К–9.Определение скорости и ускорения точки в сложном движении

9.1.Цель: отработка навыков определения скоростей и ускорений точек при сложном движении.

9.2. Базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач

Сложным движением называют такое движение, при котором точка одновременно участвует в двух или более движениях. Абсолютным движением называют движение точки М по отношению к основной системе отсчета , которую условно принимают за неподвижную. Относительным движением называют движение точки М по отношению к подвижной системе отсчета OXYZ. Переносным движением называют движение подвижной системы отсчета OXYZ относительно основной (неподвижной) системы отсчета .

Абсолютной скоростью называют скорость точки М относительно основной системы координат и обозначают .

Относительной скоростью называют скорость точки М относительно подвижной системы координат OXYZ и обозначают .

Переносной скоростью называют скорость той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М, и обозначают .

Абсолютная скорость точки в сложном движении равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей

Модуль абсолютной скорости в общем случае находят проецированием на оси координат, так как угол между векторами относительной и переносной скоростей может быть от 0 до 180°:

где

Определение скоростей относительного и переносного движений начинают с нахождения положения точки на траектории относительного движения. Затем мысленно останавливают относительное движение и определяют скорость той точки подвижной системы координат, в которой зафиксирована движущаяся точка. Это будет переносная скорость. Для определения относительной скорости мысленно останавливают движение подвижной системы координат, т. е. переносное движение, и известными способами находят скорость точки относительно подвижной системы координат.

Абсолютное ускорение точки в сложном движении равно геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений:

где — ускорение переносного движения; — ускорение относительного движения; — ускорение Кориолиса:

Ускорение Кориолиса характеризует:

1. Изменение величины переносной скорости точки вследствие ее относительного движения.

2. Изменение направления вектора относительной скорости вследствие вращательного переносного движения.

Направление ускорения Кориолиса определяют либо по правилу векторного произведения, либо по правилу Жуковского.

Правило векторного произведения: ускорение Кориолиса направлено перпендикулярно плоскости векторов и в ту сторону, откуда виден поворот от к на наименьший угол против хода часовой стрелки.

Поворот вектора к вектору против хода часовой стрелки на наименьший угол виден со стороны отрицательных значении оси X, куда и направлен вектор ускорения Кориолиса

( ).

Правило Жуковского: проецируем вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную вектору переносной угловой скорости, и поворачиваем эту проекцию в той же плоскости на угол 90° в сторону переносной угловой скорости.

Проекция вектора относительной скорости на плоскость П, перпендикулярную векторуугловой скорости , равна . Проекциюповорачиваем против хода часовой стрелки на 90° в соответствии с направлением переносной угловой скорости. Вектор ускорения Кориолиса будет направлен в сторону отрицательных значений оси X.

Равенство нулю ускорения Кориолиса возможно:

1. ; переносное движение является поступательным.

2. относительная скорость в данный момент равна нулю.

3. ; вектор угловой скорости переносного движения со параллелен вектору относительной скорости .

При вращательном переносном и криволинейным относительным движениях:

Модуль абсолютного ускорения

При поступательном переносном и криволинейном относительном движениях:

Примеры решения задач

Задача 9.3.1. Тело D движется поступательно вдоль оси х так, что координата некоторой его точки меняется как x_D = t³ + t², м (рис. 9.1).

По желобу ОА, который представляет собой дугу окружности радиуса R = 20 м тела движется точка М так, что длина дуги |ОМ| = s = 5πt, м. Для момента времени t = 1 с определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.

Решение.

1. Определение . Согласно теореме о сложении скоростей, абсолютная скорость равна векторной сумме относительной и переносной скоростей: .

Относительную скорость точки (скорость по отношению к телу D) находим, вычисляя ее алгебраическое значение как производную от дуговой координаты по времени: , и при t = 1с получаем .

Чтобы определить направление этой скорости, следует установить, где находится точка М в данный момент времени.

Вычисляя длину дуги |OM|_t₌₁_c= 5πм, определяем значение угла α: — точка М находится в середине дуги ОА (рис.9.2).

Рис. 9.1Рис. 9.2

Скорость точки направляем по касательной к ее траектории (окружности) в сторону увеличения длины дуги, так как алгебраическое значение скорости положительно.

Переносной скоростью по определению будет скорость той точки тела D, с которой в данный момент времени совпадает точка М.

В имеющемся случае поступательного движения тела скорости всех его точек одинаковы (это скорость тела D), и тогда, поскольку движение прямолинейное, переносную скорость можно найти как производную от координаты:

и при t=1 с получаем =5 м/с. Направлена она по оси х, так как v_ex> 0.

Складывать векторы и удобнее всего с помощью проекций. Проецируя равенство на оси (рис. 9.2), получаем

и окончательно

2. Определение . Согласно теореме Кориолиса, абсолютное ускорение равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:

В данном случае кориолисова ускорения не будет, так как переносное движение поступательное и его угловая скорость ω_е = 0.

Относительное ускорение в общем случае будет складываться извращательногои центростремительного: .

Вращательное относительное ускорение вычисляем через производную от алгебраического значения скорости: м/с и .

Ускорение направлено туда же, куда и скорость так как знаки их алгебраических значений совпадают (ускоренное движение).

Центростремительное относительное ускорение находим через скорость и радиус кривизны траектории:

Оно направлено к центру окружности желоба (рис. 9.3).

Рис. 9.3

Переносное ускорение (поскольку движение тела D поступательное и прямолинейное) ищем, дифференцируя найденную ранее переносную скорость

и при t = 1 с имеем а_е = 8 м/с². Это ускорение совпадает по направлению с . Проецируя на оси уравнение , получим проекции вектора абсолютного ускорения:

И окончательно:

Задача 9.3.2. Тело D вращается в плоскости рисунка (рис. 9.4) вокруг осиОх так, что его угол поворота равен

рад.

Рис. 9.4 Рис. 9.5

По желобу тела ОА движется точка М так, что алгебраическое значение длины дуги равно

ОМ =s = (25πt² – 5πt) см.

Желоб является окружностью радиусом R = 20 см, расстояние |OA| = b = 10 см. Для момента времени t = 1 с определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.

Решение.

1. Определение . По теореме о сложении скоростей имеем .

Относительную скорость точки (скорость по отношению к телу D) находим, вычисляя ее алгебраическое значение как производную от дуговой координаты по времени: и .

Чтобы найти ее направление, установим, где находится точка М. При t = 1 с, получив ОМ = 20πсм, устанавливаем, что длина дуги составляет половину длины окружности, то есть точка Мнаходится в точке А желоба (рис. 9.5).

Переносной скоростью по определению будет скорость той точки вращающегося тела D, с которой совпадает точка М, то есть скорость точкиА:

где алгебраическое значение угловой скорости переносного движения равно

Таким образом, при t = 1 с получаем и v_e = 0,40 м/с. Алгебраическое значение угловой скорости положительно, следовательно, вращение происходит по направлению угла поворота. Переносная скорость направлена перпендикулярно отрезку О₁А по ходу вращения.

Поскольку векторы и направлены противоположно, то модуль абсолютной скорости равен v_a = v_r – v_e ≈ 1,01 м/с.

2.Определение .По теореме Кориолиса

или

. (*)

Вычислим и покажем на рисунке все пять ускорений (рис.9.6).

Относительноеускорение вычисляем через его алгебраическое значение: см/с²≈ 1,57 м/с².

Ускорение направлено туда же, куда и скорость , так как знаки их алгебраических значений совпадают (ускоренное движение): . Относительное центростремительное ускорение направлено к центру желоба и равно его модулю

м/с².

Рис. 9.6

Переносное ускорение в данном случае — это ускорение точкиА тела D.

Так как алгебраическое значение углового ускорения равно его модулю

то переносное вращательное ускорение получается

м/с².

Оно направлено перпендикулярно О₁A по ходу углового ускорения, и поскольку алгебраические значения угловой скорости и углового ускорения совпадают по знаку (ускоренное вращение), следовательно, совпадает с .

Переносное центростремительное ускорение направлено к оси О₁ и равно

м/с².

Кориолисово ускорение , и его модуль равен

Так как вектор угловой скорости тела лежит на оси вращения, то в данном случае он перпендикулярен плоскости чертежа и угол между ним и вектором относительной скорости равен 90°. Тогда .

Направление кориолисова ускорения может быть найдено или по общему правилу для векторного произведения, или по правилу Жуковского. В нашем случае достаточно повернуть скорость на 90° по ходу вращения тела.

Сложение векторов произведем с помощью проекций. Спроецировав равенство (*) на оси, получим

и окончательно

Задания К-9

В приведенных ниже схемах 1— 30 рассматривается движение точки М в желобе вращающегося тела. По заданным в таблице уравнениям относительного движения OM(t), переносного движения φ(t) и геометрическим размерам определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки в указанный момент времени.

Таблица9.1