|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Вторая (обратная) задача.
Зная действующие на точку силы, ее массу и начальные условия движения, определить закон движения точки или какие-либо другие ее кинематические характеристики. Начальные условия движения точки в декартовых осях — это координаты точки Решение задач этого типа сводится к составлению дифференциальных уравнений (или одного уравнения) движения материальной точки и их последующему решению путем непосредственного интегрирования или с использованием теории дифференциальных уравнений. Вторую задачу динамики рекомендуется решать в следующем порядке: 1. Выбрать систему координат. 2. Изобразить на расчётной схеме материальную точку в произвольном положении и действующие на неё силы, включая реакции связей (при несвободном движении точки). 3. Составить дифференциальные уравнения движения точки. 4. Записать начальные условия движения. 5. Построить общее решение дифференциальных уравнений движения. 6. Определить постоянные интегрирования по начальным условиям. 7. Подставив постоянные интегрирования в общее решение, определить закон движения точки. При свободном движении материальной точки удобно пользоваться прямоугольной декартовой системой координат. При криволинейном движении несвободной материальной точки удобно составлять проекции дифференциальных уравнений на естественные оси. Примеры решения задач Задача 10.3.1. Груз 3 массы т поднимается по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол
Рис. 10.1
Решение. Определим ускорение груза. Поскольку деформацией троса пренебрегаем, то
где Однако
поэтому
Полагая груз материальной точкой, освободим его от связей, заменив их действие силами реакции. Изобразим силы, действующие mгруз (рис. 10.2): силу тяжести Составим дифференциальные уравнения движения груза в проекциях на оси координат:
Из первого уравнения
Рис. 10.2 Из второго уравнения системы (10.9)
Подставляя сюда значение силы трения и учитывая, что
Натяжение троса численно равно реакции S.
Задача 10.3.2. В железнодорожных скальных выемках для защиты кюветов от попадания в них с откосов каменных осыпей устраивается «полка» DC. Учитывая возможность движения камня из наивысшей точкиА откоса и полагая при этом его начальную скорость Дано:
Рис. 10.3 Решение. Задачу разделим на два этапа. Первый – движение камня на участке АВ, второй – движение камня от точкиВ до С. Первый этап. 1. Составление расчетной схемы. Ось 2.Выявление начальных условий. При
Рис. 10.4
3.Составление дифференциальных уравнений движения точки. Так как точка (камень) движется прямолинейно, то при направлении оси х вдоль траектории получим одно дифференциальное уравнение движения
сила трения
тогда
4.Интегрирование дифференциальных уравнений движения. Интегрируя дифференциальное уравнение дважды, получаем:
5.Определение постоянных интегрирования. Подставим начальные условия, т.е.
6.Нахождение неизвестных величин и исследование полученных результатов. После подстановки постоянных интегрирования С1 и С2 получаем уравнение скорости и уравнение движения:
Для момента времени τ, когда камень покидает участок АВ,
т.е.
Умножим первое уравнение на τ/2, после этого разделим его на второе. В результате получим:
Второй этап.Движение камня от точкиВ до точки С. 1.Составление расчетной схемы. Координатные оси покажем так, как это удобно для решения задачи, в нашем случае ось х параллельна горизонтали и проходит через точкуВ, ось у направляем вниз через точку В. Камень принимаем за материальную точку, показываем ее в текущем положении, изображаем действующую на камень силу тяжести 2. Выявление начальных условий движения. При
3.Составление дифференциальных уравнений движения. Так как движение точки происходит в плоскости ху, то число уравнений движения равно двум:
4.Интегрирование дифференциальных уравнений движения. Интегрируем дифференциальные уравнения дважды:
5. Определение постоянных интегрирования. Подставляем начальныеусловия:
откуда
6.Нахождение искомых величин и исследование полученных результатов. После подстановки постоянных интегрирования в уравнения (а –г) получаем следующие уравнения проекций скорости камня:
и уравнения его движения
Уравнение траектории камня найдем, исключив параметр t из уравнений движения:
В момент падения
Так как траекторией движения камня является ветвь параболы с положительными абсциссами ее точек, то d=2,11 м. Минимальная ширина полки Используя уравнение движения камня
Скорость камня при падении найдем через проекции скорости на оси координат:
по формуле
Для момента падения t = T =0,53 c
Скорость камня при падении равна 12,8 м/с.
Задания Д-10 Варианты 1—5 (рис. 10.5). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол В точке B тело покидает плоскость со скоростью При решении задачи тело принять за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать. Вариант 1. Дано: Вариант 2. Дано: Вариант 3. Дано: Вариант 4. Дано: Вариант 5. Дано: Варианты 6—10 (рис. 10.6). Лыжник подходит к точкеА участка трамплина АВ, наклоненного под углом При решении задачи принять лыжника за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха. Вариант 6. Дано: Вариант 7. Дано": Вариант 8. Дано: Вариант 9. Дано: Вариант 10. Дано: Варианты 11—15 (рис. 10.7). Имея в точке А скорость При решении задачи считать мотоцикл с мотоциклистом материальной точкой и не учитывать силы сопротивления движению. Вариант 11. Дано: Вариант 12. Дано: Вариант 13. Дано: Вариант 14. Дано: Вариант 15. Дано: Варианты 16—20 (рис. 10.8). Камень скользит в течение Вариант 16. Дано: Вариант 17. Дано: Вариант 18. Дано: Вариант 19. Дано:
Рис. 10.5 Рис. 10.6
Рис. 10.7 Рис. 10.8
Рис. 10.9 Рис. 10.10 Рис. 2.4.1
Вариант 20. Дано: Варианты 21—25 (рис. 10.9). Тело движется из точкиА по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол При решении задачи принять тело за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха. Вариант 21. Дано: Вариант 22. Дано: Вариант 23. Дано: f = 0; Вариант 24. Дано: Вариант 25. Дано: Варианты 26—30 (рис. 10.10). Имея в точкеА скорость Вариант 26. Дано: Вариант 27. Дано: Вариант 28. Дано: Вариант 29. Дано: Вариант 30. Дано: f = 0,25; l = 4 м; d = 3 м; h = 5 м. Определить Вопросы для самоконтроля (защиты контрольной работы)
1. Сформулируйте законы динамики. 2. Запишите дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат. 3. Запишите дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на естественные оси. 4. Сущность первой задачи динамики и порядок ее решения. 5. Сущность второй задачи динамики и порядок ее решения. |
Последнее изменение этой страницы: 2019-04-19; Просмотров: 406; Нарушение авторского права страницы
и проекции начальной скорости 
на эти оси 
в момент времени, соответствующий началу движения точки и принимаемый обычно равным нулю.
, при помощи лебедки, состоящей из пары зубчатых колес 7, 2 и барабана радиуса r2 (рис. 10.1). Колесо 1 приводится во вращение электромотором. Барабан жестко скреплен с колесом 2. Определить натяжение троса, пренебрегая его деформацией, если колесо 1 вращается с угловым ускорением 
. Радиусы колес R1 и R2. Коэффициент трения груза о плоскость равен f. Массой троса пренебречь.
,
- угловое ускорение барабана.
,
. (10.8)
, реакцию троса 
, нормальную реакцию плоскости 
и силу трения 
.
(10.9)
. Следовательно,
.
.
(10.8), получаем
.
, определить наименьшую ширину полки b и скорость 
, с которой камень падает на нее. По участку АВ откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину l, камень движется τ с. Коэффициент трения скольжения f камня на участке АВ считать постоянным, а сопротивлением воздуха пренебречь.
. Определить b и 
(рис. 10.3).
проводим по направлению движения камня, ось 
- перпендикулярно к оси 
. Камень принимаем за материальную точку и показываем ее в текущем положении, изображаем действующие на камень (точку) силы: вес 
, нормальную реакцию 
и силу трения скольжения 
(рис. 10.4).
.
;
,
;
;
.
;
;
;
;
;
;
.
в уравнения:
;
;
.
;
.
,
;
.
; 
;
.
(рис. 10.4).
: 
.
.
(a)
; (б)
(в)
. (г)
в уравнения (а – г):
,
.
.
;
– уравнение параболы.
. Определим d из уравнения траектории:
; 
;
.
.
, найдем времяТ движения камня от точкиВ до точкиС
.
.
.
с горизонтом, в течение т.е.. Его начальная скорость 
. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f.
и попадает со скоростью 
в точкуС плоскости BD, наклоненной под углом 
к горизонту, находясь в воздухе T с.
= 30°; 
= 60°. Определить 
и h.
= 45°. Определить l и уравнение траектории точки на участке ВС.
; l = 4 м; d = 10 м; 
= 60°. Определить 
.
= 2 с; l = 9,8 м; 
= 60°; f = 0. Определить 
и T.
= 30°; 
= 3 с; 
= 45°. Определить 
и 
к горизонту и имеющего длину l, со скоростью 
с; в точкеВсо скоростью 
с горизонтом.
и d.
м; 
. При постоянной на всем участке АВ движущей силе Р мотоцикл в точкеВ приобретает скорость 
; l = 40 м; 
и h.
= 20 с; d = 3 м; h = 1,5 м. Определить Р и l.
спо участку АВ откоса, составляющему угол 
с горизонтом и имеющему длину l. Его начальная скорость 
= 1 с; h = 6 м. Определить d и f.
.
; 
= 1,5 с; d = 2 м. Определить 
= 45°; 
.
с горизонтом. Его начальная скорость 
с тело в точкеВ со скоростью 
= 1,5 с; h = 10 м. Определить 
и Т.
с. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f. Со скоростью 
.