Б. Теорема об изменении количества движения

Задачи первого типа (определение реакций связей) рекоменду­ется решать в следующем порядке:

1. Построить расчетную схему задачи:

изобразить схему рассматриваемой механической системы;

изобразить на ней все внешние силы, в том числе реакции внешних связей;

выбрать координатную систему; желательно, чтобы опреде­ляемая реакция связи была параллельной одной из координатных осей; для определенности будем считать, что такой осью является координатная осьОх.

2. Записать теорему об изменении количества движения в про­екциях на осьОх; в это уравнение будет входить искомая реакция связи, проекции известных сил и величина .

3. Вычислить проекцию количества движения системы на осьОх и найти ее производную по времени.

4. Подставить производную от проекции количества движения на ось Ох и найти из полученного уравнения искомую реакцию связи. Провести анализ полученного результата.

Задачи второго типа рекомендуется решать в следующем порядке:

1. Построить расчетную схему задачи:

изобразить схему рассматриваемой механической системы;

изобразить на ней все внешние силы, в том числе реакции внешних связей; выяснить особенности расположения внешних сил: в задачах рассматриваемого типа внешние силы образуют систему параллельных сил;

выбрать координатную систему, направив одну из осей перпендикулярно внешним силам; для определенности будем считать, что такой осью является координатная осьОх.

2. Записав теорему об изменении количества движения в проек­циях на осьОх, убедиться в том, что имеет место сохранение проекции на эту ось количества движения системы:

 

.

 

3. Сформулировать начальные условия задачи.

4. Дальнейшие действия зависят от того, какая величина являет­ся искомой:

если определяется, проекция скорости на осьОх какой-либо точки системы, то это можно сделать после определения постоянной интегрирования по начальным условиям;

если определяется координата или проекция перемещения ка­кой-либо точки системы, то соотношение п. 2 интегрируется;

полученное таким образом конечное соотношение после оп­ределения постоянных интегрирования по начальным услови­ям служит для определения искомой величины.

Примеры решения задач

Задача 11.3.1. Механизм, состоящий из грузаА массой 50 кг, блокаВ массой 80 кг (больший радиус R = 30 см, меньший r= 10 см) и цилиндраС массой 120 кг радиусом R _C = r/2, установлен на призме D массой 210 кг, находящейся на горизонтальной плоскости. Трение между призмой и плоскостью отсутствует. ГрузА получает переме­щение S = 1,2 м относительно призмы вдоль ее поверхности влево; α = 75° (рис. 11.1). Куда и на какое расстояние переместится призма?

Решение.

Задаем систему координат. Проекции на горизонтальную ось всех внешних сил (сил тяжести G_A, G_B, G _C , G_D, реакции опоры N), дей­ствующих на систему, равны нулю (рис. 11.2), а трения между приз­мой D и опорой по условию нет. Применим к системе следствие из теоремы о движении центра масс.

 

 Рис. 11.1 Рис. 11.2

 

1. Абсолютное смещение телА, В иСпредставляем как сумму от­носительного смещения, зависящего от величины S относительного смещения грузаА, и неизвестного переносного смещения AD, равного абсолютному смещению призмы, относительно которой задавалось смещение S. Обозначаем абсолютные смещения координат центров масс тел системы Δ_А, Δ_B, Δ_C, Δ_D. Направление оси х определяет знаки смещений: налево с минусом, направо с плюсом. Предпола­гаем, что призма сместится направо. Перемещение центра цилиндраС относительно призмы и перемещение грузаА связаны так же, как связаны их скорости.

ЦилиндрСсовершает плоское движение. Абсолютное смещение его центра в проекции на ось х равно Δ_D — S _C cos α, где S _C — сме­щение центра цилиндра вдоль наклонной поверхности призмы. Вы­разим S _C через S. Для этого свяжем скорости грузаА и центра масс цилиндра С. Мгновенный центр скоростей цилиндра находится в точке касания призмы, поэтому скорость его центра масс относи­тельно призмы вдвое меньше скорости нити, накручиваемой на обод. Скорость грузаА выражаем через угловую скорость блока:

 

.

 

Исключая отсюда , имеем связь скоростей: . Интег­рируя это соотношение при нулевых начальных значениях, получаем искомую зависимость: S _C =0,5S r/R. Находим выражение абсолют­ных смещений всех тел через Δ_D, и S:

 

.             

 

2. Подставляя абсолютные смещения, получаем уравнение

 

,

или

.

 

Призма D переместится вправо на 14.39 см.

 

Задача 11.3.2. Определить дав­ление на подшипникО, если груз 1 опускается с ускорением а₁ (рис. 11.3). Массы тел равны т₁, т₂, т₃, радиусы ступеней блока R и r. Массу нити и сопротивление движению не учитывать. Центр масс блока совпадает с точкой О.

Рис. 11.3

Решение. Определение дав­ления на подшипникО заменим определением реакции подшип­ника, так как эти силы имеют равные величины. Внешними си­лами, действующими на систему, являются силы тяжести  и реакции подшип­ника . Для определения реакций подшипника воспользуемся теоремой о движении центра масс в проекциях на координатные оси

 

 

В рассматриваемом случае

 

откуда

                   (11.10)

 

Таким образом, для определения реакций подшипника необхо­димо знать проекции ускорения центра масс системы на координат­ные оси.

По определению центра масс

 

,

 

где проекции ускорений центров масс тел системы на координатные оси

 

 

Здесь учтено, что ; следовательно,

 

.

 

Подставляя последние формулы в (11.10), получаем

 

 

Таким образом, давление на подшипникОопределяется по формуле

 

 

в которой слагаемое, подчеркнутое одной линией, равно статиче­скому давлению, а слагаемое, подчеркнутое двойной линией, опре­деляет дополнительное давление, зависящее от движения системы.

 

ЗаданияД – 11

 

Механизм, состоящий из груза A, блока B (больший радиус R, меньший r) и цилиндра радиуса R_C, установлен на призме D, находящейся на горизонтальной плоскости. Трение между призмой и плоскостью отсутствует. Груз A получает перемещение S = 1 м относительно призмы вдоль ее поверхности влево или (в тех вариантах, где он висит) по вертикали вниз. Куда и на какое расстояние переместится призма?

Вопросы для самоконтроля

(защиты контрольной работы)

1.Запи­шите формулы для координат центра масс.

2. Сформулируйте теорему о движении центра масс механиче­ской системы.

3. При каком условии проекция скорости центра масс на некоторую ось не изменяется при движении системы?

4. При каких условиях центр масс не перемещается вдоль дан­ной оси?

5. Как определяется количество движения материальной точки и механической системы?

6. Как определяется импульс переменной силы за конечный промежуток времени?

7. Сформулируйте теорему об изменении количества движения в дифференциальной и конечной формах.

8. Запишите теорему об изменении количества движения в дифференциальной форме в проекциях на координатные оси.

9. Запишите теорему об изменении количества движения в интегральной форме в проекциях на координатные оси.

10. При каком условии количество движения механической системы сохраняется?

11. При каком условии сохраняется проекция на данную ось количества движения механической системы?

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться: