а сумма не больше 3.

Решение. Так как числа х и у удовлетворяют условиям 0 ≤ х ≤ 2 и 0 ≤ у ≤ 2, то точки М(х, у), удовлетворяющие этим условиям, образуют квадрат со стороной 2 и площадью S _D = 4.

Рис. 5.3

Найдем множество М(х, у) для которых                     ху ≥ 2 и х + у ≤ 3. Эти точки, удовлетворяющие указанной системе неравенств, образуют область d, ограниченной гиперболой ху = 2 и прямой х + у = 3 (рис. 5.3). Находим площадь S _d области d:

=

Искомая вероятность Р = S _d/S_D = 0, 1137/4 ≈ 0, 0284.

5.1. Два теплохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих теплоходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из них придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого теплохода – один час, а второго – 2 часа.

5.2. Противник в течение часа делает один десятиминутный налет на участок шоссе. В течение этого же часа нужно преодолеть этот опасный участок шоссе. Какова вероятность того, что можно избежать налета, если время преодоления опасного участка пять минут?

5.3. Два человека договорились о встрече в определенном месте в промежутке времени от 19. 00 до  20. 00. Каждый из них приходит наудачу, независимо от другого и ожидает 15 минут. Какова вероятность того, что они встретятся?

5.4. Два студента условились встретиться между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 10 минут, после чего уходит. Какова вероятность того, что встреча состоится?

5.5. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг: а) квадрата; б) правильного треугольника?

5.6. На площадку, покрытую кафельной плиткой со стороной а = 6см, случайно падает монета радиуса r = 2см. Какова вероятность того, что монета целиком окажется внутри квадрата?

5.7. На отрезке [0, 3] наудачу выбраны два числа х и у. Какова вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам х² ≤ 3у ≤ 3х?

5.8. Наудачу выбирают два числа из промежутка [0, 1]. Какова вероятность того, что их сумма заключена между 1/4 и 1?

5.9. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает двух. Какова вероятность того, что произведение х · у будет не больше 1, а частное у/х не больше двух?

5.10. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает единицы. Какова вероятность того, что сумма х + у будет не превышает 1, а произведение х · у не меньше 0, 09?

5.11. На плоскости нарисованы две концентрические окружности, радиусы которых 3 и 5 см. Какова вероятность того, что точка брошенная наудачу в больший круг, попадет в кольцо, образованное этими окружностями?

5.12. На перекрестке установлен светофор, в котором в течение 25 секунд горит зеленый свет, 19 секунд горит красный свет, а в промежутках между ними в течение 3 секунд – желтый свет. Какова вероятность того, что автомобиль, случайно подъехавший к перекрестку, проедет его без остановки?

5.13. Внутри эллипса  расположен круг     x² + y² = 9. Какова вероятность того, что точка попадет в кольцо, образованное эллипсом и кругом?

5.14. В квадрат с вершинами в точках О(0, 0), К(0, 1), L(1, 1), М(1, 0) наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству ?

5.15. В эллипс  вписан эллипс . Какова вероятность того, что точка, брошенная в больший эллипс, попадет внутрь малого эллипса?

5.16. На отрезке [0, 2] наудачу выбраны два числа х и у. Какова вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам х² ≤ 4у ≤ 4х?

5.17. Круг разделен на 6 равных секторов, через один окрашенный в черный цвет. Какова вероятность того, что точка брошенная в круг попадет в белый сектор?

5.18. Взяты наугад два положительных числа, каждое из которых не больше единицы. Какова вероятность того, что их сумма не превзойдет единицы, а произведение будет не больше 2/9?

5.19. В прямоугольник с вершинами К(-1, 0), L(-1, 5), М(2, 5), N(2, 0) брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам       х² +1 ≤ у ≤ х + 3?

5.20. В квадрат с вершинами О(0, 0), К(0, 1), L(1, 1), М(1, 0) наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству     у > 2x?

5.21. На плоскости область G ограничена эллипсом , а область q – этим эллипсом и эллипсом . В область G брошена точка. Какова вероятность того, что точка попадет в область q?

5.22. В прямоугольник с вершинами К(-2, 0), L(-2, 5), М(1, 5), N(1, 0) брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам       х² +1 ≤ у ≤ х - 3?

5.23. В прямоугольник с вершинами R(-2, 0), L(-2, 5), M(1, 5), N(1, 0) брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам   0 ≤ у ≤ 2х – х² + 8?

5.24. Внутрь круга радиусом R наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг правильного шестиугольника?

5.25. Внутрь равностороннего треугольника со стороной а брошена точка. Какова вероятность того, что точка попадет в круг, вписанный в треугольник?

5.26.  Наугад взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает 2. Какова вероятность того, что их произведение не меньше 2, а сумма не больше 3?

5.27. Внутрь круга радиусом R наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что точка окажется в области между кругом и вписанным в него квадратом?

5.28. В квадрат вписан круг. Какова вероятность того, что точка, брошенная в квадрат, попадет внутрь вписанного в него круга?

5.29. На отрезке АВ длины L числовой оси Ох наудачу нанесена точка М(х). Какова вероятность того, что отрезки АМ и МВ имеют длину, большую L/4?

5.30. На отрезке L длины 20 см помещен меньший отрезок l длины 10 см. Какова вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на наименьший отрезок?

ОТВЕТЫ: 5.1. 0, 121. 5.2. 0, 77. 5.3. 7/16. 5.4. 0, 3056.     5.5. 5.6. 1/9. 5.7. 1/6. 5.8. 15/32. 5.9. 0, 38.      5.10. 0, 2. 5.11. 0, 64. 5.12. 0, 5. 5.13. 0, 55. 5.14. 0, 75.          5.15. 0, 714. 5.16. 1/3. 5.17. 0, 5. 5.18. 0, 467. 5.19. 0, 3.        5.20. 0, 25. 5.21. 5/6. 5.22. 0, 3. 5.23. 2/3. 5.24. .           5.25. . 5.26. 0, 0284. 5.27.   5.28. π /4. 5.29. 0, 5.   5.30. 0, 5.

 

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться: