Классификация моделей по принадлежности к иерархическому уровню.

 

Использование блочно-иерархического подхода приводит к появлению деления моделей на уровни описания. Количество иерархических уровней определяется сложностью объектов и возможностями систем моделирования. Однако для большинства предметных областей в технике можно выделить три обобщенных уровней, называемых микро-, макро- и метауровнями и различающихся степенью детализации рассмотрения процессов в объекте.

ММ на микроуровнеотражает физические процессы, протекающих в непрерывных пространстве и времени (сплошная или трехмерная среда). Типичные ММ на микроуровне - системы дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) с заданными краевыми условиями. Независимыми переменными здесь являются пространственные координаты и время (уравнения Ламе для механики упругих сред, уравнения Навье-Стокса для гидравлики, уравнения теплопроводности для термодинамики и т.д.). Для решения этих уравнений используются методы конечных разностей и граничных элементов. Возможно единое ПО для разных классов объектов.

Для элементов ВС модели описывают состояние в сплошной среде элементов и деталей узлов ЭВМ. Математическая модель – в виде ДУЧП (уравнения теплопроводности, диффузии, электродинамики, упругости, непрерывности, переноса, Пуассона и т.п.) с заданными краевыми условиями. В качестве переменных этих уравнений используются время t и пространственные координаты x_i. Зависимыми параметрами являются температура, концентрация основных и неосновных носителей, напряженности полей и т.д. ДУЧП можно представить в общем виде как

L j(Z) = f(Z ),

где Z = (t, x₁, x₂, x₃, …) – вектор независимых параметров; f(Z) – внешнее воздействие на сплошную среду; L – оператор дифференцирования; j(Z) – уравнение, описывающее физическую природу рассматриваемого объекта.

Если из уравнения исключить время t, то уравнение будет стационарным. Вместо трех пространственных координат можно использовать одну или две.

Пример: уравнение теплопроводности. Это уравнение является нестационарным и одномерным

,

где Т – температура,

Возможности ММ в виде ДУЧП ограничены отдельными компонентами (фрагментами). С увеличением размерностей решаемых задач для сложных многокомпонентных технических объектов анализ ММ на микроуровне приводит к чрезмерным вычислительным затратам, поэтому вводят какие-либо упрощения или допущения и переходят к следующему уровню описания. Осуществляется переход от непрерывного к дискретному пространству при сохранение непрерывного времени.

На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с заданными начальными условиями. В этих уравнениях независимой переменной является время, а зависимыми переменными являются переменные, характеризующие состояние укрупненных элементов дискретизированного пространства. Такими переменными могут быть силы и скорости механических систем, напряжения и силы тока электрических систем, давления и расходы гидравлических и пневматических систем и т.п. Системы ОДУ строятся на основе компонентных уравнений для дискретных элементов и топологических уравнений, указывающих связи между элементами. На этом уровне возможно единое математическое и программное обеспечение для разных классов технических объектов.

Для узлов ЭВМ непрерывные модели формируются на основе компонентных, например:

Используя топологические связи (например, для метода узловых потенциалов), можно получить систему дифференциальных уравнений:

, где или - форма Коши.

Для дискретных моделей на макроуровне все состояния дискретны, в частном случае это булевы переменные (0, 1). Непрерывное время также заменяется на дискретные значения (такты моделирования):

Все события между t_k и t_k-1, должны быть отнесены к какому-то из этих значений. Модель может быть представлена в виде конечного автомата, который описывается с помощью системы логических уравнений, например:

,

где U – вектор входных для данной схемы переменных (шин схемы); V – вектор промежуточных и выходных переменных; V' – значения промежуточных и выходных переменных с учетом задержек.

При повышении размерностей решаемых уравнений, когда порядок систем ОДУ превышает 10³, оперировать моделью становится затруднительным, и поэтому обычно переходят к следующему, более высокому уровню.

На метауровне в качестве элементов принимают достаточно сложные совокупности компонентов. В моделях отражаются процессы преобразования информации, а не сигналов, как на макроуровне. Метауровень характеризуется большим разнообразием типов используемых ММ. Для многих объектов ММ на метауровне может также представляться системами ОДУ. Однако, так как в моделях не описываются внутренние для элементов переменные, а фигурируют только переменные, относящиеся к взаимным связям элементов, то укрупнение элементов на метауровне приводит к получению ММ приемлемой размерности. В ряде технических областей удается использовать специфические особенности функционирования объектов для упрощения ММ. Примером может служить цифровая электроника, где возможно вместо непрерывных напряжений и токов рассматривать дискретные их значения. В результате ММ становится системой логических уравнений, что существенно более экономично.

Одним из наиболее общих подходов к анализу объектов на метауровне является функциональное моделирование, развитое для анализа систем автоматического управления (САУ). Другим достаточно общим подходом к анализу объектов на метауровне является представление их моделями систем массового обслуживания (СМО), применяемыми для описания процессов функционирования информационных и вычислительных систем, производственных участков, линий и цехов, грузовых потоков и городского транспорта. С появлением параллельных вычислителей, с повышением роли программного управления в вычислительной аппаратуре получило широкое распространение представление СМО в виде сетей Петри.

Полная ММ – модель, в которой фигурируют переменные, характеризующие состояния всех имеющихся межэлементных связей (т.е. состояния всех элементов объекта). Макромодель - ММ, в которой отображаются состояния значительно меньшего числа межэлементных связей, что соответствует более укрупненному описанию объекта. Понятия " полная ММ" и " макромодель" относительны и обычно используются для различия двух моделей при разной степени детализации.

Аналитические ММ представляют собой явные аналитические выражения, связывающие выходные параметры с входными и внутренними параметрами. Алгоритмические ММ выражают связи выходных параметров с внутренними и внешними параметрами в виде алгоритма. Типичным примером является алгоритм численного метода решения систем уравнений. Имитационная ММ отражает поведение объекта при заданных, изменяющихся во времени внешних воздействиях. Примерами имитационных ММ могут быть модели динамических объектов в виде систем ОДУ и модели систем массового обслуживания, заданные в алгоритмической форме.

Математические модели разделяются на математические модели компонентов (элементов) и математические модели систем (строятся на основе математических моделей компонентов). Для получения ММ используют неформальные и формальные методы. Неформальные методы применяют для получения ММ элементов на различных уровнях детализации. Применение этих методов требует значительных усилий, осуществляется квалифицированными специалистами. Неформальные методы применяют при разработке теоретических и эмпирических ММ. Теоретические ММ создаются в результате исследования процессов и их закономерностей, присущих рассматриваемому классу объектов и явлений. Эмпирические ММ - в результате изучения внешних проявлений свойств объекта с помощью измерений и обработки результатов измерений. Для большинства технических объектов используют типовые элементы, количество типов которых обычно невелико, а модели предназначены для многократного использования. Поэтому разработка ММ элементов выполняется сравнительно редко. Единожды созданные ММ элементов в дальнейшем многократно используются при разработке разнообразных систем на базе этих элементов. Типичные примеры - модели транзисторов и диодов, модели стандартных микросхем и т.п. Формальные методы применяют для получения ММ систем при известных ММ элементов. Математические модели систем строятся на основе формальных правил или алгоритмов и часто выполняются в автоматическом режиме по математическим моделям компонентов. Изучение этих методов - одна из целей данного курса.

 

4. Методика получения и требования к математическим моделям.

 

Методика получения ММЭ. Процедура получения ММЭ включает в себя следующие операции:

Отбор свойств объекта, которые подлежат отражению в модели (анализ возможных применений модели).

Сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта. Источниками могут быть опыт и знания инженера, научно-техническая справочная литература, описания прототипов, близкие по своим свойствам имеющиеся ММ, результаты экспериментальных измерений параметров и т.п.

Синтез структуры ММ (общий вид математических соотношений без конкретных числовых значений параметров, эквивалентные схемы, графы и т.п.). Это наиболее ответственная операция.

Расчет числовых значений параметров ММ с помощью минимизации погрешности между поведением модели и результатами эксперимента либо физического, либо численного с использованием более точных ММ, если таковые имеются.

Оценка точности и адекватности (области адекватности) ММ. Для оценки точности используются экспериментальные значения, не применявшиеся при четвертой операции.

Требования к математическим моделям.

Степень универсальности ММ характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта. ММ отражает лишь некоторые свойства объекта. Поэтому под универсальностью часто понимают применимость моделей к широкому классу объектов. Степень универсальности не имеет количественной оценки, поэтому реализуя ту или иную модель или математический метод моделирования, необходимо четко указывать границы их применимости.

Алгоритмическая надежность характеризует свойство моделей давать правильные результаты при оговоренных условиях и ограничениях. При математическом моделировании очень широко применяются эвристические и приближенные методы. Это приводит к тому, что методы могут использоваться некорректно, и в результате либо вообще не будет получено решение (например, из-за отсутствия сходимости), либо оно будет далеким от истинного. Количественной оценкой алгоритмической надежности служит вероятность получения правильных результатов при соблюдении оговоренных ограничений. Если эта вероятность близка к единице, то говорят, что метод алгоритмически надежен.

Точность ММ оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ. Алгоритмически надежные методы могут давать различную точность. Ранее оценка точности выполнялась путем сравнения моделей и реальных объектов. В последние годы для оценки точности используют специально построенные вычислительные эксперименты, в которых создаются условия для раздельной оценки погрешностей, вносимых математическими моделями элементов и алгоритмов моделирования. В этих экспериментах используют специальные задачи, называемые тестовыми.

АдекватностьММ - способность отображать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Как правило, адекватность модели имеет место лишь в ограниченной области изменения переменных.

Экономичность ММ характеризуется вычислительными затратами (затратами машинного времени и памяти). Чем меньше вычислительные затраты, тем модель экономичнее. Машинное время и память зависят не только от свойств модели, но и от особенностей используемой ЭВМ. Поэтому часто используют другие показатели, например: среднее количество операций, выполняемых при одном обращении к модели, размерность системы уравнений, количество используемых в модели внутренних параметров и т.п. Универсальные модели и методы моделирования характеризуются сравнительно большими объемами вычислений, растущими с увеличением размерности задачи. Поэтому при решении задач моделирования обычно затраты времени значительны, они являются главным ограничивающим фактором при попытках повышения сложности моделируемых объектов. Затраты памяти менее критичны в настоящее время в связи с постоянным увеличением емкости оперативной памяти ЭВМ, хотя требование экономичности по затратам памяти остается актуальным. Это связано в первую очередь с работой над сложными моделями коллективов разработчиков в мультипрограммном режиме.

Следует отметить, что требования высокой точности, универсальности и адекватности, с одной стороны, и высокой экономичности, с другой стороны, противоречивы. Компромиссное удовлетворение этих противоречий зависит от особенностей решаемой задачи, степени детализации модели и квалификации исследователя. В программных системах используют библиотеки с наборами моделей и методов, различающимися по точности и экономичности, что обеспечивает пользователей компромиссное удовлетворение противоречивых требований.

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: