Кинетическая энергия твердого тела при различном движении.

1. Поступательное движение

 

 .

 

2. Вращение тела вокруг неподвижной оси

,

где  - момент инерции тела относительно оси вращения.

 

3. Плоскопараллельное движение

 

,

 

где  — момент инерции плоской фигуры относительно оси, проходящей через центр масс.

 

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы имеет две формы: дифференциальную и конечную (инте­гральную).

Дифференциальная форма теоремы имеет вид

,    (12.2)

 

производная по времени от кинетической энергии системы равна сумме мощностей всех внешних и внутренних сил, действующих на точки системы.

Соотношение (12.2) можно записать в виде

 

,                         (12.3)

 

дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на точки системы.

Теорема об изменении кинетической энергии в конечной форме имеет вид

.                  (12.4)

 

Изменение кинетической энергии на конечном перемещении системы из положения, в кото­ром кинетическая энергия равна Т_о, в положение, в котором кинети­ческая энергия равна Т, равно сумме работ всех внешних и внутрен­них сил системы на этом перемещении.

Практическое применение соотношений при решении задач ос­ложняется наличием в их правых частях членов, связанных с внут­ренними силами, которые, как правило, заранее неизвестны. Однако существует широкий класс систем, для которых упомянутые члены можно опустить: это системы, состоящие из совокупности абсолют­но твердых тел, скрепленных между собой идеальными связями (шарниры без трения, нерастяжимые и абсолютно гибкие нити и т.д). Для таких систем (их называют неизменяемыми)

,

 

и соотношения (12.2)—(12.4) записываются в виде

 

,    

, 

.

Рассмотрим порядок составления дифференциального уравне­ния движения системы с одной степенью свободы с помощью тео­ремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме:

1. Убедиться в том, что система имеет одну степень свободы.

2. Выбрать координату, относительно которой будет состав­ляться дифференциальное уравнение движения: это, как правило, либо линейная величина (назовем ее для конкретности х), опреде­ляющая положение тела, движущегося поступательно, либо угловая величина (назовем ее , определяющая положение тела, вращаю­щегося вокруг неподвижной оси.

3. Записать теорему об изменении кинетической энергии.

4. Вычислить кинетическую энергию системы как сумму кине­тических энергий тел, входящих в ее состав. На расчетной схеме показать все кинематические характеристики, от которых зависит ки­нетическая энергия системы.

5. Представить кинетическую энергию системы в виде , если за координату принята линейная величина, или в виде , если за координату принята угловая величина. Для этого скорости, входящие в выражение кинетической энергии системы, следует выразить либо через , либо через . Величины  и  называют соответственно приведенной массой и приведен­ным моментом инерции системы.

6. Вычислить производную по времени от кинетической энергии.

7. Изобразить на расчетной схеме внешние силы, действующие на систему. Вычислить сумму мощностей внешних сил.

8. Представить сумму мощностей внешних сил в виде , если за координату принята линейная величина, или в виде , если за координату принята угловая величина.

9. Сформировать дифференциальное уравнение движения. Для этого следует, согласно п. 3, приравнять правые части выражений, полученных в п. 6 и 8, и провести сокращение на производную по времени от координаты, присутствующую в качестве множителя в обеих частях уравнения.

Если решается вторая задача динамики, т.е. определяется за­кон движения системы, то далее следует выполнить следующие действия:

10. Сформулировать начальные условия движения системы.

11. Построить общее решение дифференциального уравнения движения.

12. Определить по начальным условиям постоянные интегриро­вания.

13. Подставив значения постоянных интегрирования в общее решение дифференциального уравнения, найти закон движения системы.

Б. Конечная форма теоремы

Рассмотрим порядок решения задачи, предполагая, что система приходит в движение из состояния покоя:

1. Убедиться в том, что система имеет одну степень свободы.

2. Выбрать координату, с помощью которой будет определяться положение системы, связав выбор с целью задачи: если, например, определяется зависимость скорости тела, совершающего прямоли­нейное поступательное движение, то в качестве координаты прини­мается перемещение тела; если же определяется зависимость угло­вой скорости тела, вращающегося вокруг неподвижной, то в качест­ве координаты принимается угол поворота тела. Координаты следует отсчитывать от начального положения.

3. Записать теорему об изменении кинетической энергии в конечной фор­ме, положив Т₀ =0.

4. Изобразить на рисунке систему в конечном положении. Вы­числить кинетическую энергию системы в конечном положении как сумму кинетических энергий тел, входящих в ее состав. На расчет­ной схеме показать все кинематические характеристики, от которых зависит кинетическая энергия системы.

5. Представить кинетическую энергию системы в виде , если определяется зависимость v = v(x), или в виде , если определяется зависимость . Для этого ско­рости, входящие в выражение кинетической энергии системы, сле­дует выразить либо через v, либо через .

6. Изобразить на расчетной схеме внешние силы, действующие на систему; вычислить сумму работ внешних сил, представив ее либо в виде , либо в виде .

7. Приравняв, согласно п. 3, правые части выражений, получен­ных в п. 5 и 6, определить из полученного соотношения искомую зависимость.

Примеры решения задач

Задача12.3.1. Груз 3 массы т₃ поднимается лебедкой, приводя­щейся в движение электромоторомА (рис. 12.1). Передача движения от вала I на вал II осуществляется с помощью пары зубчатых колес 1 и 2. Трос, к концу которого прикреплен груз, наматывается на бара­банВ радиуса r. Определить закон изменения угловой скорости вала I, если со стороны электромотора на вал действует вращающий момент , где М₀ и а - положи­тельные постоянные, характеризующие мо­тор;  - угловая ско­рость вала I (электромо­тора). Числа зубьев ко­лес z₁ и z₂, моменты инерции валов лебедки I₁ и I₂. Сопротивлением движению и массой троса пренебречь.

 

Рис. 12.1

 

Решение. Рассмотрим систему, состоящую из ротора электро­мотора D, лебедки и поднимаемого груза (рис. 12.2). Система имеет одну степень свободы, если тела, входящие в эту систему, абсолют­но твердые, трос нерастяжимый, а раскачивание груза при подъеме отсутствует. Система является неизменяемой, если дополнительно положить, что трос является абсолютно гибким.

Составим дифференциальное уравнение движения системы, приняв за координату, определяющую ее положение, угол поворота электромотора .

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме

. (12.5)

 

Рис. 12.2

 

Дальнейшая последовательность действий определяется струк­турой этой формулы.

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетиче­ских энергий тел, входящих в ее состав,

 

.                         (12.6)

 

Кинетическая энергия вала I (имеется в виду совокупность тел: вал лебедки с колесом 1, муфта, связывающая валы электромотора и лебедки (на рисунке не показана) и ротор электромотора), вращаю­щегося с угловой скоростью :

.                              (12.7)

 

Кинетическая энергия вала II (имеется в виду совокупность тел: вал, барабан и колесо 2), вращающегося с угловой скоростью :

 

.                                (12.8)

 

Кинетическая энергия груза, движущегося поступательно со скоростью v_з:

    .                               (12.9)

        

Подставляя (12.7)-(12.9) в формулу (12.6), получаем

 

.                           (12.10)

 

Воспользуемся соотношением , выражающим равен­ство скоростей точек на ободах зубчатых колес; из него находим

 

.                                 (12.11)

 

Кроме того, , или, с учетом формулы (12.11),

 

.  (12.12)

 

Подставим (12.11) и (12.12) в формулу (12.10). Поскольку отноше­ние радиусов колес r₁ и r₂ можно заменить отношением чисел зубьев z₁ и z₂, то

 

.             (12.13)

 

Введем обозначение

.

 

и, учитывая, что , получаем

 

,

откуда

.                            (12.14)

 

Вычислим теперь сумму мощностей внешних сил. Из внешних сил, действующих на рассматриваемую систему, на расчетной схеме показаны только силы, мощность которых не равна нулю, - это вра­щающий момент  и сила тяжести  груза. Точки приложения других внешних сил (силы тяжести валов I и II со всеми деталями, силы тяжести муфты, ротора электромотора, реакций подшипников) неподвижны, поэтому мощность этих сил равна нулю. Мощность мо­мента равна , мощность силы тяжести груза

Таким образом,

,

 

или, учитывая (12.12), а также, что  получаем

 

.                                  (12.15)

 

Введем обозначение , тогда

 

.                                  (12.16)

 

Приравнивая, согласно (12.5), правые части соотношений (12.14) и (12.16), получаем после сокращения на , дифференциальное урав­нение движения системы:

    .                           (12.17)

 

Поскольку приведенный момент инерции  является постоян­ным, а силовой момент  - функция угловой скорости , то уравнение (12.17) можно записать в виде

 

.             (12.18)

 

Для определения закона изменения угловой скорости перепи­шем последнее уравнение в виде

. (12.19)

 

Построим общее решение уравнения (12.19). Поскольку оно яв­ляется неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка, то

.                             (12.20)

 

где - общее решение однородного уравнения ;  - частное решение неоднородного уравнения (12.19).

 

Для определения функции  запишем характеристическое уравнение  и найдем его корень . Следовательно,

 

.   (12.21)

 

Частное решение уравнения (12.19) разыскиваем в виде   

 

.   (12.22)

 

Для определения постояннойА следует подставить (12.22) в уравнение (12.19):

.

 

Таким образом, общее решение уравнения (12.19) имеет вид

 

.               (12.23)

 

Постоянную интегрированияС определим из начального усло­вия :

.

 

Подставляя найденное значение постояннойСв (12.23), получаем закон изменения угловой скорости первого вала

 

.                    (12.24)

 

Из найденного решения следует, что по истечении некоторого промежутка времени первый вал будет вращаться с постоянной угловой скоростью 

.

Задача 12.3.2. Груз 3 массы т₃ перемещается по наклонной плоско­сти, образующей угол  с горизонтом, электрической лебедкой, со­стоящей из зубчатого колеса 1 радиуса R₁ и находящегося с ним в зацеплении колеса 2 радиуса R₂, на одном валу с которым находится барабан радиуса r₂, на который навивается трос, прикрепленный к грузу (рис. 12.3).

К колесу 1 приложен со стороны мотора постоянный вращающий момент М₁ на валу колеса 2 действует постоянный момент сопротив­ления М₂. Определить угловую скорость колеса 1 как функцию его угла поворота, если I₁ - момент инерции ведущего вала (вал и колесо l); I₂- момент инерции ведомого вала (вал, ко­лесо 2 и барабан); f -коэффициент трения скольжения груза о наклонную плоскость. Трос считать нерастя­жимым, невесомым и не сопротивляющим­ся изменению формы. Движение начинается из состояния покоя. Центры масс вращаю­щихся тел находятся на осях вращения.

 

 

Рис. 12.3

 

Решение. Рассмотрим систему, состоящую из тел 1-3 и троса. Поскольку тела абсолютно твердые, а трос нерастяжимый, то систе­ма имеет одну степень свободы. Будем определять положение сис­темы с помощью угла поворота  ведущего вала. Заметим также, что система является неизменяемой. Поскольку движение системы происходит под действием постоянных сил, работу которых можно вычислить, не зная закона движения системы, то для решения задачи удобно использовать теорему об изменении кинетической энер­гии в конечной форме для неизменяемых систем

 

.                  (12.25)

 

Определим приращение кинетической энергии системы на пе­ремещении из начального положения в некоторое конечное, зада­ваемое углом . Кинетическая энергия системы в начальном поло­жении Т₀= 0 (по условию). Кинетическая энергия системы в конеч­ном положении равна сумме кинетических энергий ведущего и ве­домого валов и груза:

 

,

 

где  - угловая скорость ведущего и ведомого валов соответст­венно; v₃ - скорость груза (рис. 12.4).

 

 

Рис. 12.4

Поскольку

,

то

,

или

,

где

.

 

Таким образом, приращение кинетической энергии системы на рассматриваемом перемещении найдено как функция угловой ско­рости ведущего вала в конечном положении:

 

.                             (12.26)

 

Внешними силами, действующими на систему, являются вра­щающий момент М₁ момент сопротивления М₂, силы тяжести тел , реакции подшипников ведущего вала , реакции под­шипников ведомого вала  и реакции плоскости: сила трения  и нормальная реакция . Вычислим теперь работу внешних сил на перемещении системы из начального положения в конечное:

1) работа вращающего момента равна ;

2) работа момента сопротивления равна , где -угол поворота ведомого вала;

3) работы сил , а также , равны нулю, так как эти силы приложены в неподвижных точках;

4) работа силы  равна нулю, так как эта сила перпендику­лярна перемещению точки ее приложения;

5) работа силы  равна , где s₃ - перемещение груза;

6) работа силы трения равна ( ), где .

Таким образом,

 

.

Но

,

поэтому

.

или

,                                             (12.27)

где   

.

 

Приравнивая, согласно (12.25), правые части формул (12.26) и (12.27), получаем

,

откуда

.                                         (12.28)

 

Таким образом, искомая зависимость имеет вид:

 

.

Задача 12.3.3. Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя. Учитывая трение скольжения тела 3, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость и ускорение тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s (рис. 3.70). В задаче принять:

 

    Решение. На механическую систему действуют активные силы , , . Применяя принцип освобождения от связей системы, покажем реакции шарнирно-неподвижной опоры 2 и шероховатой наклонной поверхности. Направления скоростей тел системы изобразим с учетом того, что тело 1 спускается.

    Задачу решим, применяя теорему об изменении кинетической энергии механической системы:

 

,

 

гдеТ и  – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; - алгебраическая сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещении системы из начального положения в конечное; - сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении.

    Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями,

 

.

 

Так как в начальном положении система покоилась, то . Следовательно,

.

 

а)                                                      

б)

 

Кинетическая энергия системы представляет собой сумму кинетических энергий тел 1, 2, 3

 

.

 

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно, равна:

.

 

Кинетическая энергия блока 2, совершающего вращение вокруг оси О z, перпендикулярной плоскости чертежа,

 

.

 

Кинетическая энергия тела 3 в его поступательном движении

 

.

Таким образом,

.

 

    Выражение кинетической энергии содержит неизвестные скорости всех тел системы. Начать определение необходимо с . Избавимся от лишних неизвестных, составив уравнения связей.

    Уравнения связей это не что иное, как кинематические соотношения между скоростями и перемещениями точек системы. При составлении уравнений связей выразим все неизвестные скорости и перемещения тел системы через скорость и перемещение груза 1.

    Скорость любой точки обода малого радиуса  равна скорости тела 1, а также произведению угловой скорости тела 2 и радиуса вращения r

 

.

 

Отсюда выразим угловую скорость тела 2

 

.                                                       (а)

    Вращательная скорость любой точки обода блока большого радиуса , с одной стороны, равна произведению угловой скорости блока и радиуса вращения, а с другой – скорости тела 3

 

.

Подставив значение угловой скорости, получим:

 

.                                                (б)

 

    Проинтегрировав при начальных условиях выражения (а) и (б), запишем соотношение перемещений точек системы:

 

.                                      (в)

 

    Зная основные зависимости скоростей точек системы, вернемся к выражению кинетической энергии и подставим в него уравнения (а) и (б):

 

.

 

Момент инерции тела 2 равен:

 

.

 

Подставляя значения масс тел и момента инерции тела 2, запишем

 

.

 

    Определение суммы работ всех внешних сил системы на заданном перемещении.

.

 

Работа силы тяжести тела 1

 

.

 

Работа сил   равна нулю, так как эти силы приложены к неподвижной точке.

.

 

Работа силы тяжести тела 3

 

.

 

    Работа нормальной реакции тела 3 равна нулю, так как сила перпендикулярна направлению движения

 

.

 

    Работа силы трения скольжения

,

так как

,

тогда

.

 

    Сумма работ внешних сил

 

.

 

    Подставляя значения масс тел, соотношения перемещений (в) и числовые параметры, запишем:

 

 

    Теперь согласно теореме об изменении кинетической энергии механической системы приравняем значенияТ и

 

.                             (г)

 

    Скорость тела 1 получим из выражения (г)

.

 

    Ускорение тела 1 можно определить, продифференцировав по времени равенство (г):

 

,

 

где .

Тогда   

.

 

 

Задача 12.3.4. Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя; начальное положение системы показано на рисунках. Учитывая трение скольжения тела 1 и сопротивление качению тела 3, катящегося без скольжения, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s. Тело 2 и 3 считать сплошными однородными цилиндрами.

        Дано:  – масса груза 1, , , м, , , коэффициент трения скольжения , коэффициент трения качения  см,  м. На рис. показана механическая схема в начальном положении.

       Найти:  – скорость груза 1 в конечном положении.

       Решение. Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

                                   (1)

где Т₀ и Т – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях;

 - сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещение системы из начального положения в конечное;

- сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твёрдых тел, соединенных нерастяжимыми нитями и стержнями,

Так как в начальном положении система находится в покое, то Т₀ = 0.

 

 

Следовательно, уравнение (1) принимает вид

                                                                  (2)

    Напишем кинематические соотношения между скоростями и перемещениями точек системы, т. е. уравнения связей, при этом перемещения и скорости тел выразим соответственно через скорости и перемещения груза 1.

Скорость центра масс катка 3 равна скорости груза 1:

.          (3)

Угловая скорость катка 3, мгновенный центр скоростей которого находится в точке касания катка с плоскостью

 .                                         (4)

              

 Угловая скорость блока 2                              .      (5)

Вычислим кинетическую энергию системы в конечном положении как алгебраическую сумму кинетических энергий тел 1, 2, 3:

.                                           (6)

    Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,

.                                              (7)

Кинетическая энергия блока 2, вращающегося вокруг оси Ax:

.                                              (8)

Момент инерции блока 2 относительно оси Ax:

.                                              (9)

Подставляя выражения (5), (9) в формулу (8), получаем

.

Кинетическая энергия катка 3, совершающего плоское движение:

,                                     (10)

где  - момент инерции катка 3 относительно его продольной центральной оси :   

.                                                        (11)

Подставляя (3), (4), (11) в формулу (10), получаем

.                            (12)

Кинетическая энергия всей системы:

.                    (13)

Найдём сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе на заданном ее перемещении. Покажем внешние силы, приложенные к системе (рис.):

для тела 1:

Работа сил тяжести G ₁ :

                              (14)

Работа силы трения скольжения F_тр:

.

Так как

,

то .                           (15)

для катка 3:

    Работа силы тяжести G₃ будет отрицательной, т.к. начальное положение катка выше, чем конечное

.                           (16)

   Работа силы сцепления катка , т.к. сила приложена в мгновенном центре скоростей катка.

Работа пары сил сопротивления качению катка 3:

где - момент пары сил сопротивления качению катка 3;  - угол поворота катка 3.

Так как каток катится без скольжения, то угол его поворота

где S_{C 3}  – перемещение центра тяжести С₃ катка 3.

В нашем случае перемещение центра масс катка 3 будет равно перемещению центра масс груза 1, т.е. S_{C 3} = S = 2,4 м.

Тогда работа пары сил сопротивления качению:

                             (17)

Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисляемых по формулам (14) – (17):

Согласно теореме приравниваем значения  и

,

откуда              

.

Вопросы для самоконтроля

(защиты контрольной работы)

 

1. Что называется кинетической энергией материальной точки?

2. Напишите формулы для вычисления кинетической энергии твердого тела при поступательном, вращательном и плоском его движениях.

3. Как вычисляется работа силы упругости и силы тяжести?

4. Как определяется работа постоянной по модулю и направле­нию силы на прямолинейном перемещении?

5. Что называется мощностью силы?

6. Как определяется работа и мощность силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси?

7. Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме (в форме мощностей).

8. Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии механической системы в конечной (интегральной) форме.

Задания

 

Для приведенных на схемах 1-30 механических си­стем, используя теорему об изменении кинетической энер­гии в интегральной форме, определить угловую скорость (варианты 4, 6, 7, 9, 11, 18, 25, 26, 28) или линейную скорость (остальные варианты) тела 1 после его заданного перемещения φ₁ = 2π рад или s₁ = 2 м. Движение начина­ется из состояния покоя.

 

 

 

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться: